Intervalos de crecimiento y decrecimiento

01 · De puntos a intervalos

Describir el recorrido completo de una función

En el tema anterior interpretamos el signo de f′(a) en un punto. Ahora ampliaremos esa lectura: si la derivada conserva su signo en todo un intervalo, podemos describir cómo se comporta la función al recorrer esa región.

02 · Fundamento matemático

El criterio de monotonía

Sea f continua en un intervalo y derivable en su interior. Entonces:

La idea puede justificarse mediante el Teorema del Valor Medio: entre dos entradas distintas existe un punto donde la derivada coincide con la razón de cambio promedio. Si todas las derivadas son positivas, esa razón también lo es y el valor final supera al inicial.

03 · Método general

Cómo encontrar los intervalos

El análisis puede organizarse en seis pasos:

1. Determinar el dominio de f. Ninguna conclusión puede incluir entradas no permitidas.
2. Calcular f′(x). Simplificar o factorizar suele facilitar el estudio del signo.
3. Resolver f′(x) = 0. Sus soluciones pueden separar regiones con signos diferentes.
4. Agregar puntos donde f′ no existe. También se agregan discontinuidades de f y fronteras del dominio.
5. Elegir un punto de prueba en cada intervalo. Evaluar el signo de f′, no necesariamente su valor exacto completo.
6. Redactar la conclusión. Unir solo intervalos conectados que pertenezcan al dominio.

Los puntos que dividen la recta son fronteras del análisis. Todavía no afirmamos que todos sean máximos o mínimos; esa clasificación llegará en temas posteriores.

04 · Ejemplo completo

Una función con tres etapas

Analicemos:

El dominio es todo ℝ. La derivada se anula en x = 0 y x = 2, de modo que estudiamos tres intervalos:

Por lo tanto, f es creciente en (−∞, 0) y (2, ∞), y decreciente en (0, 2).

05 · Estrategia algebraica

Factorizar para leer signos

Cuando la derivada está expresada como producto, no hace falta expandirla. Cada factor cambia de signo en sus propios ceros. Por ejemplo:

Los ceros −2, 1 y 4 dividen la recta en cuatro intervalos. En cada uno, los factores conservan sus signos y por lo tanto el producto también.

Producto con cantidad par de factores negativos

El resultado es positivo.

Producto con cantidad impar de factores negativos

El resultado es negativo.

Factor elevado a potencia par

No cambia de signo al atravesar su cero, aunque el producto se anula allí.

Factor elevado a potencia impar

Cambia de signo al atravesar su cero.

Los puntos de prueba siguen siendo una forma segura de verificar el resultado, especialmente cuando existen factores repetidos o cocientes.

06 · Ceros repetidos

La derivada puede anularse sin cambiar de signo

Para f(x) = x³ tenemos f′(x) = 3x². La derivada se anula en cero, pero es positiva tanto para x < 0 como para x > 0.

De hecho, x³ es estrictamente creciente en todo ℝ, aun cuando f′(0) = 0. El criterio f′ > 0 es una condición suficiente, pero una función estrictamente creciente puede tener derivada nula en puntos aislados.

07 · Regiones separadas

El dominio también divide la recta

Consideremos f(x) = x + 1/x. La función no está definida en x = 0:

Los ceros de la derivada son −1 y 1, pero también debemos usar 0 como frontera porque no pertenece al dominio.

Aunque el signo sea negativo a ambos lados de cero, no escribimos que la función decrece en (−1, 1), porque ese intervalo incluye una entrada donde la función no existe.

08 · Funciones periódicas

Restringir el análisis a un período

Para f(x) = sen(x), la derivada es f′(x) = cos(x). Como el comportamiento se repite, podemos estudiar primero [0, 2π].

Luego podemos extender el patrón sumando múltiplos de 2π. Indicar el intervalo estudiado evita confundir una descripción local de un período con el dominio completo.

09 · Comunicar resultados

Notación de intervalos y puntos frontera

Habitualmente informamos la monotonía con intervalos abiertos separados por los puntos donde f′ = 0, donde f′ no existe o donde cambia el dominio. Esta convención destaca las regiones en las que el signo es uniforme.

• (a, b) representa todas las entradas entre a y b, sin incluirlos.
• (−∞, a) y (a, ∞) siempre usan paréntesis con infinito.
• El símbolo ∪ reúne intervalos separados que comparten el mismo comportamiento.
• Una discontinuidad nunca debe quedar dentro de un intervalo declarado.

Dependiendo de la definición adoptada, puede afirmarse crecimiento en un intervalo que incluya ciertos extremos. Para las tablas de signos usaremos intervalos abiertos, una convención clara y consistente.

10 · Otra fuente de datos

Obtener intervalos desde el gráfico de f′

Si conocemos la gráfica de la derivada, las regiones se leen respecto de su eje horizontal:

Los cortes de f′ con el eje y sus discontinuidades se convierten en fronteras. No debemos mirar si la gráfica de f′ «sube» o «baja»; para estudiar a f solo importa si f′ está arriba o abajo del eje.

