Método del intervalo cerrado

01 · Un procedimiento completo

De la garantía a la solución

El Teorema del Valor Extremo garantiza que una función continua en [a, b] alcanza máximo y mínimo absolutos. El Teorema de Fermat indica que un extremo interior derivable debe satisfacer f′(x) = 0.

El método del intervalo cerrado combina ambas ideas y agrega los puntos donde la derivada no existe:

Una vez construida una lista completa, evaluar y comparar es suficiente.

02 · Punto de partida

Cuándo se aplica el método

La versión estándar requiere:

Estas condiciones garantizan la existencia de los extremos. La función puede tener esquinas o cúspides: no necesita ser derivable en todos los puntos.

03 · Algoritmo analítico

Los cuatro pasos del método

1. Verificar las hipótesis. Comprobar que f sea continua en [a, b].
2. Encontrar críticos interiores. Resolver f′(x) = 0 y localizar puntos donde f′ no exista, conservando solo los que pertenecen a (a, b).
3. Evaluar. Calcular f en cada crítico interior y en las fronteras a y b.
4. Comparar. El mayor valor es el máximo absoluto y el menor es el mínimo absoluto.

04 · Ejemplo completo

x³ − 3x en [−2, 2]

El polinomio es continuo, así que el Teorema del Valor Extremo garantiza ambos extremos. Derivamos:

Los críticos interiores son −1 y 1. Agregamos las fronteras −2 y 2:

El valor máximo absoluto es 2, alcanzado en x = −1 y x = 2. El mínimo absoluto es −2, alcanzado en x = −2 y x = 1.

05 · Revisar el dominio

Una función racional en [0,5; 3]

Sea f(x) = x + 1/x en [0,5; 3]. La única discontinuidad de la fórmula está en cero, fuera del intervalo, por lo que f es continua en todo el dominio considerado.

Resolver f′(x) = 0 produce x = −1 y x = 1, pero solo 1 pertenece al intervalo.

La solución x = −1 de la ecuación derivada se descarta porque no pertenece al intervalo.

06 · Candidatos no estacionarios

El valor absoluto en [−2, 3]

Para f(x) = |x − 1|, la función es continua en todo ℝ, aunque no sea derivable en x = 1.

El mínimo absoluto es 0 en x = 1; el máximo absoluto es 3 en x = −2. Buscar solamente ceros de f′ habría omitido el mínimo.

07 · Filtrar soluciones

No toda raíz de f′ pertenece al problema

Una ecuación derivada puede producir:

• Soluciones fuera del intervalo [a, b].
• Valores excluidos del dominio original.
• Fronteras, que ya se evalúan por separado.
• Soluciones introducidas al elevar al cuadrado o transformar una ecuación.

Cada candidato debe comprobarse en la función original y en las restricciones del problema.

08 · Resultados compartidos

No detenerse en el primer extremo

Varias entradas pueden producir el mismo valor máximo o mínimo. Un algoritmo que solo conserva el primer resultado pierde soluciones equivalentes.

Por ejemplo, f(x) = x² en [−2, 2] tiene mínimo absoluto 0 en x = 0 y máximo absoluto 4 en x = −2 y x = 2.

Al trabajar con punto flotante, los empates se comparan mediante una tolerancia en lugar de exigir igualdad exacta.

09 · Exacto y aproximado

Conservar expresiones antes de redondear

Cuando los candidatos contienen raíces, logaritmos o valores trigonométricos, conviene evaluar de forma exacta mientras sea posible. Por ejemplo, 10/3 comunica más información que 3,33.

Resultado exacto

Permite comparar simbólicamente y evita acumular redondeos.

Aproximación decimal

Facilita interpretar y mostrar el resultado con una precisión indicada.

Una presentación completa puede informar ambos: máximo = 10/3 ≈ 3,333.

10 · Funciones por partes

Las uniones también deben inspeccionarse

En una función por partes, los puntos donde cambia la fórmula pueden ser no derivables aunque la función sea continua. Deben agregarse como candidatos interiores.

Antes de aplicar el método:

1. Comprobar continuidad en cada unión.
2. Calcular críticos dentro de cada tramo.
3. Agregar las uniones interiores.
4. Agregar las fronteras del intervalo completo.

Si existe un salto dentro de [a, b], el Teorema del Valor Extremo ya no ofrece la garantía estándar y el problema requiere análisis específico.

11 · Límites del método

Intervalos abiertos, infinitos y discontinuidades

La receta no debe aplicarse mecánicamente fuera de sus condiciones:

Estos casos no significan que no haya extremos; significan que necesitamos otro razonamiento.

