Tabla conjunta de f, f′ y f″

01 · Una vista unificada

De resultados aislados a una historia completa

Una tabla de signos de f′ informa crecimiento y extremos. Otra tabla para f″ informa concavidad y posibles inflexiones. Si ambas se construyen por separado, es fácil olvidar una frontera o relacionar mal los intervalos.

La tabla conjunta utiliza una misma partición del dominio y organiza toda la información en filas coordinadas.

02 · Tres niveles de información

Qué aporta cada función

La tabla no sustituye el razonamiento. Es una estructura para que cada conclusión pueda rastrearse hasta un signo o valor concreto.

03 · La partición común

Reunir todas las fronteras

La recta real debe dividirse usando la unión de:

• puntos donde f′(x) = 0;
• puntos del dominio donde f′ no existe;
• puntos donde f″(x) = 0;
• puntos donde f″ no existe;
• discontinuidades y fronteras del dominio de f.

Después se eliminan duplicados y se ordenan. Si un valor aparece en varias categorías, ocupa una sola columna, pero conserva todas sus posibles funciones.

04 · Diseño de la tabla

Intervalos y puntos especiales

Una tabla clara alterna intervalos abiertos con puntos frontera:

El signo se asigna a intervalos, mientras que máximos, mínimos e inflexiones se asignan a puntos de la gráfica.

05 · Método sistemático

Cómo construir la tabla conjunta

1. Determinar el dominio de f.
2. Calcular f′ y f″.
3. Obtener todas las fronteras relevantes.
4. Ordenarlas y dividir el dominio.
5. Determinar el signo de f′ en cada intervalo.
6. Determinar el signo de f″ en esos mismos intervalos.
7. Traducir los signos a monotonía y concavidad.
8. Clasificar cada frontera mediante los cambios laterales.
9. Evaluar f en los puntos que pertenecen al dominio.
10. Redactar una descripción y preparar el bosquejo.

06 · Ejemplo completo

Preparar f(x) = x³ − 3x

La primera derivada se anula en x = −1 y x = 1. La segunda se anula en x = 0. La lista conjunta de fronteras es:

Estos valores crean cuatro intervalos: (−∞, −1), (−1, 0), (0, 1) y (1, ∞).

07 · Tabla completa

Signos, forma y eventos en una representación

Cada evento queda respaldado por un cambio: el máximo y el mínimo por f′; la inflexión por f″.

08 · Convertir la tabla en texto

Describir la curva sin ambigüedad

A partir de la tabla anterior podemos afirmar:

• f crece en (−∞, −1) y (1, ∞);
• decrece en (−1, 1);
• tiene un máximo local en (−1, 2) y un mínimo local en (1, −2);
• es cóncava hacia abajo en (−∞, 0);
• es cóncava hacia arriba en (0, ∞);
• tiene un punto de inflexión en (0, 0).

Un intervalo puede fusionarse al redactar si una propiedad no cambia en una frontera intermedia. Por ejemplo, el decrecimiento abarca desde −1 hasta 1, aunque cero divida la concavidad.

09 · Una frontera, varias preguntas

Cuando f′ y f″ se anulan en el mismo valor

En f(x) = x⁴, tanto f′(0) como f″(0) valen cero. La frontera debe aparecer una sola vez, pero analizamos ambos signos:

• f′(x) = 4x³ cambia de negativo a positivo: mínimo local;
• f″(x) = 12x² permanece positiva: no hay inflexión.

Un mismo punto puede participar en varias pruebas y producir conclusiones distintas. No debemos inferir el comportamiento de f″ a partir del cambio de f′, ni al revés.

10 · Cortes del dominio

Las discontinuidades también separan intervalos

Para f(x) = 1/x, el valor cero divide el dominio. La función decrece en ambas ramas porque f′(x) = −1/x² < 0, pero no podemos unirlas en un único intervalo de decrecimiento que atraviese cero.

Además, f″(x) = 2/x³ cambia de signo entre las ramas. Aun así, cero no es un punto de inflexión porque f(0) no existe.

11 · Signos eficientes

Factorización o puntos de prueba

Para completar las filas de signos podemos:

Factorizar

Analizar el signo de cada factor y su multiplicidad.

Probar

Elegir una entrada dentro de cada intervalo y evaluar la derivada.

Combinar

Usar la estructura algebraica para reducir evaluaciones y comprobar con una muestra.

Un punto de prueba representa todo el intervalo únicamente cuando sabemos que no hay otras raíces, discontinuidades o cambios de fórmula dentro de él.

