Generación uniforme continua

01 · Punto de partida

El ladrillo continuo del simulador

¿Un retardo entre 2 y 5 segundos? ¿Una posición al azar en [0,10)? ¿Ruido ±0,5 sobre una señal? Todos son U(a,b): probabilidad repartida pareja en un intervalo continuo.

Es la salida cruda del generador base y la entrada de casi todos los métodos continuos: invertirla da exponenciales y otras leyes (Temas 22–27), y sin ella no hay Monte Carlo ni jitter.

• ¿Por qué a + (b−a)·U ya es exacto?
• ¿Qué densidad, CDF, media y varianza debe reproducir?
• ¿El borde b se incluye o no? ¿Importa?
• ¿Cuándo el flotante rompe la uniformidad?

02 · Definición

Densidad plana y rampa lineal

f(x) = 1/(b−a) en [a,b), F(x) = 0 si x < a, (x−a)/(b−a) si a ≤ x < b, 1 si x ≥ b. E[X] = (a+b)/2, Var(X) = (b−a)²/12.

03 · Anatomía

Bordes, flotante y resolución

Fórmula canónica

a + (b - a) * U con U ∈ [0,1). Da [a,b): el a sale, el b exacto casi nunca. En continuo, incluir o no un punto mide 0.

Orden de operaciones

Con |a| ≫ (b−a) se pierde resolución (cancelación). Preferir a * (1 - U) + b * U si el intervalo está lejos del cero.

Resolución finita

El doble tiene 2⁵³ valores en [0,1): intervalos de ~10⁻¹⁶. Con (b−a) > 2⁵³ o con bin ultra fino, usar enteros nativos o uniform de la librería.

No discretizar sin querer

int(), round() o pocos decimales convierten U(a,b) en discreta. Mantener flotante hasta el modelo que lo pida (Temas 17, 34).

04 · Para qué sirve una planicie

De la base al modelo

1. 1
   Tiempos y posiciones.

   Retardos, llegadas uniformes en una ventana, puntos al azar en un segmento.

2. 2
   Entrada de la inversa.

   X = F⁻¹(U) con U ~ U(0,1) genera exponenciales, Weibull y más. (Temas 5, 22, 27)

3. 3
   Jitter y Monte Carlo.

   Ruido ±h para romper empates, e integración promediando f sobre U(a,b).

4. 4
   Regla de escala.

   Si necesitás otro ancho o centro, reescalá: no busques otro generador.

05 · Representación en Python

Escala canónica y auditoría de momentos

Implementación directa más chequeo de media/varianza contra (a+b)/2 y (b−a)²/12.

import random

random.seed(170)
a, b = 2.0, 8.0
N = 12000

def uniforme_continua(a, b):
    return a + (b - a) * random.random()

m = [uniforme_continua(a, b) for _ in range(N)]
media = sum(m) / N
var = sum((x - media) ** 2 for x in m) / N
print("media:", round(media, 3), "teórica:", (a + b) / 2)
print("var:", round(var, 3), "teórica:", round((b - a) ** 2 / 12, 3))
print("min:", round(min(m), 3), "max:", round(max(m), 3))

Media ≈ 5,0 y var ≈ 3,0. El mínimo roza 2 y el máximo roza 8 sin pasarse.

06 · Exploración

Laboratorio: planicie que se muda y se estira

Movete a, el ancho y N. El histograma usa 20 bines entre a y b: cada barra debe pegarse a la línea 1/20 = 0,05. Con N chico hay ruido; con N grande, planicie.

20 bines entre a y b vs línea teórica. Probá ancho 10 con N = 200 (ruido) y N = 12000 (plano).

Preguntas para explorar

1. Con a = 2 y ancho 6, ¿media y varianza teóricas?
2. Mové a de 0 a 5 con ancho fijo. ¿Cambia la forma o solo la ubicación?
3. Duplicá el ancho. ¿La altura por bin cambia? ¿Y la varianza?

07 · Comprensión

Confusiones frecuentes

08 · Práctica guiada

Ejercicios con Python

Ejercicio 1: retardo auditado

Retardo U(2,8), N = 12000, semilla 171: verificá media 5,0 y var 3,0.

import random

random.seed(171)
a, b, N = 2.0, 8.0, 12000
m = [a + (b - a) * random.random() for _ in range(N)]
media = sum(m) / N
print(round(media, 3), round(sum((x-media)**2 for x in m)/N, 3))

Ejercicio 2: cazar el módulo

Compará a + (b−a)·U vs (a + 7·U) % 6 + 2 con a = 2, b = 8 y 20000 tiros. ¿Qué bordes se deforman?

import random

random.seed(172)
a, b, N = 2.0, 8.0, 20000
bien = [a + (b - a) * random.random() for _ in range(N)]
random.seed(172)
mal = [(a + 7 * random.random()) % 6 + 2 for _ in range(N)]
print("bien min/max:", round(min(bien), 2), round(max(bien), 2))
print("mal min/max: ", round(min(mal), 2), round(max(mal), 2))

Ejercicio 3: jitter simétrico

Con U(−1,1) sumá jitter a 2000 señales y verificá que la media del ruido ≈ 0 y la varianza ≈ 1/3.

import random

random.seed(173)
a, b, N = -1.0, 1.0, 2000
m = [a + (b - a) * random.random() for _ in range(N)]
media = sum(m) / N
print(round(media, 3), "vs 0.0")
print(round(sum((x-media)**2 for x in m)/N, 3), "vs 0.333")

09 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema mediremos esperas: la exponencial con −ln(U)/λ.