12 · Control de calidad

Cómo revisar una solución

• ¿Se declaró el intervalo y se comprobó continuidad?
• ¿Se resolvió f′ = 0 sin perder ni agregar soluciones?
• ¿Se incluyeron puntos interiores donde f′ no existe?
• ¿Se descartaron candidatos fuera de (a, b)?
• ¿Se evaluaron las dos fronteras?
• ¿Se conservaron todos los empates?
• ¿La respuesta distingue entradas optimizadoras de valores extremos?

Una tabla de candidatos responde visualmente casi todas estas preguntas.

13 · Modelos computacionales

Convertir una búsqueda continua en una lista finita

El método reduce un continuo de entradas a un conjunto finito de puntos matemáticamente justificados.

Rendimiento

Comparar configuraciones interiores estacionarias con límites seguros del parámetro.

Diseño

Evaluar dimensiones críticas y restricciones físicas extremas.

Simulación

Buscar valores máximos y mínimos durante un intervalo temporal cerrado.

Costos

Comparar niveles críticos de producción con capacidades mínima y máxima.

En modelos discretos se evalúan todas las opciones factibles; en modelos continuos, las derivadas permiten reducir la lista.

14 · Exploración interactiva

Laboratorio: construir la tabla de candidatos

Elegí una función y modificá las fronteras. El laboratorio filtra los críticos interiores, agrega los extremos del intervalo y destaca todos los maximizadores y minimizadores.

La zona sombreada representa el intervalo cerrado. Los candidatos aparecen sobre la curva; verde señala mínimos absolutos y rojo máximos absolutos.

Preguntas para explorar

1. En la cúbica, estrechá el intervalo hasta excluir uno de los puntos críticos. ¿Cómo cambia la lista?
2. En x², elegí un intervalo que no contenga cero. ¿En qué frontera queda el mínimo?
3. En |x − 1|, verificá que la esquina se agrega como candidato no derivable.
4. En sen(x), ampliá el intervalo para incluir más de un extremo con el mismo valor.

15 · Implementación

Programar el método con candidatos conocidos

function metodoIntervaloCerrado(f, a, b, criticos, tolerancia = 1e-9) {
  if (!Number.isFinite(a) || !Number.isFinite(b) || a >= b) {
    throw new RangeError("Se requiere un intervalo finito con a < b");
  }

  const interiores = criticos.filter(x => x > a && x < b);
  const candidatos = [...new Set([a, ...interiores, b])];
  const puntos = candidatos.map(x => ({ x, y: f(x) }));

  if (puntos.some(punto => !Number.isFinite(punto.y))) {
    throw new Error("La función debe estar definida en cada candidato");
  }

  const valorMinimo = Math.min(...puntos.map(punto => punto.y));
  const valorMaximo = Math.max(...puntos.map(punto => punto.y));

  return {
    puntos,
    minimos: puntos.filter(p => Math.abs(p.y - valorMinimo) <= tolerancia),
    maximos: puntos.filter(p => Math.abs(p.y - valorMaximo) <= tolerancia)
  };
}

const f = x => x ** 3 - 3 * x;
console.log(metodoIntervaloCerrado(f, -2, 2, [-1, 1]));

Separar generación y evaluación

function filtrarCandidatos(criticos, a, b) {
  return criticos
    .filter(Number.isFinite)
    .filter(x => x > a && x < b)
    .sort((x, y) => x - y);
}

const solucionesDeLaDerivada = [-4, -1, 1, 5];
const interiores = filtrarCandidatos(solucionesDeLaDerivada, -2, 2);
const candidatos = [-2, ...interiores, 2];

for (const x of candidatos) {
  console.log(`x = ${x}; f(x) = ${x ** 3 - 3 * x}`);
}

16 · Comprensión

Confusiones frecuentes

17 · Práctica guiada

Ejercicios de aplicación

Ejercicio 1: parábola

Aplicá el método a f(x) = x² − 4x + 1 en [0, 5].

Ejercicio 2: función trigonométrica

Encontrá los extremos absolutos de f(x) = cos(x) en [0, 2π].

Ejercicio 3: crítico fuera del intervalo

Para f(x) = (x − 5)² en [0, 3], ¿qué candidatos se evalúan?

Ejercicio 4: esquina interior

Aplicá el método a f(x) = |x + 1| en [−3, 2].

Ejercicio 5: detectar una omisión

Una solución evalúa todos los ceros de f′ en (a, b) y la frontera a, pero no b. ¿Puede ser correcta?

18 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema estudiaremos con mayor profundidad los extremos del dominio y los casos no derivables.