Tablas de variación

01 · Un mapa compacto

Resumir una función sin dibujar cada punto

Una tabla de variación organiza la información esencial de una función a lo largo de su dominio. Muestra dónde crece, dónde decrece, qué entradas separan los intervalos y qué valores alcanza en los puntos relevantes.

La tabla funciona como una representación intermedia entre el cálculo algebraico y el bosquejo de la gráfica:

02 · Piezas de la tabla

Qué información debe aparecer

Dominio y fronteras

Extremos, discontinuidades y valores que separan componentes.

Números críticos

Ceros de f′ y puntos del dominio donde la derivada no existe.

Signo de f′

Positivo, negativo o no definido en cada región.

Variación de f

Flechas ascendentes, descendentes o tramos constantes.

Valores relevantes

f(c) en críticos y fronteras, además de límites cuando sean necesarios.

Clasificación

Máximos, mínimos, puntos sin cambio y separaciones del dominio.

Según el problema, también pueden incluirse asíntotas, valores no alcanzados o restricciones específicas.

03 · Construcción paso a paso

Del dominio a las flechas

1. Determinar el dominio y sus componentes.
2. Calcular f′ y localizar números críticos.
3. Ordenar críticos, discontinuidades y fronteras sobre la recta.
4. Determinar el signo de f′ en cada intervalo.
5. Traducir + como crecimiento y − como decrecimiento.
6. Evaluar f en los puntos incluidos y agregar límites donde corresponda.
7. Clasificar los cambios de dirección.

04 · Ejemplo básico

Tabla de x³ − 3x

Para f(x) = x³ − 3x:

Los críticos son −1 y 1, con f(−1) = 2 y f(1) = −2.

La secuencia ↗ 2 ↘ −2 ↗ resume la forma general de la cúbica.

05 · Leer una tabla

Reconstruir el comportamiento

De la tabla anterior podemos concluir sin ver la fórmula:

• La función tiene tres intervalos de monotonía.
• Hay un máximo local de valor 2 en x = −1.
• Hay un mínimo local de valor −2 en x = 1.
• No hay extremos absolutos en ℝ, porque los valores se extienden hacia −∞ y ∞.
• La gráfica debe descender entre una cima y un valle.

Una tabla correcta permite verificar un bosquejo y detectar contradicciones en una descripción verbal.

06 · Intervalos restringidos

Incluir valores de frontera

Si analizamos f(x) = x² − 4x + 5 en [0, 5], la tabla debe comenzar en f(0) = 5, pasar por el mínimo f(2) = 1 y terminar en f(5) = 10.

La tabla muestra de inmediato que el mínimo absoluto está en el crítico interior y el máximo absoluto en la frontera derecha.

07 · Dominios separados

Marcar discontinuidades y límites laterales

Para f(x) = x + 1/x, el dominio excluye cero. La derivada es:

Las fronteras relevantes son −1, 0 y 1. La tabla debe mantener separados (−1, 0) y (0, 1), aunque ambos sean decrecientes.

08 · Flecha continua

Un crítico puede no cambiar la variación

Para f(x) = x³, f′(0) = 0, pero la derivada es positiva a ambos lados. La tabla puede mostrar:

No debemos convertir cada cero de f′ en una cima o un valle. La flecha ascendente continúa a través del punto estacionario.

09 · Esquinas y cúspides

Usar signos aunque falte f′(c)

En f(x) = |x|, la derivada no existe en cero, pero la tabla sigue siendo clara:

El valor 0 de la función se anota en la unión y las flechas clasifican el mínimo. Una tabla de variación representa comportamiento, no únicamente derivadas existentes.

10 · Tramos planos

Representar intervalos constantes

Si f′(x) = 0 en todo un intervalo, la función es constante allí. En lugar de una flecha, usamos una línea horizontal o la palabra «constante».

Una meseta puede producir muchos máximos o mínimos locales no estrictos. La tabla debe mostrar que el valor se mantiene, no tratar el intervalo como un único punto crítico.

11 · Convenciones visuales

Usar símbolos de manera consistente

No existe una única convención universal. Toda tabla debe ser legible por sí misma o acompañarse de una leyenda.

