01 · Un segundo nivel de cambio
La pendiente también puede variar
La primera derivada f′(x) mide cómo cambia la función. Pero las pendientes de una curva no tienen por qué permanecer constantes: pueden aumentar, disminuir o conservarse.
La derivada de f′ recibe el nombre de segunda derivada:
Su tarea es describir cómo cambia la pendiente cuando cambia x.
02 · Tres funciones relacionadas
Valor, pendiente y cambio de pendiente
| Función | Pregunta | Interpretación geométrica |
|---|---|---|
f(x) | ¿Cuál es el valor? | Altura de la gráfica |
f′(x) | ¿Cómo cambia el valor? | Pendiente de la tangente |
f″(x) | ¿Cómo cambia la pendiente? | Evolución de las tangentes |
Las tres funciones pueden tener signos distintos en una misma entrada. Un valor negativo puede estar creciendo; una función creciente puede tener pendientes que disminuyen.
03 · Signo de la segunda derivada
Pendientes que aumentan o disminuyen
Segunda derivada positiva
f″(x) > 0
Al avanzar, las pendientes de f aumentan.
Segunda derivada negativa
f″(x) < 0
Al avanzar, las pendientes de f disminuyen.
«Aumentar» significa volverse más grande como número. Pasar de −5 a −2 es un aumento de pendiente, aunque ambas sigan siendo negativas.
04 · Combinar f′ y f″
Cuatro comportamientos posibles
| f′ | f″ | Dirección de f | Evolución |
|---|---|---|---|
| + | + | Crece | Crece cada vez más rápido |
| + | − | Crece | Crece cada vez más lentamente |
| − | + | Decrece | Decrece cada vez más lentamente |
| − | − | Decrece | Decrece cada vez más rápido |
En los casos decrecientes, «más rápido» se refiere al aumento del valor absoluto de la pendiente. Una pendiente que pasa de −2 a −6 se vuelve más negativa.
05 · Cambio constante de pendiente
La segunda derivada de una parábola
Para f(x) = x² − 4x + 3:
La segunda derivada constante indica que la pendiente aumenta a ritmo constante. Observemos algunos valores:
| x | f′(x) | Cambio respecto del anterior |
|---|---|---|
0 | −4 | — |
1 | −2 | +2 |
2 | 0 | +2 |
3 | 2 | +2 |
4 | 4 | +2 |
Antes de x = 2, la función decrece pero sus pendientes aumentan hacia cero. Después, crece con pendientes positivas cada vez mayores.
06 · Cambio variable de pendiente
La segunda derivada puede cambiar de signo
Para f(x) = x³:
Cuando x < 0, f″(x) < 0 y las pendientes disminuyen al acercarnos al origen: pasan de valores positivos grandes a cero. Cuando x > 0, f″(x) > 0 y vuelven a aumentar.
La función permanece creciente a ambos lados porque f′(x) ≥ 0. El cambio de signo de f″ describe un cambio de forma, no un cambio de monotonía.
07 · Interpretación física
Posición, velocidad y aceleración
Si s(t) representa una posición:
La aceleración positiva indica que la velocidad aumenta como número. Esto no significa necesariamente que el objeto aumente su rapidez:
- Velocidad positiva y aceleración positiva: avanza y aumenta su rapidez.
- Velocidad positiva y aceleración negativa: avanza y reduce su rapidez.
- Velocidad negativa y aceleración positiva: retrocede y reduce su rapidez.
- Velocidad negativa y aceleración negativa: retrocede y aumenta su rapidez.
Esta es la misma tabla de signos de f′ y f″, interpretada en un contexto de movimiento.
08 · Comparar modelos
Dos funciones crecientes con formas distintas
Exponencial
f(x) = eˣ
f′ = eˣ > 0 y f″ = eˣ > 0: crece con pendientes crecientes.
Logaritmo
g(x) = ln(x)
g′ = 1/x > 0 y g″ = −1/x² < 0: crece con pendientes decrecientes.
