Criterio de la segunda derivada

01 · Una clasificación rápida

La curvatura alrededor de un punto estacionario

Cuando f′(c) = 0, la gráfica tiene una tangente horizontal. Ese punto puede ser un máximo, un mínimo o ninguno de los dos.

La segunda derivada permite clasificar muchos de estos casos sin construir una tabla completa del signo de f′: si la curva se abre hacia arriba, el punto estacionario queda en el fondo; si se abre hacia abajo, queda en la cima.

02 · Enunciado del criterio

Positiva: mínimo; negativa: máximo

Supongamos que f′(c) = 0 y que f″ existe y mantiene el comportamiento adecuado alrededor de c. Entonces:

03 · Por qué funciona

Observar cómo cruza cero la primera derivada

Si f″(c) > 0, la primera derivada está aumentando cerca de c. Como f′(c) = 0, normalmente pasa de negativa a positiva:

La función pasa de decrecer a crecer, por lo que aparece un mínimo local.

Si f″(c) < 0, f′ disminuye y cruza de positiva a negativa. La función pasa de crecer a decrecer, produciendo un máximo local.

04 · Antes de aplicarlo

Comprobar las condiciones

• El candidato c debe pertenecer al dominio de f.
• Debe cumplirse f′(c) = 0; el criterio clasifica puntos estacionarios.
• f″(c) debe existir para aplicar esta versión del criterio.
• El signo obtenido debe ser estrictamente positivo o negativo.
• La conclusión es local, no necesariamente absoluta.

05 · Método paso a paso

Clasificar todos los puntos estacionarios

1. Calcular f′(x).
2. Resolver f′(x) = 0 dentro del dominio.
3. Calcular f″(x).
4. Evaluar f″(c) en cada solución.
5. Si el resultado es positivo, registrar un mínimo local.
6. Si es negativo, registrar un máximo local.
7. Si es cero o no existe, informar que este criterio no decide.
8. Evaluar f(c) para escribir las coordenadas del extremo.

Conviene conservar una tabla con candidato, valor de la función, valor de la segunda derivada y conclusión.

06 · Ejemplo de mínimo

Una parábola abierta hacia arriba

Sea f(x) = x² − 4x + 7.

Al resolver 2x − 4 = 0, obtenemos c = 2. Como f″(2) = 2 > 0, hay un mínimo local.

Finalmente, f(2) = 3. El mínimo local está en (2, 3). En este caso también es absoluto porque la parábola crece sin límite hacia ambos extremos.

07 · Ejemplo de máximo

Una parábola abierta hacia abajo

Sea g(x) = −2x² + 8x − 3.

La ecuación g′(x) = 0 produce c = 2. Como g″(2) = −4 < 0, hay un máximo local.

Al evaluar, g(2) = 5. El máximo está en (2, 5).

08 · Varios puntos estacionarios

Clasificar uno por uno

Analicemos f(x) = x³ − 3x:

Una misma función puede tener puntos estacionarios de distinto tipo. Cada uno requiere su propia evaluación.

09 · Resultado no concluyente

Qué significa f″(c) = 0

Si f′(c) = 0 y f″(c) = 0, el criterio de la segunda derivada no decide. Pueden ocurrir resultados diferentes:

Por eso «cero» no debe traducirse como «no hay extremo». Solo obliga a usar otro método, que desarrollaremos en el tema siguiente.

10 · Condición omitida

f″(c) positiva no basta

Para f(x) = x² + x, se cumple f″(x) = 2 > 0 en todo punto. Sin embargo, x = 0 no es un mínimo porque f′(0) = 1.

La función es cóncava hacia arriba en cero, pero la tangente todavía tiene pendiente positiva. El mínimo aparece en x = −1/2, donde sí se cumple f′(−1/2) = 0.

11 · Alcance de la conclusión

El criterio produce extremos locales

Un mínimo local es menor que los valores suficientemente cercanos; un máximo local es mayor que sus vecinos. El criterio de la segunda derivada no compara automáticamente el punto con todo el dominio.

Para afirmar que un extremo es absoluto, hace falta información adicional:

• el dominio completo;
• los extremos de un intervalo cerrado, si existen;
• el comportamiento de la función lejos del candidato;
• la comparación de todos los valores candidatos.

