Máximos y mínimos locales

01 · Comparaciones cercanas

Ser el mejor dentro de un entorno

Una función tiene un máximo local en x = c cuando f(c) es mayor o igual que los valores de la función suficientemente cercanos. Tiene un mínimo local cuando es menor o igual que esos valores.

La palabra «local» es esencial. No comparamos f(c) con todo el dominio, sino con una región pequeña alrededor de c.

02 · Definición con entorno

La distancia δ delimita la comparación

Decir «suficientemente cerca» significa que existe una distancia δ > 0 tal que la comparación se cumple para los puntos del dominio con |x − c| < δ.

No hace falta que la comparación funcione para cualquier tamaño de entorno. Basta con encontrar uno donde se cumpla. Reducir δ nos permite aislar el comportamiento local.

03 · Entrada y salida

Dónde ocurre y cuánto vale

Conviene distinguir la entrada donde ocurre el extremo de su valor:

Para f(x) = (x − 2)² + 1, el mínimo local ocurre en x = 2 y su valor es f(2) = 1. El punto mínimo de la gráfica es (2, 1).

04 · Igualdad o desigualdad estricta

Extremos estrictos y no estrictos

Un máximo local es estricto si f(c) > f(x) para todo punto cercano diferente de c. Un mínimo local estricto satisface f(c) < f(x).

En una meseta, muchos puntos pueden compartir el mismo valor. Con la definición no estricta, cada punto interior de la meseta puede ser máximo local y mínimo local a la vez.

05 · Escala de la comparación

Local no significa absoluto

Imaginemos una curva con varias cimas. Una cima pequeña puede ser mayor que todo lo que tiene cerca y, por lo tanto, constituir un máximo local. Sin embargo, otra cima más alta puede tener el mayor valor de todo el dominio.

Extremo local

Compara el valor con puntos de algún entorno.

Extremo absoluto

Compara el valor con todos los puntos del dominio considerado.

Todo extremo absoluto interior suele ser también local bajo la definición no estricta, pero un extremo local no tiene por qué ser absoluto. En el próximo tema estudiaremos esta distinción en detalle.

06 · Formas fundamentales

Parábolas que forman valles y cimas

En ambos casos la derivada se anula en x = c. Para la parábola que abre hacia arriba, los valores aumentan al alejarnos del vértice. Para la que abre hacia abajo, disminuyen.

Esta lectura mediante cambios de signo será formalizada como criterio en el tema 9. Por ahora, la comparación directa con los valores cercanos basta para reconocer los extremos.

07 · Una condición insuficiente

Una tangente horizontal no garantiza un extremo

La función f(x) = x³ satisface f′(0) = 0, pero continúa creciendo a través del origen:

En cualquier entorno de cero existen valores menores y mayores que f(0). Por eso, el origen no es máximo ni mínimo local.

08 · Extremos sin tangente horizontal

Esquinas y cúspides también pueden optimizar

La función f(x) = |x| tiene un mínimo local estricto en cero. Para cualquier x ≠ 0 cercano:

Sin embargo, f′(0) no existe porque las pendientes laterales son −1 y 1. El extremo se reconoce comparando valores o analizando las direcciones a ambos lados, no resolviendo únicamente f′ = 0.

Algo similar sucede con las cúspides. Por eso la lista de candidatos del tema anterior incluía tanto derivadas nulas como derivadas inexistentes.

09 · Extremos relativos al dominio

Qué ocurre en una frontera

Consideremos f(x) = x restringida a [0, 3]. Respecto de ese dominio, x = 0 es un mínimo y x = 3 es un máximo: solo comparamos con puntos permitidos.

Algunos textos reservan la expresión «extremo local» para puntos interiores y llaman a estos casos extremos de frontera. Otros utilizan entornos relativos al dominio y los incluyen como locales. En este curso:

Esta convención evita ambigüedades y recuerda que, al optimizar sobre un conjunto restringido, las fronteras deben evaluarse incluso si no satisfacen una condición interior de derivada.

10 · Valores repetidos

Mesetas y funciones constantes

Sea una función que vale 5 en todo el intervalo [−1, 1]. Para cualquier punto interior c de esa meseta, los valores cercanos son iguales a f(c).

• Con desigualdades no estrictas, c es máximo local porque f(c) ≥ f(x).
• También es mínimo local porque f(c) ≤ f(x).
• No es máximo ni mínimo estricto, porque existen puntos cercanos con el mismo valor.

Este caso explica por qué siempre conviene indicar qué definición se utiliza. En problemas aplicados, una meseta puede representar muchas configuraciones igualmente óptimas.

