El signo de la primera derivada

01 · La dirección del cambio

El signo convierte una pendiente en información

La derivada f′(a) es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en x = a. Su valor puede contener muchos detalles, pero el primer dato que conviene observar es su signo.

02 · Lectura geométrica

Mirar la tangente de izquierda a derecha

Imaginemos que recorremos una gráfica aumentando x. La recta tangente aproxima la curva cerca del punto observado:

Por ejemplo, f′(2) = 3 significa que la tangente sube aproximadamente tres unidades verticales por cada unidad horizontal. En cambio, f′(2) = −3 indica la misma inclinación absoluta, pero dirigida hacia abajo.

03 · De la fórmula a la curva

Evaluar la derivada en puntos concretos

Consideremos la función:

Evaluemos la derivada en tres entradas:

La secuencia «negativo, cero, positivo» sugiere que la función baja, se aplana y sube. En temas posteriores formalizaremos por qué este cambio permite clasificar x = 2 como un mínimo.

04 · Dos preguntas diferentes

El signo de f no determina el signo de f′

La altura de una gráfica y su dirección son datos independientes. Una función puede estar debajo del eje horizontal y, al mismo tiempo, estar subiendo.

Para f(x) = x − 10:

También puede ocurrir lo contrario: g(x) = 10 − x tiene valores positivos para muchas entradas, pero g′(x) = −1 indica que siempre desciende.

05 · Signo y magnitud

Dirección no significa intensidad

Dos derivadas pueden tener el mismo signo y pendientes muy diferentes. Si f′(a) = 0,1 y f′(b) = 20, la función asciende cerca de ambos puntos, pero mucho más pronunciadamente cerca de b.

Signo de f′

Indica la dirección: ascendente, horizontal o descendente.

Valor absoluto |f′|

Mide la inclinación de la tangente sin considerar la dirección.

Unidades de f′

Son las unidades de la salida divididas por las unidades de la entrada.

En un modelo de latencia, L′(u) = 0,5 ms/usuario y L′(u) = 8 ms/usuario son ambos positivos, pero el segundo representa una degradación mucho más rápida del rendimiento.

06 · Tangentes horizontales

Qué podemos afirmar cuando f′(a) = 0

Una derivada nula indica que la aproximación lineal en el punto es horizontal. No indica, por sí sola, qué ocurre a ambos lados.

También existen funciones constantes en un intervalo, cuya derivada vale cero en todos sus puntos interiores. Por eso, «derivada nula» debe leerse primero como tangente horizontal. La clasificación requiere información adicional.

07 · Cuando no hay derivada

El signo puede no estar definido

En una esquina, una cúspide, una tangente vertical o una discontinuidad, la derivada puede no existir. Por ejemplo, f(x) = |x| desciende antes de cero y asciende después de cero, pero no tiene una única pendiente en el origen.

No debemos asignar artificialmente f′(0) = 0. El vértice es un mínimo aunque la derivada no exista allí. Esto anticipa una distinción importante: los extremos pueden aparecer tanto donde f′ = 0 como donde f′ no está definida.

08 · Leer el gráfico de f′

Arriba y abajo del eje horizontal

Si disponemos del gráfico de la función derivada, no necesitamos calcular su valor en cada punto para conocer el signo:

• Cuando la gráfica de f′ está sobre el eje horizontal, f′(x) > 0.
• Cuando la gráfica de f′ está bajo el eje horizontal, f′(x) < 0.
• Cuando la gráfica de f′ corta o toca el eje, f′(x) = 0.

Observá que ahora la altura relevante pertenece a f′, no a f. Un cruce de f′ con el eje horizontal marca una entrada que merece ser investigada en la función original.

En el próximo tema organizaremos estos datos en intervalos completos y resolveremos desigualdades como f′(x) > 0 y f′(x) < 0.

09 · Lecturas computacionales

Qué significa el signo en distintos modelos

«Positivo» no significa necesariamente «bueno». Una derivada positiva del beneficio puede ser deseable, mientras que una derivada positiva del error o de la latencia puede indicar un problema. El contexto determina cómo valorar la dirección.

10 · Exploración interactiva

Laboratorio: conectar f con el signo de f′

El panel superior muestra la función y su tangente. El inferior muestra la derivada; el punto se encuentra arriba, sobre o debajo de su eje según el signo de f′(x).

Los gráficos comparten la misma entrada. En el superior se marca la tangente a f y en el inferior se marca el valor correspondiente de f prima.