Ambas funciones son crecientes, pero una se vuelve más empinada y la otra se aplana. La primera derivada no basta para distinguir esas formas.
09 · Candidatos, no conclusiones
f″(c) = 0 puede o no cambiar la forma
Resolver f″(x) = 0 localiza entradas donde podría cambiar el comportamiento de las pendientes. Pero, igual que con la primera derivada, un cero aislado no garantiza un cambio de signo.
Sí cambia el signo
f(x) = x³
f″(x) = 6x pasa de negativo a positivo en cero.
No cambia el signo
g(x) = x⁴
g″(x) = 12x² es positiva a ambos lados de cero.
10 · Leer f″ desde f′
La pendiente del gráfico de la primera derivada
Como f″ es la derivada de f′:
- Si el gráfico de
f′asciende, entoncesf″ > 0. - Si el gráfico de
f′desciende, entoncesf″ < 0. - Si
f′tiene una tangente horizontal, entoncesf″ = 0en ese punto, si existe.
No debemos mirar si f′ está por encima o debajo del eje para determinar f″. Esa posición informa el signo de f′; para f″ importa la inclinación de f′.
11 · Observar datos de pendientes
Comparar f′ en puntos cercanos
Si conocemos valores de la primera derivada, podemos aproximar su cambio promedio:
Un resultado positivo indica que las pendientes aumentaron en ese intervalo; uno negativo, que disminuyeron. Al reducir h, este cociente se relaciona con f″(x).
Esta observación ayuda a interpretar datos, aunque el cálculo numérico sistemático de derivadas se estudiará en el curso correspondiente.
12 · Dimensiones
Las unidades también se derivan
Si x se mide en segundos y f(x) en metros:
| Cantidad | Unidades | Ejemplo físico |
|---|---|---|
f | m | Posición |
f′ | m/s | Velocidad |
f″ | m/s² | Aceleración |
En un modelo de latencia según usuarios, f″ podría medirse en milisegundos por usuario al cuadrado: describe cómo cambia el costo marginal al agregar usuarios.
13 · Mirada computacional
Detectar aceleración, saturación e inestabilidad
- Rendimiento
- Una segunda derivada positiva de la latencia indica que cada usuario adicional empeora más el sistema.
- Entrenamiento
- El cambio de la pendiente de una pérdida ayuda a reconocer zonas planas o variaciones abruptas.
- Animación
- La segunda derivada controla aceleraciones y transiciones suaves.
- Series temporales
- Permite diferenciar una tendencia creciente que acelera de otra que se estabiliza.
Interpretar conjuntamente f′ y f″ produce descripciones más útiles que observar solo el valor actual.
14 · Exploración interactiva
Laboratorio: observar f y f′ al mismo tiempo
Desplazá el punto sobre la función. El panel inferior muestra la primera derivada; su inclinación local está determinada por f″(x).
Pendiente y cambio de pendiente
f(x) = x² − 4x + 3
La pendiente es negativa, pero está aumentando hacia cero.
El panel superior representa f y su tangente. El inferior representa f prima; una pequeña tangente allí tiene pendiente igual a f segunda.
Preguntas para explorar
- En la parábola, recorré ambos lados del vértice. ¿Qué cambia y qué permanece constante?
- En la cúbica, cruzá
x = 0. ¿Cómo cambia el signo def″? - Compará la exponencial y el logaritmo: ambas crecen, pero ¿cómo evolucionan sus pendientes?
- Buscá ejemplos de las cuatro combinaciones de signos de la tabla inicial.
