La derivada como herramienta de análisis

01 · Un nuevo punto de vista

Derivar no es el final del problema

En el curso anterior aprendimos a calcular derivadas. Si f(x) = x² − 4x + 5, podemos obtener:

Ese resultado no es solamente otra fórmula. Funciona como un instrumento para observar la función original. Por ejemplo, en x = 1 la derivada vale −2, en x = 2 vale 0 y en x = 3 vale 2. La pendiente pasa de negativa a nula y luego a positiva: la gráfica desciende, se aplana y vuelve a subir.

Sin dibujar cada punto de la parábola ya podemos anticipar que alrededor de x = 2 existe un mínimo. Esta transición —pasar de calcular una derivada a utilizarla para explicar y decidir— es el punto de partida del curso.

02 · Tres niveles de información

La función, su velocidad y el cambio de esa velocidad

Cuando estudiamos y = f(x), cada nivel responde una pregunta diferente:

La segunda derivada f″(x) agrega un tercer nivel: indica cómo evoluciona la primera derivada. En una animación, f puede representar posición, f′ velocidad y f″ aceleración. En un modelo de costo, f′ mide el costo marginal y f″ informa si ese costo marginal aumenta o disminuye.

03 · Escalas del análisis

Información local y comportamiento global

Una derivada evaluada en un punto proporciona información local. Si f′(4) = 3, sabemos que cerca de x = 4 la función tiene pendiente positiva. Ese único dato no explica qué ocurre lejos de allí.

Para obtener una descripción global, dividimos el dominio en intervalos y estudiamos el signo de la derivada en cada uno. Los puntos donde ese signo podría cambiar funcionan como fronteras del análisis.

Este procedimiento se parece al análisis de un programa: observar una ejecución aislada sirve, pero para comprender su comportamiento necesitamos identificar casos, fronteras y rangos de entrada.

04 · Diccionario visual

Qué información anticipan las derivadas

La tercera columna usa expresiones prudentes como «puede haber» o «comprobar». Una ecuación aislada suele producir candidatos; el contexto y los cambios de signo permiten decidir qué representan.

05 · Candidatos y conclusiones

Una derivada nula no garantiza un extremo

Comparemos dos funciones en x = 0:

En ambos casos la derivada se anula en el origen, pero las gráficas se comportan de manera distinta. x² baja y luego sube; x³ continúa creciendo y solo se aplana momentáneamente.

06 · Método general

El flujo de un análisis de funciones

Aunque cada problema tiene particularidades, la mayoría puede organizarse mediante una secuencia estable:

1. Definir la función y su dominio. Antes de derivar debemos saber qué entradas son válidas.
2. Calcular f′ y, si hace falta, f″. Las fórmulas serán nuestras fuentes de información.
3. Encontrar puntos relevantes. Ceros de las derivadas, lugares donde no existen y extremos del dominio.
4. Estudiar signos por intervalos. Elegir puntos de prueba o resolver desigualdades.
5. Clasificar y comparar. Distinguir crecimiento, extremos, concavidad e inflexiones.
6. Interpretar en el contexto. Traducir el resultado a unidades, restricciones y decisiones reales.
7. Verificar. Contrastar con valores, una gráfica o un procedimiento computacional.

No todos los pasos aparecen con la misma profundidad en cada ejercicio. Sin embargo, explicitar el dominio, justificar los candidatos y verificar la respuesta evita gran parte de los errores comunes.

07 · Mirada computacional

Analizar antes de optimizar un programa

Las funciones objetivo aparecen con frecuencia en programación. Una entrada representa una decisión configurable y la salida mide un resultado:

Tamaño de lote

La entrada es la cantidad de datos procesados juntos; la salida puede ser el tiempo total o el consumo de memoria.

Compresión

La entrada controla el nivel de compresión; la salida combina tamaño, calidad y tiempo de cómputo.

Animación

La entrada es el tiempo y la función describe posición, escala u opacidad; sus derivadas controlan velocidad y suavidad.

Configuración de un algoritmo

La entrada es un parámetro y la salida mide error, costo o rendimiento.

En un problema real no alcanza con encontrar un número que anule la derivada. El parámetro puede requerir valores enteros, estar limitado por memoria o pertenecer a un intervalo seguro. El óptimo matemático debe respetar siempre el dominio factible.

08 · Exploración interactiva

Laboratorio: leer una función a través de su pendiente

Elegí un modelo y desplazá el punto sobre la curva. La recta tangente muestra la dirección local y las tarjetas comparan f(x), f′(x) y f″(x).

La curva representa la función seleccionada. El punto marca la entrada actual y la recta que lo atraviesa tiene pendiente igual a la primera derivada.

Preguntas para explorar

1. En la parábola, mové el punto hacia x = 2. ¿Qué ocurre con la tangente y con f′(x)?
2. En x³ − 3x, buscá los dos lugares donde la tangente es horizontal. ¿La curva se comporta igual en ambos?
3. En x³, ubicá el punto en cero. ¿Por qué una pendiente nula no produce un máximo ni un mínimo?
4. Compará el signo de f″ con la manera en que cambian las pendientes al avanzar sobre la curva.

