Distribuciones empíricas

01 · Punto de partida

Generar sin modelo paramétrico

¿Y si los tiempos medidos no son exponenciales ni Weibull? Cuando hay datos pero no fórmula, la distribución empírica hace de modelo: su CDF escalonada Fₙ se invierte como cualquier CDF (Temas 2 y 5), sorteando un dato o interpolando entre vecinos.

Es el remuestreo del Tema 30 mirado como generador: ya no se estima un estadístico, se produce material sintético con la misma forma de los datos.

• ¿Por qué x_(⌈nU⌉) invierte exactamente la escalera Fₙ?
• ¿Cuándo conviene interpolar y cuándo sortear el dato tal cual?
• ¿Qué reproduce el sintético y qué jamás inventa?
• ¿Cómo se audita contra Fₙ?

02 · Definición

Escalera, cuantil e interpolación

Fₙ(x) = (1/n)·#{xᵢ ≤ x}: salta 1/n en cada dato. Su cuantil es constante por tramos: Fₙ⁻¹(u) = x_(k) con k = ⌈nu⌉. La interpolada une (k/n, x_(k)) con rectas: continua y estrictamente creciente donde hay datos.

03 · Anatomía

Orden, bordes y grumos

Ordenar una sola vez

El cuantil exige ordenados: se ordena al inicio O(n log n) y cada muestra sale O(1). No reordenar por muestra.

Bordes U = 0 / U → 1

U = 0 da el mínimo; U → 1⁻ da el máximo. El sintético jamás sale de [mín, máx]: la cola real más allá no existe para Fₙ.

Grumos heredados

Con n = 20, cada dato pesa 5 %: el histograma sintético repite picos y huecos muestrales. No es sesgo del generador, es fidelidad a Fₙ.

Interpolación con memoria

Rellenar el hueco supone densidad pareja entre vecinos: hipótesis fuerte si el hueco es estructural (dos poblaciones). Documentar el supuesto.

04 · Dónde mandan los datos

De la muestra al gemelo sintético

1. 1
   Gemelos de demanda.

   Ventas o tiempos históricos sin modelo: escenarios con la misma forma observada.

2. 2
   Bootstrap generativo.

   El Tema 30 como fábrica de material, no solo de intervalos.

3. 3
   Datos sintéticos privados.

   Compartir forma sin compartir filas (con n grande y discretización).

4. 4
   Puente a histogramas.

   De la escalera Fₙ al histograma como modelo generativo. (Tema 35)

05 · Representación en Python

Discreta fiel frente a interpolada

Datos bimodales fijos (hueco real entre 3,8 y 7,0): ambas inversiones con auditoría de media y de hueco.

import random

random.seed(300)
datos = sorted([2.2,2.5,2.7,2.9,3.0,3.1,3.3,3.5,3.6,3.8,
                7.0,7.3,7.6,7.9,8.1,8.4,8.7,9.0,9.4,9.8])
n = len(datos)
N = 8000

def empirica_discreta():
    return datos[int(n * random.random())]

def empirica_interp():
    k = n * random.random()
    i = min(int(k), n - 2)
    f = min(k - i, 1.0)
    return datos[i] + f * (datos[i+1] - datos[i])

m1 = [empirica_discreta() for _ in range(N)]
random.seed(300)
m2 = [empirica_interp() for _ in range(N)]
hueco = lambda m: sum(1 for x in m if 3.8 < x < 7.0) / N
print("media datos:", round(sum(datos)/n, 3), "disc:", round(sum(m1)/N, 3))
print("hueco disc:", round(hueco(m1), 3), "interp:", round(hueco(m2), 3))

Media datos ≈ 5,69 (discreta ≈ 5,69; interpolada ≈ 5,88 por el relleno); hueco 0 % vs ≈ 5 %. La interpolada paga continuidad con invención.

06 · Exploración

Laboratorio: el hueco se respeta o se rellena

Generá N sintéticos de los 20 datos bimodales. Las barras son el histograma generado; los rombos, la empírica por bin. Activá interpolación y mirá cómo aparece masa donde jamás hubo datos.

20 bines en [2,10] vs empírica. Probá interpolar: el hueco (3,8; 7,0) se llena.

Preguntas para explorar

1. En discreto, ¿la media generada ≈ 5,69? ¿El hueco = 0?
2. Activá interpolación. ¿El hueco sube a ≈ 0,05? ¿La media se mueve un poco?
3. Bajá N a 500. ¿Los bines de cada moda se vuelven ruidosos?

07 · Comprensión

Confusiones frecuentes

08 · Práctica guiada

Ejercicios con Python

Ejercicio 1: gemelo fiel

Datos del tema, N = 10000 (semilla 301): la media discreta debe dar ≈ 5,69 ± 0,05.

import random

random.seed(301)
datos = sorted([2.2,2.5,2.7,2.9,3.0,3.1,3.3,3.5,3.6,3.8,
                7.0,7.3,7.6,7.9,8.1,8.4,8.7,9.0,9.4,9.8])
n, N = len(datos), 10000
m = [datos[int(n*random.random())] for _ in range(N)]
print(round(sum(m)/N, 3), "vs", round(sum(datos)/n, 3))

Ejercicio 2: medir el relleno

Compará el hueco (3,8; 7,0) discreto vs interpolado con N = 8000: 0 frente a ≈ 0,05.

import random

random.seed(302)
datos = sorted([2.2,2.5,2.7,2.9,3.0,3.1,3.3,3.5,3.6,3.8,
                7.0,7.3,7.6,7.9,8.1,8.4,8.7,9.0,9.4,9.8])
n, N = len(datos), 8000
d = [datos[int(n*random.random())] for _ in range(N)]
random.seed(302)
c = []
for _ in range(N):
    k = n*random.random()
    i = min(int(k), n-2)
    f = min(k-i, 1.0)
    c.append(datos[i] + f*(datos[i+1]-datos[i]))
h = lambda m: sum(1 for x in m if 3.8 < x < 7.0)/N
print(round(h(d), 3), round(h(c), 3))

Ejercicio 3: KS del gemelo

Calculá el D de Kolmogorov-Smirnov entre sintético discreto (N = 5000) y Fₙ: debe ser chico (≈ 0,01–0,02).

import random

random.seed(303)
datos = sorted([2.2,2.5,2.7,2.9,3.0,3.1,3.3,3.5,3.6,3.8,
                7.0,7.3,7.6,7.9,8.1,8.4,8.7,9.0,9.4,9.8])
n, N = len(datos), 5000
m = [datos[int(n*random.random())] for _ in range(N)]
D = 0.0
for x in sorted(set(datos)):
    fn = sum(1 for v in m if v <= x) / N
    fe = sum(1 for d in datos if d <= x) / n
    D = max(D, abs(fn - fe))
print("D:", round(D, 3))

09 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema construimos el modelo: distribuciones desde histogramas y datos.