01 · Ampliar la búsqueda
No todos los extremos son estacionarios
La ecuación f′(x) = 0 detecta candidatos suaves interiores, pero una solución óptima también puede aparecer donde la derivada no existe o donde termina el dominio factible.
Una búsqueda completa debe analizar los tres grupos. En cada caso, la definición de extremo sigue siendo la misma: comparar valores permitidos, local o globalmente.
02 · Extremos del dominio
La restricción puede detener la función
Sea f(x) = x en [0, 2]. La función crece en todo el intervalo y su derivada vale 1. Sin embargo:
Frontera izquierda
f(0) = 0
Es el mínimo absoluto respecto de las entradas permitidas.
Frontera derecha
f(2) = 2
Es el máximo absoluto respecto de las entradas permitidas.
La función no se aplana. El dominio simplemente impide avanzar más allá de sus fronteras. Por eso las fronteras se evalúan aunque la derivada allí no sea cero.
03 · Comparar solo entradas válidas
Entornos relativos al dominio
En una frontera no existe un entorno bilateral completamente contenido en el dominio. La comparación se realiza con los puntos permitidos cercanos.
Para evitar diferencias terminológicas entre textos, usaremos expresiones explícitas:
- Mínimo de frontera
- El valor es menor o igual que los valores permitidos cercanos desde el lado disponible.
- Máximo de frontera
- El valor es mayor o igual que los valores permitidos cercanos desde el lado disponible.
- Extremo absoluto de frontera
- Además, domina todos los valores del dominio completo.
Esta precisión resulta especialmente útil en optimización con restricciones.
04 · Pendientes laterales finitas
Esquinas: dos pendientes diferentes
La función f(x) = |x| tiene una esquina en cero:
La derivada bilateral no existe, pero los signos indican que la función decrece antes y crece después. Por el criterio de la primera derivada, hay un mínimo local —y también absoluto— en x = 0.
Para −|x|, las pendientes laterales son 1 y −1, de modo que el origen es un máximo.
05 · Pendientes no acotadas
Cúspides: una punta todavía más pronunciada
Consideremos f(x) = |x|2/3. Para x ≠ 0, las pendientes aumentan en magnitud al acercarnos al origen:
Desde la izquierda, la pendiente tiende a −∞; desde la derecha, a +∞. No existe una derivada finita en cero, pero el patrón −→+ produce un mínimo.
06 · No todo punto vertical es extremo
Tangente vertical sin cambio de dirección
La función f(x) = ∛x tiene una tangente vertical en cero. Sus pendientes son positivas a ambos lados y crecen sin cota al acercarse al origen.
En cualquier entorno de cero hay valores menores a la izquierda y mayores a la derecha. Por lo tanto, el origen no es máximo ni mínimo.
La ausencia de derivada genera un candidato que debe analizarse, no una conclusión automática.
07 · Clasificar formas no suaves
Esquina, cúspide y tangente vertical
| Función | Pendiente izquierda | Pendiente derecha | Clasificación |
|---|---|---|---|
|x| | −1 | 1 | Mínimo con esquina |
−|x| | 1 | −1 | Máximo con esquina |
|x|2/3 | −∞ | +∞ | Mínimo con cúspide |
∛x | +∞ | +∞ | Sin extremo; tangente vertical |
La magnitud de la pendiente no clasifica el extremo. La clave sigue siendo la dirección a cada lado.
08 · Puntos ausentes y saltos
Una discontinuidad requiere otro análisis
Si c no pertenece al dominio, no puede ser una entrada maximizadora ni minimizadora. Un hueco o una asíntota divide el dominio, pero no crea un punto crítico.
Si f(c) sí está definido mediante un valor aislado o un salto, debemos compararlo directamente con los valores cercanos. Los signos de la derivada en los tramos no determinan por sí solos la posición del punto aislado.
Punto excluido
c ∉ Dom(f)
No puede ser un extremo porque no existe f(c).
Salto con valor definido
c ∈ Dom(f)
Puede ser extremo si su valor domina a los puntos permitidos cercanos.
09 · Componentes del dominio
No unir regiones separadas
Para f(x) = 1/x, el dominio es (−∞, 0) ∪ (0, ∞). Cero no es una entrada válida y separa dos componentes.
Una tabla de variación debe mantener esas componentes separadas. Aunque conozcamos los límites laterales, no existe un recorrido continuo de la función a través de cero.
10 · Fronteras no incluidas
Aproximarse no significa alcanzar
En f(x) = x sobre (0, 1], el máximo absoluto es 1 en la frontera incluida x = 1. No existe mínimo: los valores se acercan a cero, pero x = 0 está excluido.
En un modelo computacional, devolver la frontera excluida como solución sería un error de validación del dominio.
11 · Fronteras al infinito
Analizar el comportamiento no acotado
En dominios que se extienden hacia infinito, no existe un punto «infinito» que pueda evaluarse. Debemos estudiar el comportamiento de la función:
- Si
f(x) → ∞, no existe máximo absoluto en esa dirección. - Si
f(x) → −∞, no existe mínimo absoluto en esa dirección. - Si
f(x)se aproxima a una cota, debemos comprobar si esa cota se alcanza en otra entrada.
El infinito describe un proceso límite, no un candidato perteneciente al dominio real.
12 · Funciones por partes
Inspeccionar cada punto de unión
En una función por partes, todo punto de unión debe revisarse mediante una secuencia:
Una unión continua puede formar una esquina y contener un extremo. Una unión discontinua necesita comparación directa. Una fórmula que omite la entrada crea una frontera abierta, no un punto extremo.
