Análisis de curvas racionales

01 · Cocientes con restricciones

La diferencia principal está en el dominio

Una función racional tiene la forma:

En cada intervalo de su dominio es continua y derivable, pero los ceros del denominador pueden separar la gráfica en varias ramas. Por eso el análisis debe comenzar localizando esas entradas.

02 · Primer paso obligatorio

Excluir los ceros del denominador original

Para determinar el dominio:

1. resolver Q(x) = 0;
2. excluir todas sus soluciones reales;
3. conservar esas exclusiones incluso si luego se cancelan factores.

Por ejemplo, en R(x) = (x² − 1)/(x − 1), la expresión se simplifica a x + 1, pero el dominio original sigue excluyendo x = 1.

La gráfica es la recta y = x + 1 con un hueco en (1, 2).

03 · Dos resultados distintos

Hueco o asíntota vertical

Factorizar antes de derivar ayuda a distinguir ambos casos. La cancelación simplifica la fórmula, pero no reincorpora la entrada excluida.

04 · Puntos de referencia

Cortes con los ejes

• Los cortes con el eje horizontal provienen de P(x) = 0, siempre que Q(x) ≠ 0.
• Un factor cancelado no genera un corte: produce una entrada ausente.
• El corte con el eje vertical es R(0), si cero pertenece al dominio.

Resolver solo el numerador sin revisar el denominador puede convertir erróneamente un hueco en una raíz.

05 · Asíntotas verticales

Los dos lados pueden comportarse distinto

Si x = a anula el denominador simplificado, estudiamos por separado:

Las ramas pueden dirigirse ambas al mismo infinito o a infinitos opuestos. Una tabla de signos del numerador y el denominador cerca de a ayuda a determinarlo.

La línea x = a guía el bosquejo, pero no pertenece a la gráfica. Nunca se la cruza conectando las ramas.

06 · Comportamiento lejano

Comparar los grados

Sean n = grado(P) y m = grado(Q):

Una asíntota horizontal puede ser cruzada por la gráfica. Describe el comportamiento cuando |x| crece, no una barrera.

07 · Derivar sin olvidar restricciones

La regla del cociente y el dominio

El denominador cuadrado suele simplificar el estudio del signo de R′, porque es positivo donde existe. Aun así:

• los ceros del denominador original siguen excluidos;
• las raíces del numerador de R′ son candidatas estacionarias;
• los puntos donde R′ no existe solo son críticos si pertenecen al dominio de R;
• R″ debe estudiarse sobre las mismas ramas separadas.

08 · Plan específico

Cómo analizar una función racional

1. Factorizar numerador y denominador.
2. Determinar el dominio desde la expresión original.
3. Simplificar y clasificar huecos o asíntotas verticales.
4. Calcular cortes y comprobar que pertenezcan al dominio.
5. Estudiar límites laterales en cada frontera.
6. Comparar grados y buscar asíntotas lejanas.
7. Calcular R′ y analizar monotonía por ramas.
8. Calcular R″ y analizar concavidad por ramas.
9. Verificar extremos e inflexiones solo en puntos del dominio.
10. Construir la tabla conjunta y el bosquejo.

09 · Ejemplo principal

R(x) = x / (x² − 1)

• Dominio: ℝ ∖ {−1, 1}.
• Simetría: es impar, porque R(−x) = −R(x).
• Cortes: pasa por (0, 0).
• Asíntotas verticales: x = −1 y x = 1.
• Asíntota horizontal: y = 0, porque el grado del numerador es menor.

Los valores −1 y 1 dividen el dominio en tres ramas: (−∞, −1), (−1, 1) y (1, ∞).

10 · Límites del ejemplo

Orientar las ramas alrededor de las asíntotas

La simetría impar permite comprobar que los comportamientos opuestos se correspondan respecto del origen.

11 · Primera derivada del ejemplo

Decrece en cada rama

El numerador x² + 1 es siempre positivo y el denominador cuadrado también lo es en el dominio. El signo negativo exterior produce:

La función decrece en cada uno de los intervalos (−∞, −1), (−1, 1) y (1, ∞). No tiene puntos estacionarios ni extremos locales.

