Números críticos y puntos estacionarios

01 · Lugares que merecen atención

Las fronteras del comportamiento

Para construir una tabla de signos dividimos el dominio en intervalos. Las fronteras más importantes aparecen donde la derivada se anula o deja de existir. En esos lugares la gráfica puede aplanarse, formar una esquina, desarrollar una cúspide o cambiar de dirección.

Estas entradas reciben el nombre de números críticos. No son respuestas definitivas: son candidatos que debemos investigar.

02 · Vocabulario preciso

Número crítico, punto crítico y punto estacionario

Las tres expresiones están relacionadas, pero no significan exactamente lo mismo:

Número crítico

Es una entrada c del dominio donde f′(c) = 0 o donde f′(c) no existe.

Punto crítico

Es el punto de la gráfica (c, f(c)) asociado con un número crítico.

Número estacionario

Es una entrada c donde la derivada existe y vale cero.

Punto estacionario

Es el punto (c, f(c)) cuya recta tangente es horizontal.

Todo número estacionario es crítico, pero no todo número crítico es estacionario. Por ejemplo, el origen es crítico para f(x) = |x|, aunque allí no existe una tangente horizontal.

03 · Método general

Cómo encontrar todos los candidatos

1. Determinar el dominio de f. Un valor fuera del dominio nunca puede ser un número crítico.
2. Calcular y simplificar f′(x). Conviene conservar restricciones que puedan desaparecer durante la simplificación.
3. Resolver f′(x) = 0. En una fracción, esto suele exigir que el numerador sea cero y el denominador no lo sea.
4. Encontrar dónde f′ no existe. Comprobar cuáles de esos valores sí pertenecen al dominio de f.
5. Evaluar f(c). Así transformamos cada número crítico en un punto de la gráfica.
6. Agregar por separado las fronteras del dominio relevante. Son candidatas importantes en problemas restringidos.

04 · Derivada nula

Ejemplo con dos puntos estacionarios

Consideremos:

Como un polinomio está definido y es derivable en todo ℝ, solo necesitamos resolver:

Evaluamos la función original:

Sabemos que ambos tienen tangente horizontal. Todavía debemos estudiar el comportamiento vecino antes de clasificarlos como máximo o mínimo.

05 · Derivada inexistente

Un número crítico puede tener una esquina

Para f(x) = |x|, el dominio es todo ℝ. Su derivada por tramos es:

En x = 0, la derivada lateral izquierda vale −1 y la derecha vale 1. Como no coinciden, f′(0) no existe. Sin embargo, 0 sí pertenece al dominio de f.

Este ejemplo demuestra por qué buscar únicamente soluciones de f′(x) = 0 es insuficiente: perderíamos un candidato importante.

06 · Un filtro indispensable

Donde f no existe, no hay número crítico

Analicemos f(x) = 1/x. Tanto la función como su derivada fallan en cero:

Aunque f′(0) no existe, 0 no es un número crítico porque tampoco pertenece al dominio de f. Es una discontinuidad que divide el dominio y debe aparecer en una tabla de signos, pero no produce un punto sobre la gráfica.

07 · Dominios restringidos

Los extremos del intervalo también son candidatos

Supongamos que buscamos los mejores valores de f(x) = x² solamente en [−1, 3]. El único número estacionario interior es 0, pero el mayor valor se alcanza en la frontera x = 3.

Las convenciones sobre si un extremo del dominio se denomina «número crítico» pueden variar según el texto y el uso de derivadas laterales. Para evitar ambigüedades, en este curso usaremos dos listas:

Números críticos interiores

Entradas del interior donde f′ = 0 o donde la derivada no existe.

Fronteras factibles

Extremos del intervalo o límites impuestos por el problema que también deben evaluarse.

08 · Candidato no es conclusión

Qué puede ocurrir en un punto crítico

La ecuación que genera el candidato no lo clasifica. Para hacerlo necesitaremos comparar valores o estudiar cómo cambia el signo de la derivada.

09 · Expresiones que engañan

No perder restricciones al simplificar

Consideremos una función expresada inicialmente como:

Al factorizar obtenemos f(x) = x + 1, pero solo para x ≠ 1. La gráfica es una recta con un hueco. Su derivada vale 1 donde la función existe.

No podemos afirmar que x = 1 es crítico por el hecho de que la fórmula original tenga un denominador nulo: 1 no pertenece al dominio. Tampoco debemos olvidar el hueco después de simplificar.

10 · Lectura desde f′

Ceros, huecos y discontinuidades de la derivada

Si conocemos el gráfico de f′, buscamos dos clases de entradas:

• Cortes o contactos con el eje horizontal: indican f′(c) = 0 y generan puntos estacionarios de f.
• Huecos, saltos o valores no finitos: indican que f′(c) no existe; debemos comprobar si f(c) sí existe.

Un cero de f′ puede cruzar el eje o apenas tocarlo. El cruce suele señalar un cambio de signo; el contacto puede conservarlo. Esa diferencia será fundamental para clasificar extremos.