13 · Restricciones en programación
Las fronteras factibles son parte del modelo
- Límites de memoria
- Una configuración óptima puede usar exactamente la memoria máxima permitida.
- Valores mínimos seguros
- La mejor respuesta puede encontrarse en el menor valor aceptado, aunque la derivada no sea cero.
- Funciones con penalización
- Un cambio de regla puede crear una esquina en el costo total.
- Parámetros enteros
- Las fronteras y vecinos discretos reemplazan la condición continua de derivada.
Una restricción no es un detalle posterior: modifica el dominio y, con él, la definición misma del óptimo.
14 · Exploración interactiva
Laboratorio: diferenciar casos no suaves
Reducí h para estimar pendientes laterales. Compará una esquina, una cúspide, una tangente vertical y dos extremos de frontera.
Pendientes laterales y dominio
f(x) = |x|; c = 0
La dirección cambia de decreciente a creciente.
El punto rojo es el candidato. Los puntos laterales y sus secantes muestran las direcciones disponibles dentro del dominio.
Preguntas para explorar
- Compará
|x|y−|x|. ¿Cómo se invierten las direcciones? - En la cúspide, reducí
h. ¿Qué ocurre con la magnitud de las pendientes? - En
∛x, verificá que ambas pendientes son positivas aunque crezcan sin cota. - En las fronteras, observá qué pendiente lateral no está disponible.
15 · Implementación
Representar lados ausentes y derivadas no finitas
function pendientesLaterales(f, c, h, dominio) {
const central = f(c);
const admiteIzquierda = dominio(c - h);
const admiteDerecha = dominio(c + h);
return {
izquierda: admiteIzquierda
? (central - f(c - h)) / h
: null,
derecha: admiteDerecha
? (f(c + h) - central) / h
: null
};
}
const f = x => x;
const dominio = x => x >= 0 && x <= 2;
console.log(pendientesLaterales(f, 0, 0.1, dominio));
console.log(pendientesLaterales(f, 2, 0.1, dominio));null indica que ese lado no pertenece al dominio. No debe reemplazarse por cero, porque cero representaría una pendiente horizontal válida.
Clasificar direcciones disponibles
function clasificarDirecciones(izquierda, derecha) {
if (izquierda === null && derecha !== null) {
return derecha > 0 ? "mínimo de frontera" : "máximo de frontera";
}
if (derecha === null && izquierda !== null) {
return izquierda > 0 ? "máximo de frontera" : "mínimo de frontera";
}
if (izquierda < 0 && derecha > 0) return "mínimo local";
if (izquierda > 0 && derecha < 0) return "máximo local";
return "sin extremo local";
}
console.log(clasificarDirecciones(-1, 1));
console.log(clasificarDirecciones(100, 100));
console.log(clasificarDirecciones(null, 1));16 · Comprensión
Confusiones frecuentes
«Todo extremo satisface f′ = 0»
Las fronteras, esquinas y cúspides pueden contener extremos sin derivada nula.
«Toda derivada inexistente produce un extremo»
Una tangente vertical como la de ∛x puede conservar la dirección y no producir ninguno.
«Un hueco es un punto crítico»
Si la entrada no pertenece al dominio, no existe un punto de la gráfica que pueda ser extremo.
«Una frontera excluida puede ser minimizadora»
Puede contener el ínfimo como valor límite, pero no un mínimo alcanzado.
«Infinito es una entrada que puedo evaluar»
El infinito describe comportamiento límite; no pertenece al dominio real como un número ordinario.
«null y 0 son equivalentes en el código»
null puede representar ausencia; 0 es una pendiente válida y horizontal.
17 · Práctica guiada
Ejercicios de aplicación
Ejercicio 1: esquina desplazada
Clasificá el punto no derivable de f(x) = |x − 3| + 2.
Ver solución razonada
La esquina está en x = 3. La pendiente cambia de −1 a 1, por lo que hay un mínimo local y absoluto de valor 2.
Ejercicio 2: tangente vertical
¿Tiene f(x) = ∛(x − 1) un extremo en x = 1?
Ver solución
No. La función es creciente a ambos lados de 1. Allí tiene tangente vertical, pero no cambia de dirección.
Ejercicio 3: frontera semiabierta
Determiná los extremos absolutos de f(x) = x² en (−1, 2].
Ver respuesta
El mínimo absoluto es 0 en x = 0. El máximo absoluto es 4 en x = 2. La frontera excluida −1 no puede ser optimizadora.
Ejercicio 4: punto ausente
¿Puede x = 0 ser un extremo de f(x) = 1/x²?
Ver solución
No, porque cero no pertenece al dominio. La función crece sin cota al acercarse a cero, pero no alcanza allí un máximo.
Ejercicio 5: función por partes
Una función continua tiene pendiente negativa antes de c y positiva después, pero no es derivable en c. ¿Qué puede concluirse?
Ver respuesta
El patrón −→+ permite concluir que hay un mínimo local en c. Podría tratarse de una esquina o una cúspide.
18 · Síntesis
Ideas para recordar
- Las fronteras factibles deben evaluarse aunque la derivada no sea cero.
- Una esquina tiene pendientes laterales finitas y diferentes.
- Una cúspide presenta pendientes laterales no acotadas con signos opuestos.
- Una tangente vertical no implica necesariamente un extremo.
- Los cambios
−→+y+→−siguen clasificando mínimos y máximos. - Un punto fuera del dominio nunca puede ser un extremo.
- Una frontera excluida puede determinar una cota, pero no un valor alcanzado.
- En código, los lados ausentes y las pendientes nulas necesitan representaciones distintas.
En el próximo tema organizaremos toda esta información mediante tablas de variación.