15 · Implementación
Representar dos niveles de derivación
const modelo = {
f: x => x ** 3 - 3 * x,
primera: x => 3 * x ** 2 - 3,
segunda: x => 6 * x
};
function observar(modelo, x) {
return {
x,
valor: modelo.f(x),
pendiente: modelo.primera(x),
cambioDePendiente: modelo.segunda(x)
};
}
for (const x of [-2, -1, 0, 1, 2]) {
console.log(observar(modelo, x));
}Describir la combinación de signos
function describirComportamiento(primera, segunda, x) {
const d1 = primera(x);
const d2 = segunda(x);
if (Math.abs(d1) <= 1e-9) {
return d2 > 0
? "pendiente nula que está aumentando"
: d2 < 0
? "pendiente nula que está disminuyendo"
: "ambas derivadas son nulas";
}
if (d1 > 0 && d2 > 0) return "crece cada vez más rápido";
if (d1 > 0 && d2 < 0) return "crece cada vez más lentamente";
if (d1 < 0 && d2 > 0) return "decrece cada vez más lentamente";
if (d1 < 0 && d2 < 0) return "decrece cada vez más rápido";
return "la segunda derivada requiere más análisis";
}
const primera = x => 2 * x - 4;
const segunda = () => 2;
for (const x of [0, 1, 2, 3]) {
console.log(x, describirComportamiento(primera, segunda, x));
}16 · Comprensión
Confusiones frecuentes
«f″ positiva significa que f es positiva»
No. Describe el aumento de las pendientes, no la altura de la función.
«f″ positiva significa que f crece»
El crecimiento depende de f′. Una función puede decrecer mientras sus pendientes aumentan hacia cero.
«Aceleración positiva siempre aumenta la rapidez»
Si la velocidad es negativa, una aceleración positiva puede reducir su magnitud.
«f″(c) = 0 garantiza un cambio de forma»
Es solo un candidato. Debemos comprobar el signo a ambos lados.
«Si f′ disminuye, entonces f disminuye»
f′ puede disminuir y seguir siendo positiva; en ese caso f continúa creciendo.
«Las unidades de f″ son las mismas que las de f′»
Se dividen nuevamente por la unidad de entrada. Por ejemplo, de m/s pasamos a m/s².
17 · Práctica guiada
Ejercicios de aplicación
Ejercicio 1: calcular e interpretar
Para f(x) = 2x³ − 3x² + 1, calculá f′ y f″.
Ver solución razonada
f′(x) = 6x² − 6x y f″(x) = 12x − 6. Las pendientes disminuyen si x < 1/2 y aumentan si x > 1/2.
Ejercicio 2: signos combinados
En un intervalo se cumple f′ < 0 y f″ > 0. Describí el comportamiento.
Ver solución
La función decrece, pero sus pendientes aumentan: se vuelven menos negativas. Por eso decrece cada vez más lentamente.
Ejercicio 3: leer f′
El gráfico de f′ es una recta descendente. ¿Qué signo tiene f″?
Ver respuesta
La pendiente del gráfico de f′ es negativa, así que f″ < 0 en ese intervalo.
Ejercicio 4: cero no concluyente
Para f(x) = x⁴, analizá f″ alrededor de cero.
Ver solución
f″(x) = 12x². Vale cero en el origen, pero es positiva a ambos lados. Las pendientes no cambian de tendencia allí.
Ejercicio 5: modelo de latencia
Una latencia L(u) cumple L′(u) > 0 y L″(u) > 0. ¿Qué significa?
Ver respuesta
La latencia aumenta al agregar usuarios y, además, cada usuario adicional produce un aumento mayor que el anterior. El deterioro se acelera.
18 · Síntesis
Ideas para recordar
f″es la derivada def′y mide cómo cambian las pendientes.- Si
f″ > 0, las pendientes aumentan. - Si
f″ < 0, las pendientes disminuyen. - El signo de
f′determina la dirección; el def″, su evolución. - Las cuatro combinaciones describen crecimiento o decrecimiento acelerado o desacelerado.
f″(c) = 0genera un candidato, no una conclusión.- La inclinación del gráfico de
f′revela el signo def″. - Las unidades de la segunda derivada dividen dos veces por la unidad de entrada.
En el próximo tema traduciremos el signo de la segunda derivada en concavidad hacia arriba y hacia abajo.