Formulación matemática

01 · Punto de partida

Del dibujo a la ecuación

El esquema dice «el nivel sube con la entrada y baja con la salida». La formulación matemática lo escribe sin ambigüedad: n(t+1) = n(t) + e − s. Esa precisión permite verificar, comparar y programar sin adivinar.

• ¿Cómo se escribe esta flecha con símbolos?
• ¿Qué significa cada letra y en qué unidades?
• ¿La ecuación cubre bordes y casos raros?
• ¿Código y ecuación dan lo mismo?

02 · Las ecuaciones del curso

Cuatro fórmulas que ya conocés

03 · Ingredientes formales

Cómo escribir sin ambigüedad

1. 1
   Nombrá y tipificá.

   Cada letra con significado y unidades: n en litros, t en pasos.

2. 2
   Indexá el tiempo.

   t, t+1: quién es antes y quién después, siempre explícito.

3. 3
   Cubrí los bordes.

   mín, máx y condicionales: la ecuación también respeta el contorno.

4. 4
   Contrastá con código.

   Mismos datos, mismo resultado: ecuación y programa empatan.

Recurrencia

Ecuación que define el siguiente a partir del actual.

Forma cerrada

Resultado directo sin iterar: n(t) = n₀ + b × t.

Definición por partes

Reglas distintas según la zona (con o sin tope).

Notación

Acuerdo de símbolos: el idioma del equipo.

04 · Puentes

La ecuación que verifica

El Tema 25 llevará esta ecuación al programa definitivo. Por ahora: toda recurrencia del curso debe poder escribirse y leerse en voz alta.

05 · En Python

Ecuaciones que corren

def cerrado(n0, balance, t):
    # Forma cerrada: n(t) = n0 + b * t.
    return max(n0 + balance * t, 0)


def recurrente(n0, balance, pasos):
    # Recurrencia: n(t+1) = n(t) + b.
    n = n0
    for t in range(pasos):
        n = max(n + balance, 0)
    return n


print(cerrado(10, 2, 6), recurrente(10, 2, 6))

Sumatorias que resumen

ventas = [5, 8, 6, 9]


def total(xs):
    # T = x1 + x2 + ... + xn.
    return sum(xs)


print("total:", total(ventas))
print("promedio:", round(total(ventas) / len(ventas), 2))

06 · Exploración

Laboratorio: dónde muere la fórmula ingenua

La recta es la fórmula cerrada ingenua (sin tope); la curva, la recurrencia con tope. Se separan justo donde el contorno actúa. Movete el tope.

La brecha entre ambas es el error de ignorar el contorno en la ecuación.

Preguntas para explorar

1. Con tope 50, ¿se tocan en 12 pasos? ¿Qué dice eso de la fórmula ingenua?
2. ¿En qué t toca el tope con balance 2 e inicio 10?
3. Escribí la ecuación completa (por partes) de este laboratorio.

07 · Comprensión

Confusiones frecuentes

08 · Práctica guiada

Ejercicios con Python

Ejercicio 1: empatar lenguajes

Verificá que cerrada y recurrencia empaten sin tope.

def cerrado(n0, balance, t):
    return max(n0 + balance * t, 0)

def recurrente(n0, balance, pasos):
    n = n0
    for t in range(pasos):
        n = max(n + balance, 0)
    return n


print(cerrado(10, 2, 6), recurrente(10, 2, 6))

Ejercicio 2: sumar con notación

Total y promedio de [5, 8, 6, 9] con funciones que declaran su ecuación.

ventas = [5, 8, 6, 9]
print("total:", sum(ventas))
print("promedio:", round(sum(ventas) / len(ventas), 2))

Ejercicio 3: escribir por partes

Escribí en palabras y en código la recurrencia con tope del laboratorio.

# n(t+1) = min(n(t) + b, TOPE), n(0) = inicio.
def paso(n, b, tope):
    return min(n + b, tope)


print(paso(29, 2, 30), paso(10, 2, 30))

09 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema pasaremos del papel al programa: el modelo computacional.