Generación normal

01 · Punto de partida

Por qué todo error parece campana

¿Errores de medición? ¿Alturas, notas, ruidos? Cuando muchas causas chicas e independientes se suman, el resultado es N(μ,σ²): la campana de Gauss. Es el destino del teorema central del límite y el ruido por defecto del simulador.

Generarla es distinto a todo lo anterior: su CDF no tiene inversa cerrada, así que la suma de 12 uniformes la aproxima y Box-Muller (Tema 24) la produce exacta.

• ¿Por qué basta generar Z ~ N(0,1) y luego μ + σZ?
• ¿Qué dicen 68-95-99,7 y cómo auditan el generador?
• ¿Por qué la inversa directa no es el camino?
• ¿Cuándo la suma de 12 uniformes alcanza y cuándo no?

02 · Definición

Campana, tipificación y regla 68-95-99,7

Soporte (−∞,∞), simétrica en μ. Tipificar Z = (X−μ)/σ lleva cualquier normal a N(0,1). P(|Z| ≤ 1) ≈ 0,683, P(|Z| ≤ 2) ≈ 0,954, P(|Z| ≤ 3) ≈ 0,997.

03 · Anatomía

Suma aproximada, Box-Muller exacta

Suma de 12 uniformes O(12)

Z ≈ Σ₁₂Uᵢ − 6: media 0 y var 1 exactas, forma casi campana. Gasta 12 U por muestra y trunca la cola en ±6: útil para enseñar, no para colas.

Box-Muller exacta O(1)

Dos U producen dos N(0,1) con log, raíz y giro (Tema 24). Exacta hasta la cola: la opción por defecto en producción.

Polar sin trigonometría

Variante de Box-Muller que evita senos y cosenos con rechazo en el disco (Tema 25). Misma exactitud, mejor costo.

Colas que importan

La suma-12 nunca pasa de ±6 (P real ≈ 2e−9, despreciable salvo riesgo extremo). Para 3σ+ o Value-at-Risk, método exacto sí o sí.

04 · Dónde suena la campana

Del error al modelo

1. 1
   Errores y medidas.

   Ruido de sensores, errores de medición, variaciones naturales alrededor de μ.

2. 2
   Finanzas y riesgo.

   Retornos, VaR y bandas 2σ–3σ: aquí las colas exactas sí importan.

3. 3
   Puente al muestreo.

   Base de normales multivariadas, correlacionadas y de procesos (Temas 28–29).

4. 4
   Puente al límite.

   Binomial y Poisson con parámetros grandes ⇒ campana. (Temas 19, 20)

05 · Representación en Python

Suma-12 frente a gauss exacto

Mismos μ y σ: la aproximación didáctica contra random.gauss (exacto). Ambas deben calzar en media, desvío y banda 68 %.

import random

random.seed(190)
mu, sigma, N = 0.0, 1.0, 8000

def normal_suma12(mu, sigma):
    z = sum(random.random() for _ in range(12)) - 6.0
    return mu + sigma * z

m1 = [normal_suma12(mu, sigma) for _ in range(N)]
random.seed(190)
m2 = [random.gauss(mu, sigma) for _ in range(N)]

def resumen(m):
    media = sum(m) / N
    var = sum((x - media) ** 2 for x in m) / N
    banda = sum(1 for x in m if abs(x - mu) <= sigma) / N
    return round(media, 3), round(var ** 0.5, 3), round(banda, 3)

print("suma12:", resumen(m1), "vs (0.0, 1.0, 0.683)")
print("gauss: ", resumen(m2), "vs (0.0, 1.0, 0.683)")

Ambas rondan media 0, desvío 1 y banda 0,683. La diferencia aparece en la cola ±4σ: suma-12 jamás llega.

06 · Exploración

Laboratorio: campana que se muda y se ensancha

Movete μ y σ con N fijo. El histograma usa 25 bines en μ ± 4σ; los rombos son la probabilidad teórica por bin. La curva se traslada con μ y se achata con σ.

25 bines en μ ± 4σ. Probá σ = 2,5 (chata) y μ = 3 (trasladada).

Preguntas para explorar

1. Con μ = 0 y σ = 1, ¿media, desvío y banda teóricas?
2. Duplicá σ a 2. ¿La campana se achata a la mitad de altura? ¿La banda sigue en 0,683?
3. Mové μ a 3 con σ = 1. ¿Cambia la forma o solo la ubicación?

07 · Comprensión

Confusiones frecuentes

08 · Práctica guiada

Ejercicios con Python

Ejercicio 1: sensores con N(10,2)

μ = 10, σ = 2, N = 8000 (semilla 191): verificá media ≈ 10, desvío ≈ 2 y banda [8,12] ≈ 0,683.

import random

random.seed(191)
mu, sigma, N = 10.0, 2.0, 8000
m = [random.gauss(mu, sigma) for _ in range(N)]
media = sum(m) / N
print(round(media, 3), "vs 10.0")
print(round((sum((x-media)**2 for x in m)/N) ** 0.5, 3), "vs 2.0")
print(round(sum(1 for x in m if abs(x-mu) <= sigma) / N, 3), "vs 0.683")

Ejercicio 2: colas 2σ y 3σ

Con Z ~ N(0,1) y N = 20000, estimá P(|Z| ≤ 2) ≈ 0,954 y P(|Z| ≤ 3) ≈ 0,997.

import random

random.seed(192)
N = 20000
m = [random.gauss(0, 1) for _ in range(N)]
print(round(sum(1 for x in m if abs(x) <= 2) / N, 3), "vs 0.954")
print(round(sum(1 for x in m if abs(x) <= 3) / N, 3), "vs 0.997")

Ejercicio 3: la suma-12 se queda sin cola

Compará el máximo absoluto de suma-12 contra gauss con N = 5000: la primera jamás pasa de 6.

import random

random.seed(193)
N = 5000
s12 = [sum(random.random() for _ in range(12)) - 6.0 for _ in range(N)]
random.seed(193)
g = [random.gauss(0, 1) for _ in range(N)]
print("máx |suma12|:", round(max(abs(x) for x in s12), 2), "(tope 6.0)")
print("máx |gauss|:", round(max(abs(x) for x in g), 2))

09 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema generamos la estándar exacta: Box-Muller con dos uniformes.