Criterio de la primera derivada

01 · De candidato a extremo

La dirección antes y después decide

Resolver f′(x) = 0 o localizar puntos donde la derivada no existe produce candidatos. Para saber qué ocurre en cada uno, observamos la dirección de la función a la izquierda y a la derecha.

02 · Enunciado del criterio

Tres patrones de signos

Supongamos que f es continua en c y derivable en intervalos inmediatamente a la izquierda y a la derecha de c. Entonces:

El criterio funciona tanto si f′(c) = 0 como si la derivada no existe en c, siempre que la función sea continua allí y podamos determinar los signos vecinos.

03 · Método paso a paso

Construir y leer una tabla de signos

1. Determinar el dominio de f.
2. Calcular f′ y encontrar los números críticos.
3. Agregar discontinuidades y otras fronteras que dividen el dominio.
4. Elegir un punto de prueba en cada intervalo resultante.
5. Registrar el signo de f′ y la dirección de f.
6. Comparar los signos inmediatamente anteriores y posteriores a cada crítico.

La tabla completa evita clasificar un punto usando un único valor de la derivada.

04 · Ejemplo con dos candidatos

Clasificar los extremos de x³ − 3x

Sea:

Los números críticos son −1 y 1. La tabla de signos queda:

En x = −1, el signo cambia de positivo a negativo: hay un máximo local, de valor f(−1) = 2. En x = 1, cambia de negativo a positivo: hay un mínimo local, de valor f(1) = −2.

05 · Candidato no clasificado como extremo

Cuando el signo se conserva

Para f(x) = x³, la derivada es f′(x) = 3x². Se anula en cero, pero es positiva a ambos lados:

La función crece antes y después del origen. El punto es estacionario, pero no es máximo ni mínimo local.

06 · Lectura algebraica

La multiplicidad anticipa cambios de signo

Cuando f′ está factorizada, la potencia de cada factor aporta información:

Raíz de multiplicidad impar

El factor cambia de signo al atravesar la raíz; el producto suele cambiar si los demás factores no se anulan.

Raíz de multiplicidad par

El factor conserva su signo; la derivada puede tocar cero sin cambiar la dirección de la función.

Por ejemplo, f′(x) = (x − 2)²(x + 1) cambia de signo en −1, pero no en 2. De todos modos, una tabla de signos es la comprobación más segura.

07 · Esquinas y cúspides

El criterio no exige f′(c) = 0

Para f(x) = |x|, la derivada vale −1 cuando x < 0 y 1 cuando x > 0. En cero no existe.

La función decrece hasta la esquina y luego crece. El criterio clasifica correctamente el mínimo aunque el candidato no sea estacionario.

Para −|x|, los signos son + → − y el origen es un máximo local.

08 · Una condición necesaria para la lectura

No atravesar discontinuidades como si fueran puntos críticos

Una discontinuidad divide el dominio, pero no forma un punto de la gráfica si la función no está definida allí. Aunque los signos a ambos lados parezcan formar uno de los patrones, no podemos declarar un extremo en una entrada ausente.

Incluso si la función está definida con un salto, la idea «crece hasta c y decrece después» no basta sin comparar el valor aislado f(c). La versión habitual del criterio supone continuidad en el candidato.

09 · Extremos del dominio

En una frontera solo existe un lado

El criterio bilateral compara un intervalo izquierdo con uno derecho. En una frontera del dominio falta uno de esos lados, por lo que no usamos los patrones +→− o −→+.

Las fronteras se evalúan directamente respecto del dominio. Por ejemplo, f(x) = x en [0, 2] tiene un mínimo de frontera en cero y un máximo de frontera en dos, aunque f′ = 1 en el interior.

10 · Varios cambios de dirección

Clasificar tres puntos críticos

Consideremos:

Los mínimos locales tienen valor −1 y el máximo local central tiene valor 0.

11 · Desde el gráfico de f′

Cruzar el eje indica un cambio de dirección

Si disponemos de la gráfica de la derivada:

• Un cruce de arriba hacia abajo del eje horizontal corresponde a +→− y produce un máximo local de f.
• Un cruce de abajo hacia arriba corresponde a −→+ y produce un mínimo local.
• Si f′ toca el eje y regresa al mismo lado, no cambia la monotonía de f.

Observamos la posición de f′ respecto del eje, no si la propia derivada está creciendo o decreciendo.