11 · Curvas con varias decisiones

Una función puede tener muchos extremos locales

Las funciones oscilatorias y los modelos con varios términos pueden formar numerosas cimas y valles. Por ejemplo, sen(x) repite máximos y mínimos:

Un método de búsqueda que comienza cerca de una cima puede encontrarla y detenerse aunque exista otra solución mejor en una región lejana. Esta diferencia entre información local y global es central en optimización computacional.

12 · Mirada computacional

Extremos locales en sistemas y algoritmos

Ajuste de parámetros

Una configuración puede superar a todas las configuraciones cercanas sin ser la mejor de todas.

Funciones de pérdida

Un mínimo local representa una solución estable frente a pequeñas perturbaciones del parámetro.

Animaciones

Los extremos locales de la posición marcan cambios de dirección del movimiento.

Monitoreo

Una cima local en latencia o memoria puede señalar un pico transitorio.

La noción de «cercanía» depende de la representación. En una variable continua usamos intervalos; en parámetros enteros podemos comparar vecinos como n − 1 y n + 1; en estructuras más complejas, la vecindad debe definirse explícitamente.

13 · Exploración interactiva

Laboratorio: comparar un punto con su entorno

Elegí una función, desplazá el candidato y modificá el radio del entorno. La franja sombreada muestra exactamente qué región se usa en la comparación numérica.

La franja violeta representa el entorno del candidato. Los puntos muestreados se comparan con el punto central para proponer una clasificación local.

Preguntas para explorar

1. En la parábola, alejá el candidato de c = 1. ¿Por qué deja de ser un mínimo?
2. En la cima, buscá el candidato exacto y verificá que todos sus vecinos tengan menor valor.
3. En x³, ubicá el candidato en cero. ¿Qué valores aparecen a izquierda y derecha?
4. En sen(x), aumentá el radio hasta incluir otra parte de la onda. ¿Qué diferencia hay entre la comparación local y la global?

14 · Implementación

Aproximar una comparación local con JavaScript

Un muestreo puede comparar el candidato con puntos distribuidos dentro de un entorno:

function clasificarLocal(f, c, radio, muestras = 200, tolerancia = 1e-9) {
  const valorCentral = f(c);
  let todosMayores = true;
  let todosMenores = true;

  for (let i = 0; i <= muestras; i++) {
    const x = c - radio + (2 * radio * i) / muestras;
    if (Math.abs(x - c) <= tolerancia) continue;

    const valor = f(x);
    if (valor <= valorCentral + tolerancia) todosMayores = false;
    if (valor >= valorCentral - tolerancia) todosMenores = false;
  }

  if (todosMayores) return "mínimo local estricto aproximado";
  if (todosMenores) return "máximo local estricto aproximado";
  return "el muestreo no detecta un extremo estricto";
}

const f = x => (x - 1) ** 2 + 1;

console.log(clasificarLocal(f, 1, 0.8));
console.log(clasificarLocal(f, 2, 0.8));

El resultado incluye la palabra «aproximado» porque una cantidad finita de muestras no cubre todos los puntos reales del entorno.

Comparar vecinos en un dominio discreto

function extremoDiscreto(valores, indice) {
  if (indice <= 0 || indice >= valores.length - 1) {
    return "frontera: requiere un criterio separado";
  }

  const anterior = valores[indice - 1];
  const actual = valores[indice];
  const siguiente = valores[indice + 1];

  if (actual > anterior && actual > siguiente) return "máximo local estricto";
  if (actual < anterior && actual < siguiente) return "mínimo local estricto";
  return "no es un extremo local estricto";
}

const latencias = [18, 14, 11, 13, 17];

for (let i = 0; i < latencias.length; i++) {
  console.log(i, extremoDiscreto(latencias, i));
}

15 · Comprensión

Confusiones frecuentes

16 · Práctica guiada

Ejercicios de aplicación

Ejercicio 1: ubicación y valor

Para f(x) = (x + 3)² − 4, indicá dónde ocurre el mínimo local, cuál es su valor y cuál es el punto mínimo.

Ejercicio 2: una cima

Clasificá el vértice de g(x) = 5 − 2(x − 1)².

Ejercicio 3: candidato estacionario

La función f(x) = x⁴ tiene f′(0) = 0. Justificá directamente que cero es un mínimo local estricto.

Ejercicio 4: sin extremo

Explicá por qué f(x) = x⁵ no tiene un extremo local en cero aunque f′(0) = 0.

Ejercicio 5: secuencia discreta

En la secuencia [8, 5, 3, 4, 2, 6], localizá los extremos locales estrictos interiores comparando cada valor con sus dos vecinos.

17 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema ampliaremos la comparación a todo el dominio para estudiar máximos y mínimos absolutos.