Cuando el criterio de la segunda derivada no decide

01 · No concluyente no significa imposible

El análisis continúa

El criterio de la segunda derivada clasifica un punto estacionario cuando f″(c) es estrictamente positiva o negativa. Si vale cero o no existe, el criterio simplemente deja de proporcionar una respuesta.

Eso no demuestra que el punto sea o no sea un extremo. Debemos regresar al comportamiento esencial: ¿la función crece o decrece a cada lado?

02 · Tres resultados posibles

Las mismas derivadas en el punto, formas diferentes

En c = 0, las funciones x⁴, −x⁴ y x³ cumplen f′(0) = 0 y f″(0) = 0. Sin embargo:

Los valores de las derivadas en el punto coinciden; lo que diferencia los casos es el signo de f′ alrededor.

03 · Herramienta principal

Criterio de la primera derivada

Sea c un punto crítico interior del dominio. Estudiamos el signo de f′ inmediatamente a izquierda y derecha:

Este criterio también funciona cuando f′(c) no existe, siempre que f(c) exista y podamos analizar los intervalos laterales.

04 · Método paso a paso

Qué hacer cuando f″ no decide

1. Confirmar que c pertenezca al dominio de f.
2. Calcular y factorizar f′(x).
3. Ubicar todos los puntos críticos, no solo el candidato actual.
4. Dividir el dominio en intervalos.
5. Determinar el signo de f′ a ambos lados de c.
6. Traducir el cambio de signo a crecimiento o decrecimiento.
7. Clasificar el punto y calcular f(c).

Si factorizar no resulta práctico, se puede elegir un punto de prueba dentro de cada intervalo y evaluar allí la derivada.

05 · Mínimo plano

f(x) = x⁴

En cero, ambas derivadas valen cero. Para x < 0, 4x³ < 0; para x > 0, 4x³ > 0.

El signo de f′ cambia de negativo a positivo, por lo que (0, 0) es un mínimo local. La gráfica es más plana cerca del mínimo que una parábola.

06 · Máximo plano

f(x) = −x⁴

Si x < 0, la primera derivada es positiva; si x > 0, es negativa.

El cambio de positivo a negativo confirma un máximo local en (0, 0), aunque f″(0) = 0.

07 · Punto estacionario sin extremo

f(x) = x³

La derivada vale cero en el origen, pero es positiva a ambos lados. La función crece antes y después del punto.

Como f′ no cambia de signo, (0, 0) no es máximo ni mínimo. Es un punto estacionario de inflexión.

08 · Factorización y multiplicidad

Cuándo un factor cambia de signo

Si la primera derivada contiene un factor (x − c)ⁿ, la paridad de n ayuda a anticipar el comportamiento:

Hay que considerar también los demás factores de f′, cuyo signo puede modificar la conclusión.

09 · Ejemplo con varios candidatos

f(x) = x⁵ − 5x⁴

Los puntos estacionarios son x = 0 y x = 4. La tabla de signos de f′ es:

En x = 0 hay un máximo local (0, 0). En x = 4 hay un mínimo local (4, −256). El primer punto es un caso donde f″(0) = 0.

10 · Punto crítico no estacionario

Cuando f′(c) no existe

La función f(x) = |x| no tiene derivada en cero. Aun así:

La función decrece y luego crece, por lo que (0, 0) es un mínimo local. Para −|x|, los signos se invierten y aparece un máximo local.

El criterio de signos de f′ abarca así más casos que el criterio de la segunda derivada.

11 · Método alternativo

Comparar f(x) con f(c)

A veces es más sencillo estudiar directamente la diferencia f(x) − f(c) cerca del candidato:

• si f(x) − f(c) ≥ 0 para todo x cercano, hay un mínimo local;
• si f(x) − f(c) ≤ 0, hay un máximo local;
• si toma ambos signos arbitrariamente cerca, no hay extremo.

Para f(x) = x⁴ y c = 0, la diferencia es x⁴ ≥ 0, lo que confirma el mínimo de forma inmediata.

Para x³, la diferencia x³ cambia de signo, así que no hay extremo.

