Otras continuas

01 · Punto de partida

Cuando la exponencial no alcanza

¿Una proporción entre 0 y 1? ¿Vida útil con desgaste creciente? ¿Ingresos con cola pesada? ¿Un plazo del que solo sabés mínimo, moda y máximo? Ninguno es exponencial: son beta, Weibull, lognormal y triangular, las cuatro continuas que completan la caja de herramientas.

Todas se generan con lo ya aprendido: inversión (Weibull, triangular), transformación de una normal (lognormal) y cociente de gammas (beta). Este tema las fija con receta, media y trampa numérica.

• ¿Qué receta genera cada una con qué uniformes?
• ¿Qué media y varianza auditan cada generador?
• ¿Qué forma delata cada parámetro?
• ¿Qué borde rompe cada fórmula en flotante?

02 · Definición

Cuatro recetas, cuatro firmas

Weibull(k,λ): F(x) = 1 − e^(−(x/λ)^k), media λΓ(1+1/k). Lognormal(μ,σ): media e^(μ+σ²/2), varianza (e^(σ²)−1)e^(2μ+σ²). Beta(a,b): soporte [0,1], media a/(a+b). Triangular(a,c,b): media (a+b+c)/3.

03 · Anatomía

Ramas, potencias y cocientes

Weibull: potencia 1/k

Con k < 1 la densidad explota en 0 y (−ln U)^(1/k) pide pow estable; con U = 1 exacto, −ln 0 = ∞. k = 1 debe dar la exponencial del Tema 22 bit a bit.

Triangular: punto de corte

Fc = (c−a)/(b−a): si U < Fc, X = a + √[U(b−a)(c−a)]; si no, X = b − √[(1−U)(b−a)(b−c)]. El borde U = Fc cae en la moda c por ambas ramas.

Lognormal: overflow

e^(μ+σZ) desborda en doble desde μ+σZ ≈ 709. Con σ grande la media teórica existe pero la muestral fluctúa salvaje: validar en escala log (media μ, desvío σ).

Beta: ceros simultáneos

Con a,b < 1 ambas gammas pueden dar ~0 y el cociente 0/0 es NaN. Generar con Marsaglia-Tsang + boost (Tema 26) y proteger la suma nula.

04 · Dónde vive cada una

Del modelo al generador

1. 1
   Weibull: desgaste.

   Vida útil con tasa creciente (k > 1) o infantil (k < 1): eólica, materiales, supervivencia.

2. 2
   Lognormal: multiplicación.

   Ingresos, precios, tamaños: productos de muchos factores positivos pequeños.

3. 3
   Beta: proporciones.

   Tasas, probabilidades y priors conjugados de binomiales en [0,1].

4. 4
   Triangular: opinión experta.

   Cuando solo hay mínimo, moda y máximo: PERT y estimaciones de plazo.

05 · Representación en Python

Las cuatro en un solo bloque

Un generador por familia con su auditoría de media: Weibull, lognormal, beta y triangular lado a lado.

import random
import math

random.seed(230)
N = 8000

def weibull(k, lam):
    return lam * (-math.log(1 - random.random())) ** (1 / k)

def lognormal(mu, sigma):
    return math.exp(random.gauss(mu, sigma))

def beta(a, b):
    ga = random.gammavariate(a, 1.0)
    gb = random.gammavariate(b, 1.0)
    return ga / (ga + gb)

def triangular(a, c, b):
    u = random.random()
    fc = (c - a) / (b - a)
    if u < fc:
        return a + math.sqrt(u * (b - a) * (c - a))
    return b - math.sqrt((1 - u) * (b - a) * (b - c))

mw = [weibull(1.5, 2.0) for _ in range(N)]
ml = [lognormal(0.0, 0.5) for _ in range(N)]
mb = [beta(2, 5) for _ in range(N)]
mt = [triangular(0, 3, 10) for _ in range(N)]
print("weibull:", round(sum(mw)/N, 3), "vs", round(2*math.gamma(1+1/1.5), 3))
print("lognormal:", round(sum(ml)/N, 3), "vs", round(math.exp(0.125), 3))
print("beta:", round(sum(mb)/N, 3), "vs", round(2/7, 3))
print("triangular:", round(sum(mt)/N, 3), "vs", round(13/3, 3))

Weibull ≈ 1,806, lognormal ≈ 1,133, beta ≈ 0,286 y triangular ≈ 4,333. Cuatro recetas, cuatro firmas.

06 · Exploración

Laboratorio: k esculpe la Weibull

Movete k con λ y N fijos. El histograma usa 20 bines hasta el cuantil 99,5 % (cola aparte); los rombos son la probabilidad teórica por bin. Con k = 1 ves exponencial; con k = 2, Rayleigh; con k = 3,5, casi campana.

20 bines hasta el cuantil 99,5 % más cola. Probá k = 1 (exponencial) y k = 3,5 (campana asimétrica).

Preguntas para explorar

1. Con k = 1,5 y λ = 2, ¿media teórica? ¿P(X ≤ λ)?
2. Llevá k a 1. ¿Recuperás Exp(0,5)? ¿Media 2 y cola e^(−1)?
3. Subí k a 3,5. ¿La forma se simetriza? ¿La varianza cae?

07 · Comprensión

Confusiones frecuentes

08 · Práctica guiada

Ejercicios con Python

Ejercicio 1: rodamiento Weibull

k = 2, λ = 1000 horas, N = 8000 (semilla 231): estimá vida media (≈ 886) y P(X ≤ 1000) (≈ 0,632).

import random
import math

random.seed(231)
k, lam, N = 2.0, 1000.0, 8000
m = [lam * (-math.log(1 - random.random())) ** (1/k) for _ in range(N)]
print(round(sum(m)/N, 1), "vs", round(lam*math.gamma(1+1/k), 1))
print(round(sum(1 for x in m if x <= lam)/N, 3), "vs 0.632")

Ejercicio 2: precios lognormales

μ = 3, σ = 0,4, N = 8000: verificá media ≈ e^(3,08) ≈ 21,76 y mediana ≈ e³ ≈ 20,09.

import random
import math

random.seed(232)
mu, sigma, N = 3.0, 0.4, 8000
m = [math.exp(random.gauss(mu, sigma)) for _ in range(N)]
s = sorted(m)
print(round(sum(m)/N, 2), "vs", round(math.exp(mu+sigma**2/2), 2))
print(round(s[N//2], 2), "vs", round(math.exp(mu), 2))

Ejercicio 3: plazo PERT triangular

Triangular(5, 10, 30) días, N = 8000: verificá media ≈ 15 y P(X ≤ 10) = Fc = 1/5 = 0,2.

import random
import math

random.seed(233)
a, c, b, N = 5.0, 10.0, 30.0, 8000
fc = (c - a) / (b - a)
m = []
for _ in range(N):
    u = random.random()
    if u < fc:
        m.append(a + math.sqrt(u * (b - a) * (c - a)))
    else:
        m.append(b - math.sqrt((1 - u) * (b - a) * (b - c)))
print(round(sum(m)/N, 2), "vs", round((a+b+c)/3, 2))
print(round(sum(1 for x in m if x <= c)/N, 3), "vs", round(fc, 3))

09 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema mezclamos campanas: variables correlacionadas.