Una clasificación local puede coincidir con la absoluta, como en una parábola, pero no debemos asumirlo sin justificarlo.

12 · Extremos de dominio

Los extremos de un intervalo se estudian aparte

En un intervalo como [a, b], la función puede alcanzar su máximo o mínimo absoluto en a o b. Allí no hay un entorno abierto completo dentro del dominio.

El criterio de la segunda derivada está diseñado para puntos interiores estacionarios. No descarta ni clasifica por sí solo los extremos del intervalo.

Cuando el problema pide extremos absolutos en un intervalo cerrado, debemos comparar:

13 · Mirada computacional

Qué representa la clasificación

Costo

Un punto estacionario con segunda derivada positiva puede representar un costo localmente mínimo.

Beneficio

Una segunda derivada negativa en el punto estacionario puede confirmar un beneficio localmente máximo.

Pérdida de un modelo

La curvatura positiva alrededor de un punto estacionario describe un valle local.

Rendimiento

La curvatura negativa puede describir una cima, aunque todavía debe compararse con otras configuraciones.

El adjetivo «local» es importante en software: un algoritmo puede encontrar una solución mejor que sus vecinas sin encontrar la mejor de todas.

14 · Exploración interactiva

Laboratorio: evaluar y clasificar un candidato

Elegí una función. El laboratorio evalúa la primera y la segunda derivada en el candidato marcado y muestra exactamente qué puede concluir el criterio.

La gráfica, su tangente en el candidato y el punto evaluado muestran visualmente la clasificación obtenida.

Preguntas para explorar

1. Compará las dos parábolas: ¿qué dato permanece igual y cuál cambia de signo?
2. ¿Por qué el criterio devuelve la misma respuesta «no concluyente» para x³ y x⁴, aunque sus formas sean diferentes?
3. En el último modelo, ¿qué condición falla antes de mirar f″?
4. Modificá la escala: ¿cambia la clasificación matemática?

15 · Implementación

Codificar el criterio sin forzar conclusiones

function criterioSegundaDerivada(primera, segunda, c, tolerancia = 1e-9) {
  const d1 = primera(c);
  const d2 = segunda(c);

  if (!Number.isFinite(d1) || !Number.isFinite(d2)) {
    return "el criterio no puede aplicarse";
  }
  if (Math.abs(d1) > tolerancia) {
    return "no es un punto estacionario";
  }
  if (d2 > tolerancia) return "mínimo local";
  if (d2 < -tolerancia) return "máximo local";
  return "criterio no concluyente";
}

const primera = x => 3 * x ** 2 - 3;
const segunda = x => 6 * x;

for (const c of [-1, 1]) {
  console.log(c, criterioSegundaDerivada(primera, segunda, c));
}

Clasificar una lista de candidatos

function clasificarCandidatos(f, primera, segunda, candidatos) {
  return candidatos.map(c => {
    const curvatura = segunda(c);
    let tipo = "no concluyente";

    if (Math.abs(primera(c)) > 1e-9) tipo = "no estacionario";
    else if (curvatura > 1e-9) tipo = "mínimo local";
    else if (curvatura < -1e-9) tipo = "máximo local";

    return { x: c, y: f(c), curvatura, tipo };
  });
}

const f = x => x ** 3 - 3 * x;
const primera = x => 3 * x ** 2 - 3;
const segunda = x => 6 * x;

for (const resultado of clasificarCandidatos(f, primera, segunda, [-1, 1])) {
  console.log(resultado);
}

16 · Comprensión

Confusiones frecuentes

17 · Práctica guiada

Ejercicios de aplicación

Ejercicio 1: mínimo cuadrático

Clasificá el punto estacionario de f(x) = 3x² + 12x + 5.

Ejercicio 2: máximo cuadrático

Clasificá el punto estacionario de g(x) = −x² + 6x − 4.

Ejercicio 3: dos candidatos

Para f(x) = x³ − 12x, clasificá sus puntos estacionarios.

Ejercicio 4: condición faltante

En c = 1 se tiene f′(1) = 4 y f″(1) = −3. ¿Hay un máximo?

Ejercicio 5: resultado nulo

Si f′(2) = 0 y f″(2) = 0, ¿qué puede concluirse?

18 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema veremos cómo resolver los casos en que el criterio de la segunda derivada no decide.