Muestreo

01 · Punto de partida

La computadora solo sabe sortear U(0,1)

Todo random() da U(0,1). Muestrear es convertirlo en la X que pide el modelo: exponencial con −ln(1−U)/λ, discreta con acumulada, normal con Box-Muller o gauss. Si el muestreo está mal, el simulador miente aunque todo lo demás esté bien.

La verificación es obligada: histograma vs f, media vs E, colas vs teoría. Muestreo que no se verifica no se usa.

• ¿Qué U base usa mi generador y con qué semilla?
• ¿Qué transformación da mi X (inversa, acumulada, suma)?
• ¿El histograma calca f con N grande?
• ¿Media y colas cierran con la teoría?

02 · Definición

Tres recetas que cubren casi todo

03 · Semilla y verificación

Azar repetible y auditado

Stream

Secuencia por variable: no reusar la misma U para dos X correlacionadas sin querer.

Bordes

U = 0/1 exactos rompen −ln(1−U): usar 1−U con epsilon o generador (0,1).

Discreta

Acumulada normalizada a 1; buscar con bisección, no con if encadenados.

N

Verificar con miles: con 50 todo «cierra» por ruido.

04 · Ejemplos

Muestreos que programás

1. 1
   Espera.

   Exp(λ) con −ln(1−U)/λ para llegadas y servicios.

2. 2
   Demanda.

   U(6,14) con a+(b−a)U para rango acotado.

3. 3
   Venta.

   Bernoulli con U menor a p para sí/no.

4. 4
   Tabla.

   Clientes/hora 0–4 con acumulada y choices.

5. 5
   Medida.

   Normal con gauss (Box-Muller verificado).

05 · Representación en Python

Inversa a mano y atajos

import random, math, statistics
random.seed(391)
lam = 0.5
manual = [-math.log(1-random.random())/lam for _ in range(4000)]
random.seed(391)
# (re-seed para comparar misma base conceptual)
auto = [random.expovariate(lam) for _ in range(4000)]
print(round(statistics.mean(manual),2), round(statistics.mean(auto),2))

Consejo: comparar medias y colas de ambos: deben coincidir dentro del ruido.

Discreta por acumulada

import random
random.seed(5)
vals, probs = [0,1,2,3,4], [0.1,0.25,0.35,0.2,0.1]
acum, s = [], 0
for p in probs:
    s += p; acum.append(s)
def muestrear():
    u = random.random()
    for v, a in zip(vals, acum):
        if u < a: return v
    return vals[-1]
print([muestrear() for _ in range(12)])

06 · Exploración

Laboratorio: U → Exp(λ) a mano

Generamos U(0,1) y aplicamos −ln(1−U)/λ con λ deslizable. Barras = histograma normalizado; curva = λe^−λx exacta. Subí λ y la masa se pega a 0.

Eje x 0 a 12 en 12 tramos. La franja lima marca X mayor a 2/λ (cola e⁻² ≈ 0,135).

Preguntas para explorar

1. Con N = 200, ¿las barras calcan? ¿Y con 8000?
2. Duplicá λ de 0,5 a 1. ¿La media se parte? ¿Y la cola con su propio 2/λ?
3. Si truncaras en 6 (tirar lo mayor), ¿la media qué haría? ¿Por qué verificar colas?

07 · Comprensión

Confusiones frecuentes

08 · Práctica guiada

Ejercicios con Python

Ejercicio 1: inversa manual

Generá 4000 Exp(2) a mano y verificá media 0,5 y P(X mayor a 1) = e⁻².

import random, math
random.seed(391)
xs = [-math.log(1-random.random())/2 for _ in range(4000)]
print(round(sum(xs)/len(xs),3), round(sum(1 for x in xs if x > 1)/len(xs),3))

Ejercicio 2: tabla acumulada

Muestreá 3000 de {0:0,1, 1:0,25, 2:0,35, 3:0,2, 4:0,1} y compará frecuencias.

import random
from collections import Counter
random.seed(9)
vals = [0,1,2,3,4]; probs = [0.1,0.25,0.35,0.2,0.1]
xs = random.choices(vals, weights=probs, k=3000)
f = Counter(xs)
print({v: round(f[v]/len(xs),3) for v in vals})

Ejercicio 3: bug de truncado

Truncá Exp(0,5) en 6 y mirá media vs 2. ¿Cuánto sesga?

import random
random.seed(4)
xs = [random.expovariate(0.5) for _ in range(8000)]
print("sin:", round(sum(xs)/len(xs),3), "| trunc:", round(sum(min(x,6) for x in xs)/len(xs),3))

09 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema mediremos lo inevitable: variabilidad entre ejecuciones.