Uniformidad

01 · Punto de partida

La propiedad que sostiene el edificio

En el Tema 7 listamos las exigencias; hoy abrimos la primera: uniformidad. Casi todo lo que harás después —llevar [0,1) a [a,b), sortear enteros, mezclar, muestrear (Temas 19–25)— presupone que tu base es uniforme. Si la base está torcida, cada piso hereda el sesgo.

Uniforme no significa «promedia 0,5». Significa algo más fuerte y comprobable: cada pedazo igual de [0,1) recibe la misma cantidad de valores, a menos de fluctuación muestral.

• ¿Qué promete exactamente U(0,1)?
• ¿Cómo se distingue uniforme continuo de uniforme discreto?
• ¿Cuánto desvío es normal con N finito?
• ¿Cómo lo medís con un histograma sin autoengañarte?

02 · Definición

Continua y discreta, sin mezclar

03 · Medición

Medir uniformidad sin mentirte

Histograma con esperado

Contá por bins y dibujá la línea N/k. Ojo entrenado en 10 segundos: huecos y picos sistemáticos.

Desvío máximo

max|obs − esp| / esp: con N grande debe achicarse. Si con N = 2000 sigue en 80 %, hay sesgo, no mala suerte.

Chi intuitivo

sum((obs−esp)²/esp): resume todos los bins en un número. Valores chicos = parejo; enormes = torcido. Formal en Tema 27.

Bins con criterio

Ni 2 ni 200: con N = 1000, 8–16 bins. Muy pocos esconden sesgo; demasiados convierten ruido en «patrón».

04 · Ejemplos

Tres uniformes que debes reconocer

1. 1
   Dado justo.

   Uniforme discreta k = 6: cada cara 1/6. En 6000 tiros, ~1000 por cara.

2. 2
   Décimos de U(0,1).

   Uniforme continua troceada en 10: cada décimo 10 %. Es el test de frecuencia (Tema 29).

3. 3
   Constante 0,5.

   Media perfecta, varianza cero, histograma de un solo pico: la anti-uniforme. Nunca simula nada.

05 · Cómputo en Python

Histograma y chi en 15 líneas

El patrón que repetirás en los Temas 27 y 29: contar, comparar con N/k y resumir.

import random

random.seed(5)
N, K = 1000, 10
vals = [random.random() for _ in range(N)]
bins = [0] * K
for v in vals:
    bins[min(K - 1, int(v * K))] += 1
print("obs:", bins)
print("esp:", N // K)

Todos deben rondar 100. Un 40 o un 170 repetido con N = 1000 ya es señal, no anécdota.

Chi intuitivo

Un solo número para «qué tan lejos del plano»:

esp = N / K
chi = sum((o - esp) ** 2 / esp for o in bins)
print("chi:", round(chi, 2), "(con K=10, sano ronda 5-15)")

06 · Exploración

Laboratorio: plano con ruido vs. torcido

Elegí fuente, N y cantidad de bins. La línea punteada es el ideal N/k. El panel da media, desvío máximo y chi intuitivo.

Barras parejas con ruido = sano. Pico sistemático o bins vacíos = sesgo aunque N crezca.

Preguntas para explorar

1. Con sano y N = 100, ¿el desvío máximo es grande? ¿Y con N = 3000? ¿Qué enseña sobre juzgar con poco N?
2. Con sesgado, ¿el chi baja al subir N o se confirma? ¿Por qué?
3. Con constante 0,5 y k = 10, ¿cuántos bins quedan vacíos? ¿Qué media da igual?

07 · Comprensión

Confusiones frecuentes

08 · Práctica guiada

Ejercicios con Python

Ejercicio 1: el intervalo [0,2, 0,4)

Si U es uniforme, P(0,2 ≤ U < 0,4) = 0,2. Verificalo con 5000 valores: ¿qué proporción cae ahí?

import random

random.seed(8)
vals = [random.random() for _ in range(5000)]
dentro = sum(1 for v in vals if 0.2 <= v < 0.4)
print(dentro / len(vals))

Ejercicio 2: dado de 6000

Simulá el dado como int(U*6)+1 y contá por cara. ¿Alguna se escapa de 900–1100?

import random

random.seed(8)
dados = [int(random.random() * 6) + 1 for _ in range(6000)]
print([dados.count(c) for c in range(1, 7)])

Ejercicio 3: chi de juguete

Calculá el chi de tu histograma de 10 bins con N = 1000. Sano ronda 5–15; sesgado se dispara a cientos.

import random

random.seed(8)
N, K = 1000, 10
vals = [random.random() for _ in range(N)]
bins = [0] * K
for v in vals:
    bins[min(K - 1, int(v * K))] += 1
esp = N / K
chi = sum((o - esp) ** 2 / esp for o in bins)
print(bins)
print("chi:", round(chi, 2))

09 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema veremos la segunda exigencia: la independencia, es decir, que conocer el presente no te regale el futuro.