Inversión analítica

01 · Punto de partida

Cuando la inversa cabe en una línea

La transformada inversa (Tema 5) es general, pero solo es “barata” si Q(u) tiene fórmula cerrada: un logaritmo, una potencia, una raíz. Este tema es el recetario de esas Q: cómo se deducen, cómo se verifican y cuánto cuestan.

Si tu distribución está en este catálogo, el generador es una función de 1–2 operaciones. Si no está (normal, gamma general, beta), no la fuerces: va numérica (Tema 7) o método dedicado.

• ¿Cómo se despeja x de u = F(x) sin memorizar?
• ¿Qué verificaciones evitan un signo o una rama mal elegida?
• ¿Log, potencia o raíz: qué cuesta cada una por millón de muestras?
• ¿Qué Q conviene memorizar de por vida?

02 · Definición

El despeje universal en 3 pasos

Sea u = F(x). Entonces: 1) aislar el término con x, 2) aplicar la inversa (log, potencia, tan), 3) despejar x. Ejemplo guía con Weibull F(x) = 1 − exp(−(x/λ)^k):

03 · Anatomía

Triangular: la Q por tramos bien hecha

La triangular(a,c,b) —mínimo a, moda c, máximo b— no tiene una sola fórmula sino dos ramas según de qué lado de la moda cae u. Sea F_c = (c−a)/(b−a):

Rama izquierda (u < F_c)

X = a + √[u·(b−a)·(c−a)]. Nace de u = (x−a)²/[(b−a)(c−a)].

Rama derecha (u ≥ F_c)

X = b − √[(1−u)·(b−a)·(b−c)]. Nace de 1−u = (b−x)²/[(b−a)(b−c)].

Continuidad en la moda

Ambas ramas dan c cuando u = F_c. Si tu código salta en la moda, mezclaste los anchos (c−a) y (b−c).

Costo

Una comparación + una raíz cuadrada. Más barata que un log y exacta, ideal para PERT y tiempos “optimista–más probable–pesimista”.

04 · Cuándo usar cada una

Del modelo a la Q en 30 segundos

1. 1
   Tiempos y fallas.

   Exponencial (tasa constante) y Weibull (tasa creciente/decreciente según k). (Temas 22, 27)

2. 2
   Riesgo y colas pesadas.

   Pareto para ingresos/ciudades/redes; Cauchy como contraejemplo sin media. Truncar con criterio.

3. 3
   Opinión y duraciones acotadas.

   Triangular(a,c,b) y U(a,b) para “mín–moda–máx” cuando no hay datos para más. (Tema 27)

4. 4
   Crecimiento logístico.

   Logística(μ,s): prima de la normal con Q elemental. Útil para testear código normal antes de Box-Muller.

05 · Representación en Python

Cinco Q en diez líneas

El mismo U alimenta cinco distribuciones. Cambiar de modelo es cambiar de Q, no de arquitectura.

import random
import math

random.seed(40)

def Q_weibull(u, lam=1.0, k=2.0):
    return lam * (-math.log(1 - u)) ** (1 / k)

def Q_pareto(u, xm=1.0, alpha=2.0):
    return xm * (1 - u) ** (-1 / alpha)

def Q_logistica(u, mu=0.0, s=1.0):
    u = min(max(u, 1e-12), 1 - 1e-12)
    return mu - s * math.log((1 - u) / u)

def Q_cauchy(u, x0=0.0, gamma=1.0):
    u = min(max(u, 1e-12), 1 - 1e-12)
    return x0 + gamma * math.tan(math.pi * (u - 0.5))

def Q_triangular(u, a=0.0, c=2.0, b=5.0):
    Fc = (c - a) / (b - a)
    if u < Fc:
        return a + math.sqrt(u * (b - a) * (c - a))
    return b - math.sqrt((1 - u) * (b - a) * (b - c))

N = 6000
for nombre, Q in [("weibull", Q_weibull), ("pareto", Q_pareto),
                  ("logistica", Q_logistica), ("cauchy", Q_cauchy),
                  ("triangular", Q_triangular)]:
    m = sorted(Q(random.random()) for _ in range(N))
    print(nombre, "mediana ≈", round(m[N // 2], 3))

Esperado: weibull ≈ 0,83 · pareto ≈ 1,41 · logistica ≈ 0 · cauchy ≈ 0 (con extremos enormes) · triangular ≈ 2,1.

06 · Exploración

Laboratorio: Weibull que cambia de forma con k

Movete k con λ = 1 fijo. Con k < 1 la densidad explota en 0 (fallas infantiles); con k = 1 es exponencial; con k > 1 se concentra (desgaste). El histograma debe seguir a la curva teórica.

Histograma en densidad hasta el percentil 99. Probá k = 0,5 (pico en cero) y k = 3 (campana asimétrica).

Preguntas para explorar

1. Con k = 1, ¿a qué distribución colapsa? Verificá mediana ln 2 ≈ 0,693.
2. Con k = 0,5, ¿por qué la primera barra es altísima? Mirá f(x) cerca de 0.
3. Con N = 300, ¿la mediana sigue estable aunque el histograma esté ruidoso?

07 · Comprensión

Confusiones frecuentes

08 · Práctica guiada

Ejercicios con Python

Ejercicio 1: deducir Pareto sin mirar

Partí de F(x) = 1 − (1/x)² para x ≥ 1, despejá Q y validá la mediana √2 con 6000 muestras (semilla 41).

import random

random.seed(41)
N = 6000
m = sorted((1 - random.random()) ** (-1 / 2) for _ in range(N))
print(round(m[N // 2], 3), "vs", round(2 ** 0.5, 3))

Ejercicio 2: logística como “normal barata”

Generá 8000 logísticas(μ=10, s=2) y verificá mediana ≈ 10 y P(X > 12) = 1/(1+e^((12−10)/2)) ≈ 0,269.

import random
import math

random.seed(42)
mu, s, N = 10.0, 2.0, 8000
m = []
for _ in range(N):
    u = random.random()
    u = min(max(u, 1e-12), 1 - 1e-12)
    m.append(mu - s * math.log((1 - u) / u))
m_sorted = sorted(m)
print("mediana:", round(m_sorted[N // 2], 3))
print("cola:", round(sum(1 for x in m if x > 12) / N, 3), "vs", round(1 / (1 + math.exp(1)), 3))

Ejercicio 3: triangular a mano y a código

Triangular(0,2,5): calculá F_c y predecí Q(0,2) y Q(0,8) con las ramas. Después comprobá generando 5000 y mirando la moda.

import random
import math

random.seed(43)
a, c, b = 0.0, 2.0, 5.0
Fc = (c - a) / (b - a)

def Q(u):
    if u < Fc:
        return a + math.sqrt(u * (b - a) * (c - a))
    return b - math.sqrt((1 - u) * (b - a) * (b - c))

print("Fc =", Fc, " Q(0.2) =", round(Q(0.2), 3), " Q(0.8) =", round(Q(0.8), 3))
m = [Q(random.random()) for _ in range(5000)]
print("media muestral:", round(sum(m) / len(m), 3), "teórica:", round((a + b + c) / 3, 3))

09 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema veremos qué hacer cuando no hay despeje posible: la inversión numérica.