09 · Implementación

Representar una función y sus derivadas en JavaScript

Una forma clara de trabajar es agrupar las tres funciones dentro de un mismo objeto. Así evitamos mezclar fórmulas pertenecientes a modelos distintos:

const modelo = {
  nombre: "x² - 4x + 5",
  f: x => x ** 2 - 4 * x + 5,
  primera: x => 2 * x - 4,
  segunda: () => 2
};

function observar(modelo, x) {
  return {
    x,
    valor: modelo.f(x),
    pendiente: modelo.primera(x),
    cambioDePendiente: modelo.segunda(x)
  };
}

console.log(observar(modelo, 1));
console.log(observar(modelo, 2));
console.log(observar(modelo, 3));

Las pendientes son −2, 0 y 2. La tabla de resultados permite observar la transición sin depender todavía de un algoritmo simbólico: las fórmulas de las derivadas son parte del modelo.

Clasificar una observación local

function signo(valor, tolerancia = 1e-9) {
  if (Math.abs(valor) <= tolerancia) return 0;
  return valor > 0 ? 1 : -1;
}

function descripcionLocal(modelo, x) {
  const s1 = signo(modelo.primera(x));
  const s2 = signo(modelo.segunda(x));

  return {
    direccion: s1 > 0 ? "pendiente positiva"
      : s1 < 0 ? "pendiente negativa"
      : "tangente horizontal",
    curvatura: s2 > 0 ? "pendientes en aumento"
      : s2 < 0 ? "pendientes en descenso"
      : "la segunda derivada no decide"
  };
}

const f = {
  primera: x => 3 * x ** 2 - 3,
  segunda: x => 6 * x
};

console.log(descripcionLocal(f, -1));
console.log(descripcionLocal(f, 0));
console.log(descripcionLocal(f, 1));

La tolerancia trata como cero los valores extremadamente pequeños producidos por redondeos. Esto es útil en programas, pero no reemplaza una demostración matemática ni convierte automáticamente un punto estacionario en un extremo.

10 · De puntos a intervalos

Construir una primera tabla de observación

Podemos muestrear una función y su derivada para detectar patrones. El siguiente ejemplo no encuentra extremos de manera exacta; genera evidencia que después debemos analizar:

function crearTabla(f, derivada, inicio, fin, paso) {
  const filas = [];

  for (let x = inicio; x <= fin + 1e-9; x += paso) {
    const pendiente = derivada(x);
    filas.push({
      x: Number(x.toFixed(2)),
      y: Number(f(x).toFixed(2)),
      pendiente: Number(pendiente.toFixed(2))
    });
  }
  return filas;
}

const f = x => x ** 2 - 4 * x + 5;
const derivada = x => 2 * x - 4;

const tabla = crearTabla(f, derivada, 0, 4, 0.5);

for (const fila of tabla) {
  console.log(
    `x = ${fila.x}; f(x) = ${fila.y}; f′(x) = ${fila.pendiente}`
  );
}

Al recorrer la tabla, los valores de f disminuyen hasta x = 2 y luego aumentan. Las pendientes negativas, nula y positivas ayudan a explicar el patrón.

11 · Comprensión

Confusiones frecuentes

12 · Práctica guiada

Ejercicios de comprensión

Ejercicio 1: leer valores de la derivada

Para una función f se sabe que f′(1) = −4, f′(3) = 0 y f′(5) = 2. Explicá qué información local aporta cada dato sin asegurar todavía que exista un extremo.

Ejercicio 2: valor frente a cambio

Una función satisface f(2) = −10 y f′(2) = 6. ¿Son contradictorios estos datos?

Ejercicio 3: comparar puntos estacionarios

Calculá la derivada de f(x) = x⁴ y de g(x) = −x⁴. Ambas se anulan en cero. Usá valores cercanos para anticipar qué tipo de extremo tiene cada una.

Ejercicio 4: detectar una conclusión inválida

Un programa encuentra f′(2) = 0 y muestra «máximo localizado». Indicá qué comprobaciones faltan.

Ejercicio 5: diseñar una representación

Escribí una función JavaScript que reciba f, fPrima y un valor x, y devuelva ambos valores junto con una descripción de la pendiente.

function inspeccionar(f, fPrima, x, tolerancia = 1e-9) {
  const pendiente = fPrima(x);
  const descripcion = Math.abs(pendiente) <= tolerancia
    ? "tangente horizontal"
    : pendiente > 0
      ? "pendiente positiva"
      : "pendiente negativa";

  return { x, valor: f(x), pendiente, descripcion };
}

console.log(inspeccionar(
  x => x ** 3,
  x => 3 * x ** 2,
  0
));

13 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema estudiaremos con precisión el signo de la primera derivada y aprenderemos a traducirlo en información sobre la dirección de una curva.