12 · Segunda derivada del ejemplo

Concavidad e inflexión central

En x = 0 cambia la concavidad y la función existe, así que (0, 0) es un punto de inflexión. En x = −1 y x = 1 también cambian los signos laterales, pero no hay puntos de la gráfica; por eso no son inflexiones.

13 · Mirada computacional

No dibujar líneas falsas entre ramas

Al muestrear una función racional, un trazador ingenuo puede unir dos valores grandes situados a lados opuestos de una asíntota y dibujar una línea casi vertical que no pertenece a la función.

Para evitarlo conviene:

• conocer de antemano las entradas excluidas;
• iniciar un nuevo trazado después de cada discontinuidad;
• descartar valores no finitos o fuera de la ventana visible;
• marcar huecos con círculos abiertos;
• dibujar asíntotas con un estilo distinto de la curva.

Una gran diferencia entre muestras consecutivas puede servir como alerta, pero el dominio algebraico es una guía más confiable.

14 · Exploración interactiva

Laboratorio: distinguir ramas, asíntotas y huecos

Elegí un modelo y desplazá la entrada. El laboratorio evita conectar discontinuidades y marca las entradas excluidas.

Las asíntotas se dibujan con líneas discontinuas y los huecos con círculos abiertos. La curva se interrumpe en cada entrada excluida.

Preguntas para explorar

1. Acercate a cada lado de x = 1 en el primer modelo. ¿Cómo cambia el signo?
2. En el modelo trasladado, identificá las asíntotas x = 1 e y = 1.
3. En el tercer modelo, ¿por qué aparece un hueco y no una asíntota?
4. Seleccioná exactamente una entrada excluida y observá cómo se informa el dominio.

15 · Implementación

Evaluar respetando el denominador

function crearRacional(numerador, denominador, tolerancia = 1e-10) {
  return x => {
    const divisor = denominador(x);
    if (Math.abs(divisor) <= tolerancia) return null;
    return numerador(x) / divisor;
  };
}

const r = crearRacional(
  x => x,
  x => x ** 2 - 1
);

for (const x of [-2, -1, -0.5, 0, 0.5, 1, 2]) {
  const valor = r(x);
  console.log(x, valor === null ? "fuera del dominio" : valor);
}

Clasificar intervalos separados

function describirRamas(primera, segunda, intervalos) {
  return intervalos.map(([inicio, fin, muestra]) => {
    const d1 = primera(muestra);
    const d2 = segunda(muestra);
    return {
      intervalo: `(${inicio}, ${fin})`,
      monotonia: d1 > 0 ? "crece" : "decrece",
      concavidad: d2 > 0 ? "hacia arriba" : "hacia abajo"
    };
  });
}

const primera = x => -(x ** 2 + 1) / (x ** 2 - 1) ** 2;
const segunda = x => 2 * x * (x ** 2 + 3) / (x ** 2 - 1) ** 3;
const ramas = [
  ["-∞", -1, -2],
  [-1, 0, -0.5],
  [0, 1, 0.5],
  [1, "∞", 2]
];

for (const rama of describirRamas(primera, segunda, ramas)) {
  console.log(rama);
}

16 · Comprensión

Confusiones frecuentes

17 · Práctica guiada

Ejercicios de aplicación

Ejercicio 1: dominio y hueco

Analizá la discontinuidad de R(x) = (x² − 4)/(x − 2).

Ejercicio 2: asíntota horizontal

¿Cuál es la asíntota horizontal de (3x² + 1)/(2x² − 5)?

Ejercicio 3: cortes falsos

En (x − 1)(x + 3)/(x − 1), ¿cuáles son los cortes horizontales?

Ejercicio 4: monotonía por ramas

Si R′(x) < 0 para todo x ≠ 2, ¿cómo se informa el decrecimiento?

Ejercicio 5: concavidad sin punto

R″ cambia de negativo a positivo al atravesar una asíntota vertical. ¿Hay inflexión?

18 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema estudiaremos curvas exponenciales y logarítmicas, con sus ritmos de crecimiento, saturación y dominios característicos.