11 · Mirada computacional

Candidatos en modelos para programadores

En un modelo computacional, un número crítico representa una configuración donde la sensibilidad de primer orden desaparece o cambia abruptamente:

Tamaño de lote

Un candidato estacionario puede equilibrar costo de coordinación y rendimiento.

Compresión

Una esquina puede aparecer cuando una penalización cambia de regla a partir de cierto umbral.

Animación

Una velocidad nula marca un instante de reposo, aunque no necesariamente un cambio de dirección.

Función de pérdida

Una derivada nula señala un candidato, pero puede ser mínimo, máximo o una región plana.

Además, muchos parámetros de software son enteros. Un candidato continuo puede servir como guía, pero luego deben evaluarse los valores discretos factibles cercanos.

12 · Exploración interactiva

Laboratorio: reconocer distintos puntos críticos

Elegí una función y desplazá el marcador. El panel inferior representa f′; los candidatos aparecen señalados sobre la función y sobre el eje de entradas.

El panel superior muestra la función y sus puntos críticos. El inferior muestra la derivada, incluidos sus ceros o la interrupción donde no existe.

Preguntas para explorar

1. En x³ − 3x, ubicá el control en −1 y 1. ¿Qué tienen en común las tangentes?
2. En x³, observá el origen. ¿Por qué es estacionario aunque la función continúe creciendo?
3. En |x|, acercate al origen desde ambos lados. ¿Qué ocurre con el valor de la derivada?
4. Compará la marca de un cero de f′ con la interrupción que representa una derivada inexistente.

13 · Implementación

Clasificar candidatos conocidos con JavaScript

Un programa puede comprobar una lista de candidatos obtenida previamente por álgebra o por la estructura del modelo:

function clasificarCandidato(f, fPrima, c, tolerancia = 1e-9) {
  const valor = f(c);
  const pendiente = fPrima(c);

  if (!Number.isFinite(valor)) {
    return { c, tipo: "fuera del dominio" };
  }
  if (!Number.isFinite(pendiente)) {
    return { c, punto: [c, valor], tipo: "crítico no derivable" };
  }
  if (Math.abs(pendiente) <= tolerancia) {
    return { c, punto: [c, valor], tipo: "estacionario" };
  }
  return { c, punto: [c, valor], tipo: "no crítico" };
}

const f = x => x ** 3 - 3 * x;
const fPrima = x => 3 * x ** 2 - 3;

for (const c of [-1, 0, 1]) {
  console.log(clasificarCandidato(f, fPrima, c));
}

Los valores −1 y 1 se clasifican como estacionarios. El valor 0 no es crítico porque su pendiente es −3.

Representar una derivada inexistente

const absoluto = x => Math.abs(x);

function derivadaAbsoluto(x) {
  if (x === 0) return null;
  return x < 0 ? -1 : 1;
}

function inspeccionar(f, fPrima, c) {
  const valor = f(c);
  const pendiente = fPrima(c);

  if (pendiente === null) {
    return { c, valor, esCritico: true, razon: "derivada inexistente" };
  }
  return {
    c,
    valor,
    esCritico: Math.abs(pendiente) <= 1e-9,
    razon: pendiente === 0 ? "derivada nula" : "pendiente no nula"
  };
}

console.log(inspeccionar(absoluto, derivadaAbsoluto, 0));

14 · Cómputo numérico

Un valor pequeño no siempre es un cero exacto

Al evaluar expresiones con números de punto flotante podemos obtener 2.2e-16 donde matemáticamente esperamos cero. Una tolerancia permite clasificar ese resultado como numéricamente nulo:

function esCeroNumerico(valor, tolerancia = 1e-8) {
  return Number.isFinite(valor) && Math.abs(valor) <= tolerancia;
}

const casiCero = Math.cos(Math.PI / 2);

console.log(casiCero);
console.log(esCeroNumerico(casiCero));

La tolerancia resuelve una decisión de representación, no una demostración. Además, una derivada pequeña puede ser genuinamente distinta de cero. El valor elegido debe guardar relación con la escala y la precisión del problema.

15 · Comprensión

Confusiones frecuentes

16 · Práctica guiada

Ejercicios de aplicación

Ejercicio 1: polinomio

Encontrá los números y puntos críticos de f(x) = x³ − 12x.

Ejercicio 2: raíz y derivada inexistente

Para f(x) = x2/3, explicá por qué cero es un número crítico.

Ejercicio 3: descartar un valor

Para f(x) = (x + 1)/(x − 2), la derivada tampoco existe en x = 2. ¿Es un número crítico?

Ejercicio 4: dominio restringido

Enumerá todos los candidatos que habría que evaluar para optimizar f(x) = x³ − 3x en [−2, 2].

Ejercicio 5: interpretar código

¿Por qué una función que detecta candidatos no debería devolver automáticamente las etiquetas «máximo» o «mínimo»?

17 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema definiremos y compararemos máximos y mínimos locales, y aprenderemos a reconocer qué significa ser el mejor valor dentro de un entorno.