Histogramas generados

01 · Punto de partida

El retrato honesto de la muestra

El QQ del Tema 36 juzga cuantil por cuantil; el histograma muestra la forma de un golpe: modas, asimetrías y colas. Pero solo si está en escala densidad (área 1) con la curva teórica superpuesta: en conteos crudos, cualquier curva “encaja” reescalando a ojo.

El parámetro que todo lo decide vuelve a ser k: pocos bines esconden el sesgo, demasiados lo ahogan en ruido.

• ¿Por qué altura = conteo/(N·ancho) y no conteo?
• ¿Qué k elegir con N = 6000: 8, 20 o 100?
• ¿Qué artefactos delatan un k malo o un eje tramposo?
• ¿Cuándo el histograma no alcanza y pide QQ?

02 · Definición

Densidad, área y curva

Con N puntos y ancho w: alturaⱼ = cⱼ/(N·w) y Σ alturaⱼ·w = 1, la misma escala de f. El chi por bin (obs−esp)²/esp resume el desvío; con k = 20 y N = 6000 se esperan ~300 puntos por bin central.

03 · Anatomía

Rango, bordes y ejes honestos

Rango fijo antes de mirar

Fijar [−4,4] con N(0,1) antes de generar: cubre 99,99 %. Elegir el rango “donde hay datos” recorta colas y aplana la comparación.

Bordes compartidos

Los mismos bordes para muestra y teórica: el chi por bin necesita esperados N·(Φ(e₁)−Φ(e₀)) con idénticos cortes, colas plegadas a los extremos.

Eje y desde cero

Truncar el eje vertical exagera brechas de 0,01 en dramas. Densidad desde 0, siempre.

Colas piden zoom

El histograma global no resuelve P(|Z| > 3) ≈ 0,003: para colas, QQ (Tema 36) o escala logarítmica declarada.

04 · Dónde se mira así

Del vistazo al informe

1. 1
   Primera mirada.

   Todo generador nuevo se grafica antes de medirse: modas dobles y cortes saltan al ojo.

2. 2
   Informes.

   El gráfico que acompaña cada D y cada chi del Tema 38.

3. 3
   Comparar métodos.

   Box-Muller vs suma-12: idéntico centro, colas distintas que el histograma con k fino revela.

4. 4
   Puente al test.

   Los mismos bines alimentan el chi-cuadrado formal. (Tema 38)

05 · Representación en Python

Densidad, curva y chi con k = 20

N(0,1) en [−4,4]: alturas que integran 1, φ encima y chi por bin con colas plegadas.

import random
import math

random.seed(330)
N, k, LO, HI = 6000, 20, -4.0, 4.0
m = [random.gauss(0, 1) for _ in range(N)]
w = (HI - LO) / k
conteo = [0]*k
for x in m:
    conteo[min(k-1, max(0, int((x-LO)/w)))] += 1
print("área:", round(sum(c/N for c in conteo), 3))
Phi = lambda t: 0.5*(1+math.erf(t/math.sqrt(2)))
esp = [N*(Phi(LO+(j+1)*w)-Phi(LO+j*w)) for j in range(k)]
esp[0] += N*Phi(LO)
esp[-1] += N*(1-Phi(HI))
print("chi:", round(sum((c-e)**2/e for c, e in zip(conteo, esp)), 1))

Área = 1,000 y chi ≈ gl (k−1 menos parámetros). Con k = 100 el chi se dispara por ruido.

06 · Exploración

Laboratorio: k que muestra u oculta

N(0,1) con N fijo en [−4,4]. Las barras están en densidad; la curva amarilla es φ. Movete k: con 6 todo calza a la fuerza, con 60 el ruido parece estructura.

Barras en densidad con φ encima. Probá k = 6 (bloques) y k = 60 (dientes).

Preguntas para explorar

1. Con k = 20, ¿chi ≈ 19? ¿Media y desvío ≈ (0, 1)?
2. Bajá a k = 6. ¿El chi baja aunque se vea “peor”? ¿Por qué?
3. Subí a k = 60. ¿El chi trepa? ¿Sesgo o dientes?

07 · Comprensión

Confusiones frecuentes

08 · Práctica guiada

Ejercicios con Python

Ejercicio 1: área que integra 1

N = 6000, k = 20 en [−4,4] (semilla 331): el área debe dar 1,000 exacto a redondeo.

import random

random.seed(331)
N, k, LO, HI = 6000, 20, -4.0, 4.0
m = [random.gauss(0, 1) for _ in range(N)]
w = (HI-LO)/k
conteo = [0]*k
for x in m:
    conteo[min(k-1, max(0, int((x-LO)/w)))] += 1
print(round(sum(c/(N*w)*w for c in conteo), 4))

Ejercicio 2: chi que muerde justo

Mismo armado: chi ≈ 19 ± 9. Con k = 6 debe rondar 5 ± 4: absuelve hasta lo visible.

import random
import math

random.seed(332)
N, k, LO, HI = 6000, 20, -4.0, 4.0
m = [random.gauss(0, 1) for _ in range(N)]
w = (HI-LO)/k
conteo = [0]*k
for x in m:
    conteo[min(k-1, max(0, int((x-LO)/w)))] += 1
Phi = lambda t: 0.5*(1+math.erf(t/math.sqrt(2)))
esp = [N*(Phi(LO+(j+1)*w)-Phi(LO+j*w)) for j in range(k)]
print(round(sum((c-e)**2/e for c, e in zip(conteo, esp)), 1))

Ejercicio 3: la impostora casi calza

Uniforme ±√3 con k = 8: el histograma “parece” campana recortada y el chi la condena igual.

import random
import math

random.seed(333)
N, k, LO, HI, a = 6000, 8, -4.0, 4.0, math.sqrt(3)
m = [random.uniform(-a, a) for _ in range(N)]
w = (HI-LO)/k
conteo = [0]*k
for x in m:
    conteo[min(k-1, max(0, int((x-LO)/w)))] += 1
Phi = lambda t: 0.5*(1+math.erf(t/math.sqrt(2)))
esp = [N*(Phi(LO+(j+1)*w)-Phi(LO+j*w)) for j in range(k)]
print(round(sum((c-e)**2/e for c, e in zip(conteo, esp)), 1), "vs gl 7")

09 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema la sentencia: validación estadística con chi, KS y rachas.