De números uniformes a variables aleatorias

01 · Punto de partida

La computadora solo sabe hacer uniformes

Cuando simulamos una fila, una epidemia o un servidor necesitamos tiempos exponenciales, llegadas Poisson, decisiones Bernoulli, errores normales. Pero si mirás la librería estándar de casi cualquier lenguaje, la única fuente de azar es una función que devuelve uniformes en [0,1): random(), Math.random(), runif().

Este tema responde la pregunta fundacional del curso: ¿cómo se convierte ese chorro plano de uniformes en cualquier variable aleatoria X con distribución F? La respuesta corta es: con un método de transformación determinista. La respuesta larga es todo este curso.

• ¿Qué significa exactamente “X ~ Bernoulli(0,3)” cuando la escribimos en código?
• ¿Por qué comparar un uniforme con un umbral ya genera azar no uniforme?
• ¿Cómo sabemos que el generador respeta la distribución pedida?
• ¿Cómo lo hacemos reproducible con una semilla?

02 · Definición

Qué es generar una variable aleatoria

Una variable aleatoria queda definida por su distribución: en el caso discreto por su masa P(X = k), en el continuo por su densidad f(x) y su acumulada F(x) = P(X ≤ x). Generarla es producir valores x₁, x₂, … cuya frecuencia a largo plazo reproduzca esa distribución.

El ejemplo mínimo es la Bernoulli(p): vale 1 con probabilidad p y 0 con probabilidad 1 − p. Basta una regla:

Como P(U < p) = p, la salida es exactamente Bernoulli(p). Acabás de transformar un azar plano en un azar sesgado. Todos los métodos del curso son generalizaciones de esta idea.

03 · Anatomía

Los cuatro ingredientes de todo generador

Fuente uniforme

Generador pseudoaleatorio que produce U₁, U₂, … en [0,1). Es determinista dada una semilla: misma semilla, misma secuencia. Eso permite reproducir experimentos. (Temas 21 y 41)

Distribución objetivo F

Lo que queremos imitar, descripta por su masa, densidad o acumulada F. Sin F escrita no hay forma de saber si el método es correcto. (Tema 4)

Método de transformación

La receta g: inversa, rechazo, composición, alias, urnas, Box-Muller, Fisher-Yates. Cada uno tiene supuestos, costo y rango de uso. (Temas 5–15)

Validación

Histograma, CDF empírica y pruebas (chi-cuadrado, Kolmogorov-Smirnov) que comparan la muestra con F. Generar sin validar es adivinar. (Temas 36–38)

04 · Mapa del curso

A dónde lleva esta idea

El umbral Bernoulli es el caso n = 1. El resto del curso escala la misma arquitectura U → g → X:

1. 1
   Fundamentos (Temas 2–7).

   Discretas y continuas, función F y transformada inversa analítica y numérica.

2. 2
   Métodos generales (Temas 8–15).

   Rechazo, envolvente y eficiencia, composición, mezclas, alias y urnas.

3. 3
   Catálogo (Temas 16–27).

   Bernoulli, uniforme discreta, geométrica, binomial, Poisson, uniforme continua, exponencial, normal, Box-Muller, polar, gamma y otras continuas.

4. 4
   Muestreo y calidad (Temas 28–41).

   Correlación, vectores, con/sin reemplazo, permutaciones, Fisher-Yates, empíricas, histogramas, pruebas, eficiencia y biblioteca final.

5. 5
   Regla de oro.

   Elegí el método más simple que respete F con el costo que tu N permite. La sofisticación sin validación es deuda técnica.

05 · Representación en Python

Del uniforme al primer generador

En Python, random.random() es nuestra U ~ U(0,1). Todo lo demás es transformación pura. Fijar seed vuelve el experimento repetible.

import random

random.seed(7)
p = 0.3
N = 10

def bernoulli(p):
    return 1 if random.random() < p else 0

muestra = [bernoulli(p) for _ in range(N)]
print(muestra)
print("proporción de unos:", sum(muestra) / N)

Cambiá p a 0,8 y reejecutá: la proporción de unos debe subir cerca de 0,8. Con N = 10 hay ruido; con N = 10 000 se estabiliza.

El mismo patrón sirve para otras distribuciones

Una vez entendido el umbral, el resto es cambiar g. Dos adelantos que desarrollaremos a fondo:

import random
import math

random.seed(11)

def uniforme_discreta(a, b):
    # Enteros equiprobables {a, ..., b} con U ~ U(0,1).
    return a + int((b - a + 1) * random.random())

def exponencial(lam):
    # Inversa de la exponencial: F(x) = 1 - exp(-lam*x).
    u = random.random()
    return -math.log(1 - u) / lam

print([uniforme_discreta(1, 6) for _ in range(8)])
print([round(exponencial(0.5), 2) for _ in range(5)])

06 · Exploración

Laboratorio: el umbral U < p

Movete la probabilidad p y el tamaño N y observá la ley de los grandes números en acción: con N chico la proporción salta; con N grande se pega a la línea teórica p. La semilla es fija para que el experimento sea repetible.

La barra naranja es la frecuencia de unos; la línea punteada es p. Al subir N, la barra se acerca a la línea para cualquier p.

Preguntas para explorar

1. Con p = 0,5 y N = 100, mové p a 0,9. ¿Qué barra crece y por qué P(U < p) = p lo explica?
2. Dejá p = 0,3 y subí N de 100 a 5000. ¿Qué le pasa al error absoluto?
3. Si olvidás la semilla y repetís el experimento, ¿cambia la proporción? ¿Sigue siendo válido el generador?

07 · Comprensión

Confusiones frecuentes

08 · Práctica guiada

Ejercicios con Python

Ejercicio 1: calibrar el umbral

Generá 5000 Bernoulli(0,2) con semilla 1 y calculá la proporción. Debe dar ≈ 0,2 con error menor a 0,02.

import random

random.seed(1)
p, N = 0.2, 5000
muestra = [1 if random.random() < p else 0 for _ in range(N)]
prop = sum(muestra) / N
print(prop)
print(abs(prop - p) < 0.02)

Ejercicio 2: dado justo con uniformes

Sin ejecutar primero: ¿qué valores produce 1 + int(6 * random.random())? ¿Por qué int() (piso) y no round()? Comprobalo generando 6000 tiros.

import random

random.seed(2)
tiros = [1 + int(6 * random.random()) for _ in range(6000)]
for cara in range(1, 7):
    print(cara, tiros.count(cara) / len(tiros))

Ejercicio 3: primer vistazo a la exponencial

Generá 5000 exponenciales con λ = 0,5 y compará la media muestral con la teórica 1/λ = 2. Es el adelanto del Tema 22.

import random
import math

random.seed(3)
lam, N = 0.5, 5000
muestra = [-math.log(1 - random.random()) / lam for _ in range(N)]
media = sum(muestra) / N
print(round(media, 3))
print("teórica:", 1 / lam)

09 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema generalizaremos el umbral a cualquier variable discreta: inversión de la CDF por acumuladas y búsqueda por intervalos.