Máximos y mínimos absolutos

01 · La comparación global

El mayor y el menor valor permitidos

Un máximo absoluto es un valor que ninguna otra entrada del dominio supera. Un mínimo absoluto es un valor por debajo del cual no cae ninguna salida de la función.

02 · Ubicación, valor y punto

Tres datos relacionados, pero diferentes

Para f(x) = (x − 1)² + 2 en todo ℝ:

Esta parábola no tiene máximo absoluto en ℝ, porque sus valores crecen sin cota al alejarnos de x = 1.

03 · Dos escalas

Extremos locales frente a absolutos

Máximo o mínimo local

Compara con puntos suficientemente cercanos.

Máximo o mínimo absoluto

Compara con todos los puntos del dominio considerado.

Una curva puede tener varias cimas locales, pero solo las más altas son máximos absolutos. Del mismo modo, puede tener varios valles locales y solo los más bajos son mínimos absolutos.

También es posible que un extremo sea local y absoluto simultáneamente. El vértice de x² es mínimo local y mínimo absoluto en ℝ.

04 · El dominio cambia la respuesta

La misma fórmula puede tener extremos diferentes

Consideremos f(x) = x² bajo tres dominios:

Por eso todo problema de optimización debe declarar el dominio factible. Resolver la derivada sin considerar las restricciones puede producir una respuesta inválida o incompleta.

05 · Dónde buscar

Los extremos absolutos pueden aparecer en varios lugares

Al construir una lista de candidatos debemos considerar:

• Puntos interiores donde f′(x) = 0.
• Puntos del dominio donde f′ no existe.
• Extremos de intervalos cerrados y otras fronteras factibles.
• Comportamiento hacia infinito o cerca de fronteras excluidas.

Esta lista todavía no es un algoritmo completo: antes debemos saber si los extremos existen y después justificar que ningún punto fue omitido. Los próximos temas formalizarán esas garantías.

06 · Las fronteras pueden ganar

Un extremo absoluto no necesita ser estacionario

Para f(x) = x² en [−2, 3], el único punto estacionario interior es x = 0. Allí se alcanza el mínimo absoluto, pero el máximo absoluto está en x = 3.

La derivada en una frontera no tiene por qué ser cero. La restricción impide continuar avanzando hacia entradas que podrían producir valores todavía mayores o menores.

07 · Soluciones múltiples

Un mismo valor extremo puede alcanzarse varias veces

La función f(x) = sen(x) alcanza el valor máximo absoluto 1 en infinitas entradas:

También alcanza el mínimo absoluto −1 en x = 3π/2 + 2kπ. El valor extremo es único como número, pero puede tener muchas entradas optimizadoras.

En programación conviene devolver tanto el mejor valor como todas las entradas conocidas que lo alcanzan, especialmente cuando varias configuraciones son equivalentes.

08 · No siempre existen

Estar acotada no significa alcanzar la cota

La función f(x) = x en el intervalo abierto (0, 1) toma valores cada vez más cercanos a 0 y a 1, pero nunca toma esos valores.

Para que exista un máximo o mínimo, el valor debe ser alcanzado por alguna entrada válida. Aproximarse indefinidamente no basta.

09 · Cotas y valores alcanzados

Máximo no es sinónimo de supremo

Supremo

La menor cota superior del conjunto de valores; puede no pertenecer a la imagen.

Máximo

Una cota superior que la función alcanza efectivamente.

Ínfimo

La mayor cota inferior; puede no pertenecer a la imagen.

Mínimo

Una cota inferior alcanzada por alguna entrada del dominio.

Todo máximo es también el supremo, y todo mínimo es el ínfimo. Las recíprocas fallan cuando la cota no se alcanza.

10 · Dominios infinitos

Un extremo puede existir sin el otro

El hecho de que el dominio sea infinito no impide automáticamente los extremos. Debemos estudiar la imagen y el comportamiento global de cada función.

11 · Comparar candidatos

Un ejemplo con resultados repetidos

Estudiemos f(x) = x³ − 3x en [−2, 2]. Los puntos estacionarios interiores son −1 y 1; agregamos las fronteras:

El máximo absoluto es 2 y se alcanza en x = −1 y x = 2. El mínimo absoluto es −2 y se alcanza en x = −2 y x = 1.

12 · Dominios discretos

En una colección finita, comparar es suficiente

Si el dominio es una lista finita de configuraciones, los extremos absolutos se obtienen evaluando todas. No necesitamos derivadas.

