Teorema de Fermat para extremos

01 · El puente hacia los candidatos

Por qué buscamos derivadas nulas

Al resolver problemas de optimización solemos comenzar con la ecuación f′(x) = 0. El Teorema de Fermat explica por qué esta búsqueda tiene sentido: bajo ciertas condiciones, todo extremo local interior debe aparecer entre sus soluciones.

El teorema proporciona una condición necesaria. Nos dice dónde deben estar ciertos extremos, pero no asegura que cada solución de la ecuación sea un extremo.

02 · Enunciado preciso

Las tres condiciones del teorema

Sea f una función y c una entrada que cumple:

1. c es un punto interior del dominio.
2. f tiene un máximo local o mínimo local en c.
3. f es derivable en c.

Entonces necesariamente:

Cada hipótesis cumple una función. Si quitamos la interioridad o la derivabilidad, puede existir un extremo con pendiente no nula o sin una derivada definida.

03 · Interpretación geométrica

Una curva suave debe aplanarse en la cima o el valle

Imaginemos una curva suave que llega a una cima interior. Antes de la cima, las secantes cercanas suelen subir; después, suelen bajar. Si existe una única pendiente tangente en el punto, debe ser compatible con ambos lados.

La única pendiente que puede ser simultáneamente no negativa y no positiva es 0. En un mínimo ocurre el razonamiento simétrico.

04 · Demostración para un mínimo

Analizar el cociente desde ambos lados

Supongamos que f tiene un mínimo local en c. Para valores pequeños de h se cumple:

Si h > 0, dividimos por un número positivo y la desigualdad conserva su sentido:

Al tomar el límite por la derecha obtenemos f′+(c) ≥ 0.

Si h < 0, al dividir por un número negativo la desigualdad se invierte:

El límite por la izquierda satisface f′−(c) ≤ 0. Como la función es derivable, ambos límites laterales existen y son iguales. El único valor que cumple ambas condiciones es:

05 · Demostración para un máximo

El mismo argumento con signos invertidos

Si f tiene un máximo local en c, entonces f(c + h) − f(c) ≤ 0 para incrementos suficientemente pequeños.

Si las derivadas laterales coinciden, su valor común debe ser cero. Así se completa el razonamiento para ambos tipos de extremo.

06 · Dirección lógica

Condición necesaria no significa suficiente

El teorema afirma:

No podemos invertir la flecha sin agregar otras condiciones:

Una condición es necesaria cuando debe cumplirse si ocurre el resultado. Es suficiente cuando su cumplimiento garantiza el resultado. Fermat entrega una condición necesaria.

07 · Contraejemplo

x³ tiene derivada nula y ningún extremo

Para f(x) = x³:

Sin embargo, en todo entorno del origen existen valores negativos a la izquierda y positivos a la derecha. La función continúa creciendo y f(0) = 0 no es mayor ni menor que todos sus vecinos.

El origen es un punto estacionario y un punto de inflexión, pero no un extremo. Este contraejemplo demuestra que la recíproca del Teorema de Fermat es falsa.

08 · Primera excepción aparente

Un extremo puede no ser derivable

La función f(x) = |x| tiene un mínimo local y absoluto en x = 0, pero:

Como las derivadas laterales no coinciden, f′(0) no existe. Esto no contradice el teorema: falla la hipótesis de derivabilidad.

Las esquinas, cúspides y tangentes verticales recuerdan que la búsqueda de candidatos debe incluir puntos donde la derivada no existe.

09 · Segunda excepción aparente

Un extremo de frontera puede tener pendiente no nula

Sea f(x) = x en el dominio [0, 2]. El mínimo absoluto ocurre en x = 0 y el máximo absoluto en x = 2, pero f′(x) = 1.

No hay contradicción porque los extremos no son puntos interiores del dominio. En x = 0 no podemos comparar con entradas permitidas a la izquierda; en x = 2 no podemos avanzar dentro del dominio hacia la derecha.

10 · Una forma útil de descartar

Si la derivada no es cero, no hay extremo interior derivable

La contraposición lógica del teorema afirma que, si c es interior, f es derivable allí y f′(c) ≠ 0, entonces f no tiene un extremo local en c.

Geométricamente, una pendiente positiva o negativa significa que la aproximación lineal atraviesa el punto con una dirección definida. Cerca de él habrá valores a distintas alturas, de modo que no puede ser cima ni valle.

