Método de aceptación y rechazo

01 · Punto de partida

Generar sin despejar ni iterar

La inversa exige Q; la numérica exige resolver F(x) = u en cada muestra. ¿Y si solo sabés evaluar f(x) y muestrear una propuesta g fácil parecida? Entonces podés “filtrar” propuestas: aceptar las que caen bajo f y rechazar el resto. Lo aceptado sigue exactamente f.

Es el método más versátil del curso: sirve para densidades sin acumulada cerrada, truncamientos, a prioris bayesianas y discretas sin tabla completa.

• ¿Qué condición debe cumplir la envolvente c·g?
• ¿Cuál es el algoritmo en 3 líneas?
• ¿Qué fracción se acepta y cuántos intentos cuesta cada X?
• ¿Qué pasa si c es demasiado chico?

02 · Definición

Algoritmo y por qué es exacto

Repetir hasta aceptar: 1) Y ~ g, 2) U ~ U(0,1), 3) si U ≤ f(Y)/(c·g(Y)) devolver Y. La prueba: P(Y ≤ x y aceptada) = ∫₋∞ˣ f/c = F(x)/c, y al condicionar a “aceptada” (prob. 1/c) queda F(x).

03 · Anatomía

Las tres piezas que no pueden fallar

Soporte cubierto

Donde f > 0 debe cumplirse g > 0. Si g deja un hueco con masa de f, lo aceptado jamás visita ese hueco: sesgo irrecuperable.

Mayorización f ≤ c·g

Si en algún x la envolvente queda por debajo, esos x se aceptan de más: el histograma supera a f ahí. Validar con gráfico f vs c·g.

Muestreador de g + evaluador de f

Necesitás ambos. g se muestrea por inversa directa (uniforme, exponencial) y f se evalúa punto a punto, incluso sin constante normalizadora.

Costo aleatorio

Número de intentos ~ Geométrica(1/c), media c. Con c = 2,46 pagás ~2,46 propuestas por muestra; con c = 20, el método es inviable.

04 · Dónde rinde

El comodín cuando no hay Q

1. 1
   Beta / truncadas con uniforme.

   Soporte [0,1] o [a,b]: g uniforme, c = máx f. Simple y suficiente si el pico no es extremo. (Tema 27)

2. 2
   Gamma con exponencial.

   Propuesta exponencial con igual tasa: c chico si α cercano a 1; si no, método dedicado. (Tema 26)

3. 3
   Normal con exponencial (polar alternativo).

   Clásico didáctico; en producción Box-Muller/polar son directos. (Temas 24–25)

4. 4
   Discretas sin tabla.

   Poisson grande o binomial con propuesta geométrica/uniforme: evita acumular infinito. (Temas 19–20)

05 · Representación en Python

Rechazo genérico en 10 líneas

Ejemplo guía: Beta(2,5) con propuesta U(0,1). f(x) = 30·x·(1−x)⁴, c = 2,4576 (máximo en x = 0,2).

import random
import math

random.seed(60)
C = 2.4576  # sup de f Beta(2,5) con propuesta U(0,1)

def f_beta(x):
    return 0.0 if x < 0 or x > 1 else 30 * x * (1 - x) ** 4

def rechazo_beta():
    while True:
        y = random.random()          # Y ~ g = U(0,1)
        u = random.random()          # decisión independiente
        if u <= f_beta(y) / C:
            return y

N = 6000
m = [rechazo_beta() for _ in range(N)]
print("media muestral:", round(sum(m) / N, 3), "teórica:", round(2 / 7, 3))
print("P(X>0.5):", round(sum(1 for x in m if x > 0.5) / N, 3))

Media teórica Beta(2,5) = a/(a+b) = 2/7 ≈ 0,286. Con C válido debe dar ≈ 0,28–0,29; con C = 1,8 se desplaza visiblemente.

06 · Exploración

Laboratorio: envolvente que cubre o que rompe

Movete c con N fijo. La curva azul es f Beta(2,5); la línea es c·g = c. Si c < 2,46 la envolvente corta a f (zona inválida sombreada) y el histograma se deforma. La tasa teórica es 1/c.

Histograma en densidad de las aceptadas vs f teórica. Probá c = 1,8 (rota) y c = 4 (válida pero derrochadora).

Preguntas para explorar

1. Con c = 2,46, ¿qué tasa esperás? ¿Cuántas aceptadas salen de 6000 propuestas?
2. Bajá a c = 1,8. ¿Dónde se deforma el histograma y por qué justo en el pico x ≈ 0,2?
3. Subí a c = 4. ¿Sigue exacta? ¿Qué pagás a cambio?

07 · Comprensión

Confusiones frecuentes

08 · Práctica guiada

Ejercicios con Python

Ejercicio 1: tasa que coincide con 1/c

Con C = 2,4576 y 20000 propuestas (semilla 61), medí aceptados/intentos y compará con 1/C ≈ 0,407.

import random

random.seed(61)
C = 2.4576
def f(x):
    return 30 * x * (1 - x) ** 4

acc = 0
N = 20000
for _ in range(N):
    y, u = random.random(), random.random()
    if u <= f(y) / C:
        acc += 1
print(acc / N, "vs", round(1 / C, 3))

Ejercicio 2: envolvente rota a propósito

Repetí con C = 1,8 y compará media muestral vs 0,286. El sesgo debe ser visible.

import random

random.seed(62)
C = 1.8
def f(x):
    return 30 * x * (1 - x) ** 4

m = []
while len(m) < 6000:
    y, u = random.random(), random.random()
    if u <= f(y) / C:
        m.append(y)
print(round(sum(m) / len(m), 3), "vs 0.286")

Ejercicio 3: discreto por rechazo

Objetivo p = [0,5 · 0,3 · 0,2] en {1,2,3} con propuesta uniforme q = 1/3. Calculá c = máx p/q y generá por rechazo.

import random

random.seed(63)
p = [0.5, 0.3, 0.2]
q = 1 / 3
c = max(pi / q for pi in p)  # 1.5
print("c =", c, "tasa =", round(1 / c, 3))

def propuesta():
    return random.choice([1, 2, 3])

m = []
while len(m) < 6000:
    y = propuesta()
    u = random.random()
    if u <= (p[y-1] / q) / c:
        m.append(y)
for v in [1, 2, 3]:
    print(v, round(m.count(v) / len(m), 3))

09 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema aprenderemos a elegir esa envolvente g y su c sin adivinar.