12 · Derivadas sucesivas

Una regla complementaria para funciones suaves

Si las primeras derivadas se anulan en c, podemos buscar la primera derivada de orden superior que no sea cero. Sea n ese orden:

• si n es par y el valor es positivo, hay un mínimo local;
• si n es par y el valor es negativo, hay un máximo local;
• si n es impar, no hay máximo ni mínimo.

En x⁴, la primera derivada no nula en cero es la cuarta y vale 24 > 0: mínimo. En x³, es la tercera y vale 6: no hay extremo.

13 · Mirada computacional

Zonas planas y decisiones numéricas

Funciones de pérdida

Un mínimo muy plano puede producir derivadas pequeñas en una región amplia.

Animaciones

Un extremo plano permite detener y reiniciar movimientos de forma suave.

Métricas

Una pendiente casi nula no demuestra por sí sola que la métrica haya alcanzado un máximo.

Precisión

El redondeo puede hacer que una derivada pequeña parezca cero; hay que examinar valores vecinos.

En datos computacionales conviene hablar de tolerancias y vecindades, no de igualdad exacta, y separar la evidencia numérica de la demostración algebraica.

14 · Exploración interactiva

Laboratorio: mirar a ambos lados del punto crítico

Elegí un modelo y modificá la distancia h. El laboratorio evalúa f′(c − h) y f′(c + h) para clasificar el punto crítico.

La curva y dos puntos laterales muestran el comportamiento a ambos lados de cero. Las flechas representan crecimiento o decrecimiento.

Preguntas para explorar

1. Compará x⁴ y −x⁴: ¿cómo se invierten los signos?
2. ¿Qué comparten x³ y x⁵ alrededor de cero?
3. ¿Por qué |x| puede clasificarse aunque f′(0) no exista?
4. Reducí h. ¿La clasificación se mantiene?

15 · Implementación

Clasificar por signos laterales

function signo(valor, tolerancia = 1e-9) {
  if (valor > tolerancia) return 1;
  if (valor < -tolerancia) return -1;
  return 0;
}

function clasificarPorPrimera(primera, c, paso = 0.01) {
  const izquierda = signo(primera(c - paso));
  const derecha = signo(primera(c + paso));

  if (izquierda === -1 && derecha === 1) return "mínimo local";
  if (izquierda === 1 && derecha === -1) return "máximo local";
  if (izquierda === derecha && izquierda !== 0) return "no es extremo";
  return "se requieren más puntos de prueba";
}

const modelos = [
  { nombre: "x^4", primera: x => 4 * x ** 3 },
  { nombre: "-x^4", primera: x => -4 * x ** 3 },
  { nombre: "x^3", primera: x => 3 * x ** 2 }
];

for (const modelo of modelos) {
  console.log(modelo.nombre, clasificarPorPrimera(modelo.primera, 0));
}

Comparar valores en una vecindad

function compararVecindad(f, c, pasos) {
  const centro = f(c);
  let hayMenores = false;
  let hayMayores = false;

  for (const paso of pasos) {
    for (const x of [c - paso, c + paso]) {
      if (f(x) < centro) hayMenores = true;
      if (f(x) > centro) hayMayores = true;
    }
  }

  if (!hayMenores && hayMayores) return "mínimo local compatible";
  if (hayMenores && !hayMayores) return "máximo local compatible";
  if (hayMenores && hayMayores) return "no parece un extremo";
  return "muestras insuficientes";
}

const pasos = [1, 0.5, 0.1, 0.01];
console.log(compararVecindad(x => x ** 4, 0, pasos));
console.log(compararVecindad(x => x ** 3, 0, pasos));

16 · Comprensión

Confusiones frecuentes

17 · Práctica guiada

Ejercicios de aplicación

Ejercicio 1: potencia par

Clasificá el origen para f(x) = x⁶.

Ejercicio 2: potencia impar

Clasificá el origen para f(x) = x⁵.

Ejercicio 3: signo invertido

¿Qué ocurre en el origen para f(x) = −x⁶?

Ejercicio 4: factorizar

Clasificá x = 0 para una función cuya derivada es f′(x) = x²(x − 3).

Ejercicio 5: esquina

Clasificá el origen de f(x) = −|x|.

18 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema reuniremos valor, monotonía, extremos, concavidad e inflexiones en una tabla conjunta de f, f′ y f″.