Por ejemplo, si las latencias medidas son [31, 24, 19, 22, 27], el mínimo absoluto es 19 y el máximo absoluto es 31. El índice o la configuración asociada también debe conservarse.

13 · Decisiones globales

Qué representan los extremos absolutos al programar

Rendimiento

La configuración con menor tiempo total dentro del rango permitido.

Uso de recursos

El pico máximo de memoria durante toda una ejecución.

Calidad

La mayor puntuación obtenida entre todas las configuraciones factibles.

Seguridad

El peor valor alcanzable de temperatura, carga o latencia bajo restricciones.

La función objetivo define qué se optimiza; el dominio factible define entre qué alternativas. Cambiar cualquiera de los dos puede cambiar por completo la solución.

14 · Exploración interactiva

Laboratorio: el dominio decide los extremos

Elegí una función y modificá las fronteras del intervalo. También podés incluirlas o excluirlas. El laboratorio compara puntos críticos conocidos y fronteras válidas.

La franja violeta marca el intervalo analizado. Los puntos verdes indican mínimos absolutos y los rojos máximos absolutos entre los candidatos válidos.

Preguntas para explorar

1. Con x², mové el intervalo hasta excluir el origen. ¿Dónde queda el mínimo?
2. Cambiá de intervalo cerrado a abierto. ¿Qué ocurre cuando el mejor valor solo estaba en una frontera?
3. Con x³ − 3x en [−2, 2], verificá que hay empates en el máximo y en el mínimo.
4. Con sen(x), elegí intervalos que contengan una cima, un valle o ninguno.

15 · Implementación

Comparar una lista completa de candidatos

Si el análisis matemático ya produjo todos los candidatos, el programa puede evaluarlos y conservar los empates:

function extremosAbsolutos(f, candidatos, tolerancia = 1e-9) {
  const evaluados = candidatos
    .map(x => ({ x, y: f(x) }))
    .filter(punto => Number.isFinite(punto.y));

  if (evaluados.length === 0) return null;

  const minimo = Math.min(...evaluados.map(punto => punto.y));
  const maximo = Math.max(...evaluados.map(punto => punto.y));

  return {
    valorMinimo: minimo,
    minimizadores: evaluados
      .filter(punto => Math.abs(punto.y - minimo) <= tolerancia)
      .map(punto => punto.x),
    valorMaximo: maximo,
    maximizadores: evaluados
      .filter(punto => Math.abs(punto.y - maximo) <= tolerancia)
      .map(punto => punto.x)
  };
}

const f = x => x ** 3 - 3 * x;
console.log(extremosAbsolutos(f, [-2, -1, 1, 2]));

El resultado conserva las dos entradas que alcanzan cada valor extremo. La función presupone que la lista de candidatos es completa.

Extremos en datos discretos

function extremosDeDatos(datos, campo) {
  if (datos.length === 0) return null;

  let minimo = datos[0];
  let maximo = datos[0];

  for (const elemento of datos.slice(1)) {
    if (elemento[campo] < minimo[campo]) minimo = elemento;
    if (elemento[campo] > maximo[campo]) maximo = elemento;
  }
  return { minimo, maximo };
}

const pruebas = [
  { lote: 16, tiempo: 31 },
  { lote: 32, tiempo: 24 },
  { lote: 64, tiempo: 19 },
  { lote: 128, tiempo: 22 }
];

console.log(extremosDeDatos(pruebas, "tiempo"));

16 · Comprensión

Confusiones frecuentes

17 · Práctica guiada

Ejercicios de aplicación

Ejercicio 1: parábola restringida

Determiná los extremos absolutos de f(x) = (x − 1)² en [−1, 4].

Ejercicio 2: intervalo abierto

¿Tiene f(x) = x² máximo y mínimo absolutos en (0, 2)?

Ejercicio 3: dominio no acotado

Clasificá los extremos absolutos de f(x) = 3 − x² en ℝ.

Ejercicio 4: soluciones repetidas

Para f(x) = cos(x) en [0, 2π], indicá valores y ubicaciones de los extremos absolutos.

Ejercicio 5: diseñar la salida

¿Qué información debería devolver una función de software que busca extremos absolutos cuando existen empates?

18 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema estudiaremos el Teorema de Fermat, que explica por qué un extremo interior derivable debe ser un punto estacionario.