33. Intervalos de confianza | Probabilidad y Estadística para Simulación

01 · Punto de partida

Del punto al rango

p̂ = 0,12 solo dice el centro. 0,12 ± 0,02 al 95 % dice centro, precisión y riesgo: el procedimiento cubre al verdadero p en 95 de cada 100 muestras. Sin intervalo, dos escenarios «iguales» pueden ser indistinguibles o muy distintos.

El ancho lo mandan n y la confianza: más n angosta, más confianza ensancha. Decidir es comparar intervalos, no puntos (tema 43).

¿Qué margen necesito para decidir?
¿Qué n da ese margen al 95 %?
¿Los intervalos de A y B se solapan?
¿El 95 % es del procedimiento, no del parámetro?

02 · Definición

Fórmulas que usarás siempre

p̂±

Proporción

p̂ ± z·√(p̂(1−p̂)/n). Con 95 %, z ≈ 1,96 ≈ 2. n·p̂ y n(1−p̂) mayores a 5.

x̄±

Media

x̄ ± z·s/√n (n grande) o t con n chico. El clásico de tiempos y demandas.

Lectura

«95 % de los intervalos cubren θ». El intervalo es aleatorio; θ es fijo. No es P(θ dentro).

p̂ \pm z\cdot\sqrt(p̂(1-p̂)/n) \cdot x̄ \pm z\cdots/\sqrtn \cdot z₀,₉₅ \approx 1,96

p̂ = 0,12: ancho 95 % por n.
n	200	1100	5000
± margen	±0,045	±0,019	±0,009
Decide	grueso	útil	fino

03 · Ancho y n

Precisión se compra con datos

Angosta con n

Margen ~ 1/√n

Para mitad de margen, 4× n. De ±0,04 a ±0,01 cuesta 16×. Planificar evita medir de menos.

Ensanchada por confianza

90 / 95 / 99

z = 1,64 / 1,96 / 2,58. Más confianza, más ancho con igual n. 95 % es el estándar práctico.

Cobertura: Fracción de intervalos que cubren θ en repeticiones. Debe rondar la nominal (95 %).
Margen: Mitad del ancho: lo que se informa como ±. Define si A supera a B.
Solape: Intervalos que se solapan = empate técnico. Sin solape = diferencia detectable.
n chico: Con n chico usar t (más ancho) o exactos; la normal subestima el margen.

04 · Ejemplos

Rangos que firman

θ̂±z·SE=Decisión

1
Conversión.
0,12 ± 0,02: la mejora a 0,15 es real (no se solapa).
2
Espera.
4 ± 0,2 min con n = 400: SLA 4,5 holgado.
3
Llegadas.
8 ± 0,9/hora: dotación para 9, no para 8.
4
A/B.
A: 0,12 ± 0,01; B: 0,15 ± 0,01 → B gana (tema 43).
5
Raras.
p = 0,02 con n = 200: intervalo ancho, no publicar sin más n.

05 · Representación en Python

Intervalo en 3 líneas

Python en tu navegador. Cambiá n y mirá el ancho.

import math
# p̂=0.12, n=1100, 95%
p, n, z = 0.12, 1100, 1.96
se = math.sqrt(p*(1-p)/n)
print(round(p-z*se, 4), round(p+z*se, 4))

Consejo: con n = 200 el ancho duplica al de 1100: margen ~ 1/√n.

Media con s

import math
# x̄=4, s=1, n=400 → 4 ± 1.96*1/20
print(round(4-1.96*1/20, 3), round(4+1.96*1/20, 3))

06 · Exploración

Laboratorio: 95 de cada 100 cubren

Generamos R intervalos 95 % para p verdadero (recta blanca). Verdes cubren, rojos fallan. La cobertura ronda 95 %; el ancho lo manda n. Achicá n y los intervalos se ensanchan pero siguen cubriendo ~95 %.

EXPERIMENTO 33

Cobertura 95 %

p̂ ± 1,96·SE · ~95 % cubren p

p verdadero: 0,30 n por intervalo: 200 Intervalos R: 60

Cobertura0,0 %

Ancho medio0,000

Fallan0

p0,30

~57 de 60 cubren p: el 95 % en acción.

Cada línea horizontal es un intervalo; el punto, su p̂. Rojos = no cubren (esperados ~5 %).

Preguntas para explorar

Con n = 30, ¿el ancho cuánto da? ¿Y con n = 1000?
¿La cobertura con n = 30 sigue ~95 %? ¿Por qué a veces falla más?
Si dos intervalos 95 % apenas se tocan, ¿hay diferencia real?

Ver respuestas sugeridas

~±0,16 vs ~±0,03: 30× n para 5× precisión. El ancho manda el N.
Sí, aunque con p extremo la aproximación normal flaquea: usar exactos o más n.
Probablemente sí al 95 % conjunto es más exigente: comparar bien pide test de diferencia (tema 43).

07 · Comprensión

Confusiones frecuentes

«95 % es P(θ dentro de este intervalo)»

No: θ es fijo. 95 % es cobertura del procedimiento en repeticiones. El intervalo dado cubre o no.

«Ancho cero es preciso»

Con n = 1 o p̂ = 0 el ancho colapsa artificialmente: usar exactos o más datos, no festejar.

«Solape = empate seguro»

Solape leve aún puede ser diferencia significativa al comparar directo. El test de diferencia decide (tema 43).

«99 % siempre mejor»

Ensancha sin más datos: 99 % con n chico no decide nada. 95 % + n adecuado es el estándar útil.

08 · Práctica guiada

Ejercicios con Python

Ejercicio 1: intervalo de conversión

Con 132/1100, calculá el 95 % e interpretá el ancho.

import math
p, n = 132/1100, 1100
se = math.sqrt(p*(1-p)/n)
print(round(p-1.96*se,4), round(p+1.96*se,4))

Ver solución razonada

[0,1008, 0,1392]: ±0,019. Una mejora a 0,15 con igual n se detecta (no se solapa).

Ejercicio 2: n para ±0,01

Con p ≈ 0,12, ¿n para margen 0,01 al 95 %? n = (1,96/0,01)²·p(1−p).

import math
print(round((1.96/0.01)**2*0.12*0.88))

Ver solución

n ≈ 4057. Precisión de punto porcentual en tasas cuesta miles: planificar.

Ejercicio 3: cobertura simulada

Simulá 500 intervalos 95 % (p = 0,3, n = 200) y contá cobertura. ¿Ronda 95 %?

Ver una posible respuesta

import random, math
random.seed(331)
p, n, R, ok = 0.3, 200, 500, 0
for _ in range(R):
    ph = sum(random.random() < p for _ in range(n))/n
    se = math.sqrt(ph*(1-ph)/n)
    ok += (ph-1.96*se <= p <= ph+1.96*se)
print(ok/R)

Ronda 0,94–0,96: el 95 % se verifica contando. Así se audita un método de intervalos.

09 · Síntesis

Ideas para recordar

Intervalo = θ̂ ± z·SE con confianza (95 % estándar).
95 % = cobertura del procedimiento, no prob. del parámetro.
Ancho ~ 1/√n: la precisión se compra con datos.
Sin solape hay diferencia; con solape leve, test directo.
Informar centro + rango + confianza + n.

En el próximo tema compararemos modelo y datos: ajuste de distribuciones a datos reales.