Independencia

01 · Punto de partida

Saber no siempre informa

En el tema anterior, saber la caja cambiaba la chance de espera rápida de 0,46 a 0,70. Pero saber que un dado dio 6 no cambia la chance del próximo tiro: sigue 1/6. Eso es independencia: P(A|B) = P(A).

Distinguirla importa porque simplifica el modelo (se multiplica directo) y porque suponerla cuando no existe es uno de los errores más caros: clientes que contagian, máquinas que comparten carga y demandas correlacionadas no son independientes (temas 37 y 38).

• ¿Saber B mueve la chance de A o la deja igual?
• ¿Puedo multiplicar P(A)·P(B) o debo contar la intersección?
• ¿El muestreo es con o sin reposición?
• ¿Cómo verifico independencia con datos simulados?

02 · Definición

Regla del producto y sus lecturas

03 · Criterio práctico

Con o sin reposición: el test de bolsillo

Verificación

Compará P̂(A|B) con P̂(A). Si coinciden dentro del error, los datos no rechazan independencia.

Supuesto

Declarar independencia es una decisión de modelado: se escribe y se somete a sensibilidad (tema 25).

Cadena

Con n independientes, la conjunta es el producto: P(todos) = pⁿ. Base de «5 días seguidos sin falla».

Dependencia

Si el pasado cambia la urna, hay que condicionar en cadena (temas 6 y 37), no multiplicar a ciegas.

04 · Ejemplos

Qué se multiplica y qué no

1. 1
   Dados.

   Par en dado 1 y mayor a 4 en dado 2: independientes, se multiplica (1/2 × 1/3).

2. 2
   Réplicas.

   Una réplica no afecta a la siguiente: P(quiebre dos veces) = p².

3. 3
   Lote sin reposición.

   10 piezas, 2 falladas: P(2 falladas seguidas) ≠ (0,2)². La primera cambia la urna.

4. 4
   Cola.

   Tiempos de clientes seguidos en hora pico: comparten congestión, no son independientes.

5. 5
   Marketing.

   Comprar y suscribirse suelen ir juntos: P(ambas) mayor a P(C)·P(S). Hay dependencia positiva.

05 · Representación en Python

Dos sorteos separados vs misma urna

import random
random.seed(13)

# Independientes: dos dados
N = 6000
A = B = AB = 0
for _ in range(N):
    d1, d2 = random.randint(1, 6), random.randint(1, 6)
    a, b = (d1 % 2 == 0), (d2 > 4)
    A += a; B += b; AB += (a and b)
print("P(A):", round(A/N, 3), "| P(B):", round(B/N, 3))
print("conjunta:", round(AB/N, 3), "| producto:", round((A/N)*(B/N), 3))

Consejo: con N = 6000 la conjunta y el producto coinciden a centésimas: firma de independencia.

Sin reposición rompe el producto

import random
random.seed(4)

# Urna 5R-5V, dos extracciones SIN reposición
N = 6000
r1 = r2_dado_r1 = n_r1 = 0
for _ in range(N):
    urna = ["R"]*5 + ["V"]*5
    random.shuffle(urna)
    primera, segunda = urna[0], urna[1]
    if primera == "R":
        r1 += 1; n_r1 += 1
        r2_dado_r1 += (segunda == "R")
print("P(R1):", round(r1/N, 3))
print("P(R2|R1):", round(r2_dado_r1/n_r1, 3), "vs 4/9 =", round(4/9, 3))

06 · Exploración

Laboratorio: la urna con y sin reposición

Urna de 10 bolas con R rojas. Extraemos dos. Con reposición, P(R₂|R₁) = P(R₂) = p. Sin reposición, la primera cambia la urna. Alterná el modo y mirá cuándo las barras se igualan y cuándo se separan.

Tres grupos: P(R₁), P(R₂|R₁) y P(R₂|V₁). Barras claras = teoría, sólidas = simulación. Con reposición las tres valen p; sin reposición se abren en abanico.

Preguntas para explorar

1. Con R = 5 y reposición, ¿cuánto valen las tres? ¿Por qué?
2. Pasá a sin reposición con R = 5. ¿Cuánto valen P(R₂|R₁) y P(R₂|V₁) en teoría?
3. Con R = 9 sin reposición, ¿qué pasa si la primera es verde? ¿Por qué el salto es tan grande?

07 · Comprensión

Confusiones frecuentes

08 · Práctica guiada

Ejercicios con Python

Ejercicio 1: producto con dados

Verificá que P(par en dado 1 y mayor a 4 en dado 2) = 1/2 × 1/3 = 1/6 con 8000 réplicas.

import random
random.seed(21)
N = 8000
ab = sum(1 for _ in range(N) if random.randint(1,6) % 2 == 0 and random.randint(1,6) > 4)
print("sim:", round(ab/N, 4), "| producto:", round(1/2*1/3, 4))

Ejercicio 2: cadena de éxitos

Si P(quiebre diario) = 0,1 independiente por día, ¿P(3 días seguidos con quiebre)? Verificalo simulando tríos.

import random
random.seed(7)
N = 20000
trios = sum(1 for _ in range(N) if all(random.random() < 0.1 for _ in range(3)))
print("sim:", round(trios/N, 4), "| p³:", round(0.1**3, 4))

Ejercicio 3: detectar dependencia

Simulá 3000 pares sin reposición de urna 6R−4V y compará P̂(R₂|R₁) con P̂(R₁). ¿Son independientes?

import random
random.seed(5)
N = 3000
r1 = rr1 = n1 = 0
for _ in range(N):
    u = ["R"]*6 + ["V"]*4
    random.shuffle(u)
    if u[0] == "R":
        r1 += 1; n1 += 1; rr1 += (u[1] == "R")
    elif u[0] == "V":
        pass
    # P(R1) usa todos; P(R2|R1) usa solo los R1
    # (V1 se cuenta aparte para el laboratorio)
print("P(R1):", round(r1/N, 3), "| P(R2|R1):", round(rr1/max(1,n1), 3), "| teo 5/9:", round(5/9, 3))

09 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema pasaremos de eventos a números: variables aleatorias.