Generación de variables continuas

01 · Punto de partida

Del escalón a la curva lisa

En el Tema 2 partimos [0,1) en intervalos y devolvimos etiquetas discretas. Ahora el objetivo es continuo: tiempos de espera, longitudes, temperaturas, latencias. Ya no hay “escalones” de probabilidad sino una densidad f(x) cuya área da probabilidad.

La buena noticia: el esquema U → g → X sigue intacto. La diferencia es que g ahora deforma el uniforme de forma lisa en vez de clasificarlo en cajas. El caso más simple —escalar U a cualquier intervalo— ya contiene todas las ideas.

• ¿Qué cambia al pasar de masa P(X = k) a densidad f(x)?
• ¿Por qué P(X = valor exacto) = 0 en el continuo?
• ¿Cómo se escala U(0,1) a U(a,b) sin sesgar bordes?
• ¿Qué adelanta este caso sobre la inversa general?

02 · Definición

Densidad, acumulada y probabilidad como área

Una continua se define por f(x) ≥ 0 con área total 1 y por su acumulada F(x) = ∫₋∞ˣ f(t) dt, ahora lisa y creciente. Entonces:

Consecuencia clave: P(X = 3,14159…) = 0. Solo los intervalos tienen probabilidad. Por eso un histograma con N grande debe parecerse a f, pero ningún valor exacto se repite (salvo redondeo).

03 · Anatomía

El caso canónico: escalar el uniforme

Si U ~ U(0,1), entonces X = a + (b − a)·U ~ U(a,b). Estira el intervalo [0,1) a [a,b) sin cambiar la “planicie”: la densidad pasa de 1 a 1/(b−a).

Escala y desplazamiento

Multiplicar por (b − a) fija el largo; sumar a fija el origen. El orden importa: primero escala, después desplaza.

Densidad resultante

f(x) = 1/(b − a) en [a,b), 0 fuera. Media (a+b)/2, varianza (b−a)²/12.

Bordes

U ∈ [0,1) produce X ∈ [a,b). El extremo b nunca sale exacto: es correcto, mide 0 de probabilidad.

Puente a la inversa

Esta fórmula ya es X = F⁻¹(U) para la uniforme, pues F(x) = (x−a)/(b−a). La exponencial y otras son el mismo patrón no lineal.

04 · A dónde lleva

De la recta al catálogo continuo

1. 1
   Uniforme continua U(a,b).

   Base de todo lo continuo. Se usa para jitter, perturbaciones y como propuesta de rechazo. (Tema 21)

2. 2
   Exponencial(λ).

   X = −ln(1−U)/λ. Tiempos entre eventos, primer caso de inversa no lineal. (Tema 22)

3. 3
   Normal, gamma y otras.

   Sin inversa elemental: Box-Muller, polar, sumas y rechazo. (Temas 23–27)

4. 4
   Validación continua.

   Histograma + densidad teórica superpuesta, CDF empírica y Kolmogorov-Smirnov. (Temas 36–38)

05 · Representación en Python

Escalar, exponenciar, mirar el histograma

Tres líneas bastan para la uniforme continua. La exponencial anticipa la inversa general del Tema 5.

import random
import math

random.seed(6)
a, b, N = 2.0, 5.0, 5000

def uniforme_continua(a, b):
    return a + (b - a) * random.random()

muestra = [uniforme_continua(a, b) for _ in range(N)]
media = sum(muestra) / N
print("media muestral:", round(media, 3))
print("media teórica:", (a + b) / 2)

Debe dar ≈ 3,5. Si achicás N a 50, el ruido crece: la media salta lejos de 3,5.

Adelanto: la exponencial con un logaritmo

import random
import math

random.seed(6)
lam, N = 1.5, 5000

def exponencial(lam):
    return -math.log(1 - random.random()) / lam

muestra = [exponencial(lam) for _ in range(N)]
print("media muestral:", round(sum(muestra) / N, 3))
print("media teórica:", round(1 / lam, 3))
print("P(X > 1) muestral:", round(sum(1 for x in muestra if x > 1) / N, 3))
print("P(X > 1) teórica:", round(math.exp(-lam * 1), 3))

06 · Exploración

Laboratorio: planicie de U(a,b)

Movete a, b y N. El histograma debe staying plano a la altura 1/(b−a) (línea amarilla). Si estrechás el intervalo, la densidad sube: la misma área 1 en menos ancho.

20 barras entre a y b. La línea punteada es la densidad teórica. Probá N = 200 (ruidoso) y N = 6000 (plano).

Preguntas para explorar

1. Con a = 2, b = 5, ¿qué altura teórica esperás? ¿Qué pasa si pasás a b = 3?
2. Con N = 200, ¿alguna barra se escapa mucho? ¿Es sesgo o ruido?
3. Si ponés a = b, ¿qué debería pasar? ¿Por qué el laboratorio lo impide?

07 · Comprensión

Confusiones frecuentes

08 · Práctica guiada

Ejercicios con Python

Ejercicio 1: jitter uniforme

Sumá ruido U(−0,5 · 0,5) a 3000 mediciones de 10,0 con semilla 12. La media debe seguir ≈ 10 y el rango ≈ [9,5 · 10,5).

import random

random.seed(12)
a, b, N = -0.5, 0.5, 3000
ruido = [a + (b - a) * random.random() for _ in range(N)]
mediciones = [10.0 + r for r in ruido]
print(round(sum(mediciones) / N, 3))
print(round(min(mediciones), 3), round(max(mediciones), 3))

Ejercicio 2: cola exponencial

Con λ = 2 y N = 8000 (semilla 13), estimá P(X > 0,5) y compará con e^(−λ·0,5) = e^(−1) ≈ 0,368.

import random
import math

random.seed(13)
lam, N = 2.0, 8000
m = [-math.log(1 - random.random()) / lam for _ in range(N)]
print(round(sum(1 for x in m if x > 0.5) / N, 3))
print(round(math.exp(-lam * 0.5), 3))

Ejercicio 3: romper la planicie a propósito

Generá Y = U² con 5000 uniformes y observá que ya no es plana: se concentra cerca de 0. Es el anticipo de cómo una g no lineal crea forma.

import random

random.seed(14)
N = 5000
ys = [random.random() ** 2 for _ in range(N)]
print("media:", round(sum(ys) / N, 3), "(teórica 1/3)")
print("P(Y < 0.25):", round(sum(1 for y in ys if y < 0.25) / N, 3), "(teórica 0.5)")

09 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema formalizaremos la pieza que une todo: la función de distribución acumulada F.