11 · Estrategia de búsqueda

Qué aporta Fermat a un algoritmo analítico

El teorema reduce una búsqueda sobre infinitas entradas a una lista de candidatos, siempre que podamos resolver la ecuación y localizar los puntos problemáticos.

Luego necesitamos un criterio de clasificación: cambio de signo de f′, segunda derivada, comparación directa o evaluación de todos los candidatos en un dominio cerrado.

12 · Modelos restringidos

El óptimo del problema no siempre es estacionario

Supongamos que una función de rendimiento mejora en todo el rango 1 ≤ x ≤ 100. La mejor configuración puede ser x = 100, aun cuando la derivada sea positiva y nunca se anule.

Óptimo interior suave

Fermat obliga a que la derivada sea cero.

Óptimo en una frontera

Puede tener derivada no nula; la restricción detiene el recorrido.

Óptimo no suave

Puede aparecer en una esquina o cúspide donde la derivada no existe.

Parámetro discreto

La derivada continua orienta, pero la solución se compara entre entradas permitidas.

13 · Exploración interactiva

Laboratorio: pendientes laterales cerca del candidato

Reducí h para acercar dos puntos a c. Las secantes izquierda y derecha muestran por qué una curva derivable se aplana en un extremo interior y qué falla en los contraejemplos.

El punto central es el candidato c. Los puntos vecinos están a distancia h y determinan dos secantes cuyas pendientes aproximan las derivadas laterales.

Preguntas para explorar

1. En x² y −x², reducí h. ¿Desde qué signos se acercan las pendientes a cero?
2. En x³, comprobá que ambas pendientes tienden a cero aunque no exista un extremo.
3. En |x|, observá que las pendientes permanecen en −1 y 1.
4. En el caso de frontera, explicá por qué no existe un punto permitido a la izquierda.

14 · Implementación

Aproximar los cocientes laterales

Podemos calcular secantes simétricas alrededor de un candidato:

function cocientesLaterales(f, c, h) {
  if (!(h > 0)) throw new RangeError("h debe ser positivo");

  return {
    izquierda: (f(c) - f(c - h)) / h,
    derecha: (f(c + h) - f(c)) / h
  };
}

const minimo = x => x ** 2;

for (const h of [1, 0.5, 0.1, 0.01]) {
  const pendientes = cocientesLaterales(minimo, 0, h);
  console.log(`h = ${h}`, pendientes);
}

Para x², el cociente izquierdo vale −h y el derecho h. Ambos tienden a cero.

Comparar casos con las mismas aproximaciones

function aproximarLaterales(f, c, pasos) {
  for (const h of pasos) {
    const izquierda = (f(c) - f(c - h)) / h;
    const derecha = (f(c + h) - f(c)) / h;

    console.log(
      `h=${h}; izquierda=${izquierda}; derecha=${derecha}`
    );
  }
}

console.log("x³:");
aproximarLaterales(x => x ** 3, 0, [1, 0.1, 0.01]);

console.log("|x|:");
aproximarLaterales(x => Math.abs(x), 0, [1, 0.1, 0.01]);

En x³, ambos valores se acercan a cero; esto no prueba un extremo. En |x|, permanecen diferentes y muestran que la derivada no existe.

15 · Comprensión

Confusiones frecuentes

16 · Práctica guiada

Ejercicios de aplicación

Ejercicio 1: comprobar el teorema

La función f(x) = (x − 3)² + 1 tiene un mínimo local en x = 3. Verificá la conclusión de Fermat.

Ejercicio 2: detectar la hipótesis ausente

f(x) = 2x + 1 en [0, 4] tiene un mínimo en cero, pero f′(0) = 2. ¿Por qué no hay contradicción?

Ejercicio 3: otro contraejemplo a la recíproca

Mostrá que f(x) = x⁵ tiene derivada nula en cero y no tiene allí un extremo.

Ejercicio 4: extremo no derivable

Analizá f(x) = |x − 2| en su mínimo.

Ejercicio 5: lista completa

Para optimizar una función continua en [a, b], ¿qué candidatos deben agregarse además de las soluciones interiores de f′ = 0?

17 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema estudiaremos el Teorema del Valor Extremo, que establece condiciones suficientes para garantizar que existan máximos y mínimos absolutos.