12 · De la tabla al gráfico

Ordenar las restricciones del bosquejo

1. Marcar los puntos conocidos de f.
2. Ubicar máximos, mínimos e inflexiones.
3. Respetar crecimiento o decrecimiento en cada intervalo.
4. Curvar cada tramo según el signo de f″.
5. No atravesar discontinuidades como si fueran puntos.
6. Revisar que las conexiones concuerden con los valores frontera.

La tabla no determina cada píxel del dibujo, pero sí impone una estructura que cualquier bosquejo correcto debe respetar.

13 · Mirada computacional

Modelar el análisis como datos

En un programa, cada intervalo puede representarse mediante un objeto:

Y cada frontera mediante otro:

Separar intervalos de fronteras evita mezclar propiedades. También facilita generar una tabla HTML, producir una descripción textual o verificar un bosquejo desde la misma estructura de datos.

14 · Exploración interactiva

Laboratorio: f, f′ y f″ sincronizadas

Seleccioná una función y desplazá la entrada. Los tres paneles comparten la misma coordenada horizontal para conectar altura, pendiente y cambio de pendiente.

Los paneles muestran f, f prima y f segunda. Una guía vertical y tres marcadores relacionan sus valores en la entrada elegida.

Preguntas para explorar

1. En la cúbica, visitá x = −1, 0 y 1. ¿Qué función se anula en cada caso?
2. En la cuadrática, ¿qué permanece constante en el tercer panel?
3. En la cuártica, buscá sus tres puntos estacionarios y compará la concavidad.
4. ¿Puede la función decrecer y ser cóncava hacia arriba al mismo tiempo?

15 · Implementación

Construir filas de intervalos

function signo(valor, tolerancia = 1e-9) {
  if (valor > tolerancia) return 1;
  if (valor < -tolerancia) return -1;
  return 0;
}

function crearFilas(primera, segunda, intervalos) {
  return intervalos.map(([inicio, fin]) => {
    const muestra = (inicio + fin) / 2;
    const s1 = signo(primera(muestra));
    const s2 = signo(segunda(muestra));

    return {
      intervalo: `(${inicio}, ${fin})`,
      monotonia: s1 > 0 ? "crece" : s1 < 0 ? "decrece" : "revisar",
      concavidad: s2 > 0 ? "hacia arriba" : s2 < 0 ? "hacia abajo" : "revisar"
    };
  });
}

const primera = x => 3 * x ** 2 - 3;
const segunda = x => 6 * x;
const intervalos = [[-3, -1], [-1, 0], [0, 1], [1, 3]];

for (const fila of crearFilas(primera, segunda, intervalos)) {
  console.log(fila);
}

Describir una entrada

function describirEntrada(f, primera, segunda, x, tolerancia = 1e-9) {
  const d1 = primera(x);
  const d2 = segunda(x);

  const direccion = d1 > tolerancia
    ? "crece"
    : d1 < -tolerancia
      ? "decrece"
      : "punto estacionario";

  const forma = d2 > tolerancia
    ? "cóncava hacia arriba"
    : d2 < -tolerancia
      ? "cóncava hacia abajo"
      : "candidata a cambiar de concavidad";

  return { x, valor: f(x), direccion, forma };
}

const f = x => x ** 3 - 3 * x;
const primera = x => 3 * x ** 2 - 3;
const segunda = x => 6 * x;

for (const x of [-1, 0, 1]) {
  console.log(describirEntrada(f, primera, segunda, x));
}

16 · Comprensión

Confusiones frecuentes

17 · Práctica guiada

Ejercicios de aplicación

Ejercicio 1: reunir fronteras

Si f′ se anula en −2 y 3, y f″ se anula en 1, ¿qué partición debe usarse?

Ejercicio 2: interpretar signos

En un intervalo se cumple f′ < 0 y f″ > 0. ¿Qué fila corresponde?

Ejercicio 3: clasificar una frontera

f′ cambia de positivo a negativo en c, mientras f″ es negativa a ambos lados. ¿Qué ocurre?

Ejercicio 4: evento doble falso

En x = 0, f′ = f″ = 0. ¿Puede completarse la columna «evento»?

Ejercicio 5: discontinuidad

Una frontera no pertenece al dominio y ambos signos cambian al atravesarla. ¿Cómo se registra?

18 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema ampliaremos esta estructura hasta formar un plan completo para analizar una curva.