12 · Evaluación numérica

Elegir puntos de prueba sin quedar demasiado cerca

En cálculos computacionales, evaluar exactamente en c no sirve para conocer los lados: allí la derivada puede valer cero o no existir. Elegimos c − ε y c + ε.

Un ε demasiado grande puede atravesar otro punto crítico. Uno demasiado pequeño puede amplificar errores de redondeo o caer dentro de una tolerancia numérica. Debe elegirse dentro de los intervalos vecinos ya identificados.

13 · Interpretación aplicada

Qué significa cambiar de dirección en un modelo

Latencia

Un cambio −→+ identifica una configuración con latencia localmente mínima.

Beneficio

Un cambio +→− señala un nivel de producción con beneficio localmente máximo.

Error

Un cambio de descenso a ascenso marca una configuración candidata estable.

Posición

Los cambios de signo de la velocidad indican cambios de dirección del movimiento.

La etiqueta «máximo» o «mínimo» se refiere a la función elegida. Minimizar error puede ser deseable; maximizar latencia, generalmente no.

14 · Exploración interactiva

Laboratorio: mirar a ambos lados

Seleccioná una función y uno de sus candidatos. El laboratorio evalúa f′(c − ε) y f′(c + ε), colorea las regiones y propone la clasificación.

El panel superior muestra la función. El inferior muestra la derivada y las regiones positivas y negativas separadas por los candidatos.

Preguntas para explorar

1. En la cúbica, alterná entre c = −1 y c = 1. ¿Cómo se invierte el patrón?
2. En la función de cuarto grado, clasificá los tres candidatos.
3. En x³, modificá ε. ¿Por qué ambos signos permanecen positivos?
4. En |x|, observá que el criterio funciona aunque f′(0) no exista.

15 · Implementación

Clasificar un candidato con signos laterales

function signo(valor, tolerancia = 1e-9) {
  if (!Number.isFinite(valor)) return null;
  if (Math.abs(valor) <= tolerancia) return 0;
  return valor > 0 ? 1 : -1;
}

function criterioPrimeraDerivada(fPrima, c, epsilon) {
  const izquierda = signo(fPrima(c - epsilon));
  const derecha = signo(fPrima(c + epsilon));

  if (izquierda === 1 && derecha === -1) return "máximo local";
  if (izquierda === -1 && derecha === 1) return "mínimo local";
  if (izquierda === derecha && izquierda !== null) return "sin extremo local";
  return "resultado no concluyente";
}

const fPrima = x => 3 * x ** 2 - 3;

console.log(criterioPrimeraDerivada(fPrima, -1, 0.2));
console.log(criterioPrimeraDerivada(fPrima, 1, 0.2));

Clasificar varios candidatos

function clasificarCandidatos(fPrima, candidatos) {
  return candidatos.map((c, indice) => {
    const anterior = indice === 0 ? c - 1 : candidatos[indice - 1];
    const siguiente = indice === candidatos.length - 1
      ? c + 1
      : candidatos[indice + 1];
    const izquierda = fPrima((anterior + c) / 2);
    const derecha = fPrima((c + siguiente) / 2);

    let tipo = "sin extremo";
    if (izquierda > 0 && derecha < 0) tipo = "máximo local";
    if (izquierda < 0 && derecha > 0) tipo = "mínimo local";

    return { c, izquierda: Math.sign(izquierda), derecha: Math.sign(derecha), tipo };
  });
}

const derivada = x => 4 * x * (x ** 2 - 1);
const resultados = clasificarCandidatos(derivada, [-1, 0, 1]);

for (const resultado of resultados) {
  console.log(resultado);
}

16 · Comprensión

Confusiones frecuentes

17 · Práctica guiada

Ejercicios de aplicación

Ejercicio 1: interpretar una tabla

La derivada es negativa en (−∞, 2) y positiva en (2, ∞). Clasificá x = 2.

Ejercicio 2: máximo local

Para f(x) = −x³ + 3x, encontrá y clasificá sus puntos críticos.

Ejercicio 3: raíz repetida

Si f′(x) = (x − 3)², ¿qué clasificación recibe x = 3?

Ejercicio 4: punto no derivable

La derivada de una función continua es negativa para x < 0, no existe en cero y es positiva para x > 0. ¿Qué ocurre en cero?

Ejercicio 5: revisar una conclusión

Un programa evalúa f′(c − 0,1) > 0 y anuncia «máximo». ¿Qué dato falta?

18 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema combinaremos la garantía de existencia con la evaluación de candidatos mediante el método del intervalo cerrado.