11 · Interpretación aplicada

Regiones útiles para tomar decisiones

Un modelo suele resultar más informativo cuando conocemos sus etapas, no solamente un valor puntual:

Latencia

Detectar desde qué rango de usuarios la latencia comienza a crecer ayuda a definir límites de capacidad.

Error de un algoritmo

Identificar intervalos donde el error decrece permite reconocer configuraciones que mejoran el resultado.

Uso de memoria

Separar fases de crecimiento y liberación ayuda a analizar el ciclo de vida de recursos.

Animaciones

Los intervalos de posición creciente o decreciente describen cambios de dirección.

La monotonía reduce el espacio de búsqueda: si una función crece durante todo un intervalo cerrado, su valor menor está en el extremo izquierdo y el mayor en el derecho. Más adelante utilizaremos esta idea en problemas de optimización.

12 · Exploración interactiva

Laboratorio: construir el mapa de signos

Elegí una función y mové el punto de prueba. El panel inferior colorea de verde las regiones donde f′ > 0 y de rojo aquellas donde f′ < 0. Los círculos marcan las fronteras.

El gráfico superior representa la función. El inferior representa su derivada y colorea las regiones positivas y negativas.

Preguntas para explorar

1. En la función cúbica, cruzá x = 0 y x = 2. ¿Cómo se relacionan los signos con la dirección de la curva?
2. En la función de cuarto grado, observá los tres ceros de f′. ¿Cuántas veces cambia la monotonía?
3. En sen(x), compará las regiones coloreadas con los tramos ascendentes y descendentes.
4. Ubicá el control exactamente sobre una frontera. ¿Por qué ese punto no describe por sí solo ninguno de los intervalos vecinos?

13 · Implementación

Construir una tabla de signos con JavaScript

Si ya conocemos los puntos que dividen un dominio acotado, podemos elegir automáticamente el punto medio de cada intervalo:

function tablaDeSignos(derivada, limites, tolerancia = 1e-9) {
  const filas = [];

  for (let i = 0; i < limites.length - 1; i++) {
    const desde = limites[i];
    const hasta = limites[i + 1];
    const prueba = (desde + hasta) / 2;
    const valor = derivada(prueba);
    const signo = Math.abs(valor) <= tolerancia
      ? "0"
      : valor > 0 ? "+" : "−";

    filas.push({ desde, hasta, prueba, signo });
  }
  return filas;
}

const derivada = x => 3 * x * (x - 2);
const tabla = tablaDeSignos(derivada, [-4, 0, 2, 5]);

for (const fila of tabla) {
  console.log(
    `(${fila.desde}, ${fila.hasta}): punto ${fila.prueba}, signo ${fila.signo}`
  );
}

Los límites −4 y 5 representan aquí una ventana de análisis, mientras que 0 y 2 son ceros exactos de la derivada. El programa no descubre esos ceros: los recibe como datos.

Traducir signos a comportamiento

function describirIntervalos(derivada, cortes) {
  const resultados = [];

  for (let i = 0; i < cortes.length - 1; i++) {
    const a = cortes[i];
    const b = cortes[i + 1];
    const muestra = (a + b) / 2;
    const pendiente = derivada(muestra);

    resultados.push({
      intervalo: `(${a}, ${b})`,
      comportamiento: pendiente > 0
        ? "creciente"
        : pendiente < 0
          ? "decreciente"
          : "requiere más análisis"
    });
  }
  return resultados;
}

const fPrima = x => 4 * x * (x ** 2 - 1);
const resultados = describirIntervalos(fPrima, [-3, -1, 0, 1, 3]);

for (const resultado of resultados) {
  console.log(resultado.intervalo, resultado.comportamiento);
}

14 · Comprensión

Confusiones frecuentes

15 · Práctica guiada

Ejercicios de aplicación

Ejercicio 1: una función cuadrática

Determiná los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f(x) = x² − 6x + 2.

Ejercicio 2: producto de factores

Si f′(x) = (x + 1)(x − 4), construí la tabla de signos y describí la monotonía.

Ejercicio 3: cero sin cambio

Analizá el signo de f′(x) = (x − 2)²(x + 1). ¿En cuáles ceros cambia el signo?

Ejercicio 4: respetar el dominio

Una función tiene dominio ℝ \ {2} y su derivada es positiva para todo x ≠ 2. ¿Cómo deben escribirse sus intervalos crecientes?

Ejercicio 5: revisar un algoritmo

¿Por qué sería inseguro probar únicamente los enteros −2, −1, 0, 1, 2 para afirmar que una derivada nunca cambia de signo?

16 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema usaremos estas fronteras para definir y localizar números críticos y puntos estacionarios.