Preguntas para explorar

1. En la parábola, desplazá el punto desde x = 1 hasta x = 3. ¿Cuándo cambia el signo?
2. En la cúbica, encontrá los dos valores donde f′(x) = 0. ¿La función se dirige del mismo modo alrededor de ambos?
3. En la onda, compará los puntos donde la función cruza el eje con aquellos donde la derivada se anula.
4. Buscá dos puntos con derivada positiva pero de distinta magnitud. Compará las tangentes.

11 · Implementación

Clasificar el signo con una tolerancia

En una computadora, un cálculo que matemáticamente debería dar cero puede producir un número muy pequeño por efecto del redondeo. Por eso usamos una tolerancia:

function signoDerivada(valor, tolerancia = 1e-9) {
  if (!Number.isFinite(valor)) return "no definida";
  if (Math.abs(valor) <= tolerancia) return "nula";
  return valor > 0 ? "positiva" : "negativa";
}

const derivada = x => 2 * x - 4;

for (const x of [1, 2, 3]) {
  const valor = derivada(x);
  console.log(
    `x = ${x}; f′(x) = ${valor}; signo: ${signoDerivada(valor)}`
  );
}

El programa informa signos negativo, nulo y positivo. La tolerancia no cambia la fórmula: establece un criterio práctico para representar resultados de punto flotante.

Devolver una descripción local

function direccionLocal(fPrima, x, tolerancia = 1e-9) {
  const pendiente = fPrima(x);

  if (!Number.isFinite(pendiente)) {
    return { x, pendiente: null, descripcion: "derivada no definida" };
  }
  if (Math.abs(pendiente) <= tolerancia) {
    return { x, pendiente, descripcion: "tangente horizontal" };
  }

  return {
    x,
    pendiente,
    descripcion: pendiente > 0
      ? "la función asciende localmente"
      : "la función desciende localmente"
  };
}

const fPrima = x => 3 * x ** 2 - 3;

for (const x of [-2, -1, 0, 1, 2]) {
  console.log(direccionLocal(fPrima, x));
}

12 · Observación discreta

Registrar signos sin confundirlos con una demostración

Podemos evaluar una derivada en una colección de puntos y producir un registro legible:

function resumirSignos(fPrima, puntos) {
  return puntos.map(x => {
    const valor = fPrima(x);
    const signo = Math.abs(valor) < 1e-9
      ? "0"
      : valor > 0 ? "+" : "−";

    return { x, valor, signo };
  });
}

const fPrima = x => x ** 2 - 1;
const resumen = resumirSignos(fPrima, [-2, -1, 0, 1, 2]);

for (const fila of resumen) {
  console.log(`x = ${fila.x}; f′(x) = ${fila.valor}; signo ${fila.signo}`);
}

El muestreo ayuda a formular una hipótesis, pero puede omitir ceros o cambios entre dos puntos consecutivos. En el tema siguiente resolveremos el signo sobre intervalos completos, no solamente en una lista finita.

13 · Comprensión

Confusiones frecuentes

14 · Práctica guiada

Ejercicios de comprensión

Ejercicio 1: interpretar pendientes

Una función cumple f′(2) = −5, f′(4) = 0 y f′(7) = 0,25. Describí la dirección local en cada punto.

Ejercicio 2: evaluar una derivada

Para f(x) = x³ − 6x, calculá f′(x) y determiná el signo de la derivada en x = −2, x = 0 y x = 2.

Ejercicio 3: separar valor y dirección

¿Puede ocurrir que f(3) > 0 y f′(3) < 0? Proponé un ejemplo.

Ejercicio 4: derivada nula

Explicá por qué conocer únicamente que f′(1) = 0 no permite afirmar que f tiene un mínimo en x = 1.

Ejercicio 5: corregir código

El siguiente código confunde una derivada inexistente con una derivada nula. Corregilo.

function clasificar(pendiente) {
  if (!pendiente) return "tangente horizontal";
  return pendiente > 0 ? "positiva" : "negativa";
}

function clasificar(pendiente, tolerancia = 1e-9) {
  if (!Number.isFinite(pendiente)) return "no definida";
  if (Math.abs(pendiente) <= tolerancia) return "nula";
  return pendiente > 0 ? "positiva" : "negativa";
}

console.log(clasificar(0));
console.log(clasificar(-2));
console.log(clasificar(undefined));

15 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema usaremos estos signos para determinar con precisión los intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función.