12 · Coherencia interna

Cómo detectar una tabla incorrecta

• Una flecha ascendente debe corresponder a f′ > 0.
• Una flecha descendente debe corresponder a f′ < 0.
• Un máximo local interior debe recibir una flecha ascendente y luego descendente.
• Un mínimo debe recibir una flecha descendente y luego ascendente.
• Los valores escritos deben coincidir con la evaluación de f.
• Ninguna flecha debe atravesar una discontinuidad.

Estas reglas permiten usar la tabla como prueba cruzada de los cálculos algebraicos.

13 · Datos para otros procesos

Una tabla como estructura computacional

La representación puede almacenarse como una secuencia de segmentos. Cada segmento contiene fronteras, signo y dirección:

Visualización

Generar flechas, colores y etiquetas sobre una gráfica.

Optimización

Descartar regiones monótonas que no pueden contener un extremo interior.

Explicación automática

Producir frases como «la latencia decrece entre 10 y 25 usuarios».

Verificación

Contrastar signos calculados, candidatos y valores extremos.

Separar la tabla como datos de su representación visual permite reutilizarla en interfaces, informes y pruebas.

14 · Exploración interactiva

Laboratorio: de la gráfica a la tabla

Elegí una función. El laboratorio genera su gráfica, marca críticos o discontinuidades y construye una tabla con signos, flechas y clasificaciones.

Las líneas verticales marcan puntos críticos o discontinuidades. La tabla describe los intervalos en el mismo orden horizontal.

Preguntas para explorar

1. Compará la cúbica y la función de cuarto grado. ¿Cómo aumenta la cantidad de flechas?
2. En |x|, observá cómo la tabla representa un crítico no derivable.
3. En la función racional, verificá que cero separa dos filas aunque el signo sea negativo a ambos lados.
4. Usá solamente la tabla para anticipar la forma general de cada gráfica.

15 · Implementación

Generar filas a partir de fronteras conocidas

function crearTablaVariacion(fPrima, fronteras) {
  const filas = [];

  for (let i = 0; i < fronteras.length - 1; i++) {
    const desde = fronteras[i];
    const hasta = fronteras[i + 1];
    const muestra = (desde + hasta) / 2;
    const valor = fPrima(muestra);

    filas.push({
      intervalo: `(${desde}, ${hasta})`,
      signo: valor > 0 ? "+" : valor < 0 ? "−" : "0",
      variacion: valor > 0
        ? "creciente"
        : valor < 0 ? "decreciente" : "constante"
    });
  }
  return filas;
}

const fPrima = x => 4 * x * (x ** 2 - 1);
const filas = crearTablaVariacion(fPrima, [-3, -1, 0, 1, 3]);

for (const fila of filas) {
  console.log(fila.intervalo, fila.signo, fila.variacion);
}

Los extremos −3 y 3 delimitan una ventana finita de análisis. Las fronteras interiores provienen del cálculo previo.

Representar discontinuidades explícitamente

const segmentos = [
  { desde: "−∞", hasta: -1, signo: "+", variacion: "creciente" },
  { desde: -1, hasta: 0, signo: "−", variacion: "decreciente" },
  { separacion: 0, tipo: "fuera del dominio" },
  { desde: 0, hasta: 1, signo: "−", variacion: "decreciente" },
  { desde: 1, hasta: "∞", signo: "+", variacion: "creciente" }
];

for (const segmento of segmentos) {
  if ("separacion" in segmento) {
    console.log(`x = ${segmento.separacion}: ${segmento.tipo}`);
  } else {
    console.log(segmento);
  }
}

16 · Comprensión

Confusiones frecuentes

17 · Práctica guiada

Ejercicios de aplicación

Ejercicio 1: completar flechas

Una derivada es positiva en (−∞, 2) y negativa en (2, ∞). Construí la variación alrededor de x = 2.

Ejercicio 2: crítico sin extremo

Si f′ es negativa a ambos lados de x = 4 y f′(4) = 0, ¿cómo se representa?

Ejercicio 3: dominio separado

Una función tiene dominio (−∞, 1) ∪ (1, ∞) y derivada positiva en ambas componentes. ¿Puede escribirse que crece en todo ℝ?

Ejercicio 4: tabla restringida

Construí el esquema de variación de f(x) = (x − 1)² en [−1, 3].

Ejercicio 5: estructura de datos

¿Qué campos mínimos guardarías para representar computacionalmente un intervalo de variación?

18 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema incorporaremos la segunda derivada y el cambio de la pendiente para comenzar a estudiar la forma de la curva.