Método de composición

01 · Punto de partida

Lo complejo se arma con piezas simples

Muchas distribuciones reales son mezclas: dos picos (clientes día/noche), cola pesada por subpoblaciones, ceros inflados, tramos con reglas distintas. Intentar una Q única o una envolvente global es doloroso; componer piezas con inversa directa es trivial.

La receta: U₁ elige el componente con prob. wᵢ, U₂ genera dentro de él. Cada pieza usa su mejor método; el conjunto es exacto.

• ¿Qué forma tiene una densidad mezcla?
• ¿Por qué dos uniformes (y no uno) para las dos etapas?
• ¿Cuánto cuesta componer frente a rechazar global?
• ¿Qué pasa si los pesos dependen de x (mixtura continua)?

02 · Definición

Teorema de composición en 2 líneas

P(X ≤ x) = Σᵢ P(I=i)·P(X ≤ x|I=i) = Σᵢ wᵢ·Fᵢ(x). Al sortear I y luego X|I, cada rama aporta exactamente su peso.

03 · Anatomía

Pesos, soportes y jerarquías

Pesos que suman 1

wᵢ ≥ 0, Σwᵢ = 1. Si vienen de conteos, normalizar. Si cambian por muestra (covariables), van a composición condicional.

Soportes que pueden solaparse

Los componentes pueden vivir en el mismo rango (dos normales) o en rangos disjuntos (dos uniformes). Solapados ⇒ histograma con hombros; disjuntos ⇒ bloques separados.

Dos uniformes independientes

U₁ para I, U₂ para X|I. Reutilizar el mismo U correlaciona componente y cuantil interno (sesgo sutil en colas).

Versión continua

f(x) = ∫ f(x|θ)·dH(θ): sortear θ ~ H y luego X|θ. Ej. Gamma-Poisson ⇒ binomial negativa. Mismo algoritmo, θ continua.

04 · Dónde aparece

Del valle al modelo jerárquico

1. 1
   Bimodales.

   Día/noche, dos máquinas, dos perfiles. Mezcla de uniformes/normales con w = fracción. (Tema 12)

2. 2
   Colas por mezcla.

   Hiperexponencial: exponenciales rápidas + lentas dan cola más pesada que cada una. Riesgo y colas.

3. 3
   Ceros y conteos.

   Cero-inflado: masa extra en 0 + Poisson/binomial. Demanda y fallas intermitentes.

4. 4
   Jerárquicos.

   θ ~ H luego X|θ: el puente a Bayes y a NB vía Gamma-Poisson. (Temas 26, 28–29)

05 · Representación en Python

Dos uniformes, tres líneas por rama

Guía: w·Exp(1) + (1−w)·Exp(0,2): rápida para lo cotidiano, lenta para la cola. Cada rama por inversa directa.

import random
import math

random.seed(80)
w, N = 0.4, 6000

def compuesta(w):
    u1 = random.random()
    u2 = random.random()
    lam = 1.0 if u1 < w else 0.2
    return -math.log(1 - u2) / lam

m = [compuesta(w) for _ in range(N)]
print("media muestral:", round(sum(m) / N, 3),
      "teórica:", round(w * 1 + (1 - w) * 5, 3))
print("P(X>5):", round(sum(1 for x in m if x > 5) / N, 3))

Media teórica 3,4 y cola P(X>5) ≈ 0,22 (casi toda de la rama lenta). Con w = 1 colapsa a Exp(1).

06 · Exploración

Laboratorio: dos bloques que se balancean con w

Mezcla w·U(0,1) + (1−w)·U(3,4). Movete w: el bloque izquierdo mide w, el derecho 1−w. Con w = 0,5 pesan igual; con w = 0,8 domina la izquierda.

Histograma en densidad sobre [−0,5 · 4,5]. Las líneas amarillas son las densidades teóricas w y 1−w por bloque.

Preguntas para explorar

1. Con w = 0,8, ¿qué altura esperás en cada bloque? Leela en el panel.
2. ¿La media teórica con w genérico es w·0,5 + (1−w)·3,5? Verificá con w = 0,2.
3. Si usaras un solo U para I y para X|I, ¿qué correlación espuria crearías?

07 · Comprensión

Confusiones frecuentes

08 · Práctica guiada

Ejercicios con Python

Ejercicio 1: hiperexponencial a mano

Con w = 0,4, λ₁ = 1, λ₂ = 0,2 y N = 6000 (semilla 81), estimá la media y compará con 3,4.

import random
import math

random.seed(81)
w, N = 0.4, 6000
m = []
for _ in range(N):
    lam = 1.0 if random.random() < w else 0.2
    m.append(-math.log(1 - random.random()) / lam)
print(round(sum(m) / N, 3), "vs 3.4")

Ejercicio 2: cero-inflado

Con prob. 0,3 devolver 0, si no Poisson(2) por acumulación simple. Estimá P(X = 0) teórica 0,3 + 0,7·e^(−2) ≈ 0,395.

import random
import math

random.seed(82)
p0, lam, N = 0.3, 2.0, 8000

def poisson(lam):
    # Acumulación simple (Tema 20 anticipado).
    L = math.exp(-lam)
    k, p, u = 0, 1.0, random.random()
    while True:
        p *= random.random()
        if p <= L:
            return k
        k += 1

m = [0 if random.random() < p0 else poisson(lam) for _ in range(N)]
print(round(m.count(0) / N, 3), "vs 0.395")

Ejercicio 3: romperla con un solo U

Generá la mezcla w = 0,5 de U(0,1)/U(3,4) reutilizando el mismo U para rama y valor. Compará la media contra 2,0 y explicá el sesgo.

import random

random.seed(83)
N = 6000
bien, mal = [], []
for _ in range(N):
    u1, u2 = random.random(), random.random()
    bien.append(u1 if u1 < 0.5 else 3 + u2)  # dos U
for _ in range(N):
    u = random.random()
    mal.append(u if u < 0.5 else 3 + u)      # un U reutilizado
print("bien:", round(sum(bien) / N, 3))
print("mal: ", round(sum(mal) / N, 3), "(sesgada hacia arriba)")

09 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema formalizaremos esas mezclas: distribuciones mezcla.