Curvas exponenciales y logarítmicas

01 · Dos familias inversas

Multiplicar y medir órdenes de magnitud

Una función exponencial coloca la variable en el exponente y modela cambios proporcionales al valor actual. Una función logarítmica responde qué exponente produce una cantidad y comprime rangos muy amplios.

Como son inversas, sus gráficas se reflejan respecto de la recta y = x. Sin embargo, dominio, asíntotas y concavidad intercambian papeles.

02 · Exponencial básica

Propiedades de f(x) = bˣ

• Su dominio es todo ℝ.
• Su imagen es (0, ∞).
• Pasa por (0, 1).
• No corta el eje horizontal.
• Tiene asíntota horizontal y = 0.
• Es creciente si b > 1 y decreciente si 0 < b < 1.

La base controla el sentido y la rapidez, pero la función permanece positiva para toda entrada real.

03 · Derivadas exponenciales

La pendiente es proporcional a la función

Como bˣ > 0:

• el signo de f′ depende de ln(b);
• f″(x) > 0 para toda base permitida;
• tanto el crecimiento con b > 1 como el decaimiento con 0 < b < 1 son cóncavos hacia arriba.

Una exponencial decreciente baja cada vez más lentamente: sus pendientes negativas aumentan hacia cero.

04 · Parámetros del modelo

Analizar A e^(kx) + C

El signo de Ak determina la monotonía. El signo de A determina la concavidad, porque k²e^(kx) es positivo.

05 · Aproximarse a un límite

Un modelo exponencial de saturación

Para L > 0 y k > 0, consideremos:

La función crece, pero sus pendientes disminuyen. Se aproxima a la asíntota horizontal y = L desde abajo cuando x → ∞.

Este patrón representa una magnitud que continúa aumentando con ganancias cada vez menores, como una caché que se calienta o un proceso que se acerca a su capacidad.

06 · Logaritmo básico

Propiedades de g(x) = log_b(x)

• Su dominio es (0, ∞).
• Su imagen es todo ℝ.
• Pasa por (1, 0).
• No tiene corte con el eje vertical.
• Tiene asíntota vertical x = 0.
• Es creciente si b > 1 y decreciente si 0 < b < 1.

El dominio positivo no es opcional: intentar evaluar el logaritmo real de cero o de un número negativo produce una entrada inválida.

07 · Derivadas logarítmicas

El crecimiento se vuelve cada vez más lento

Para b > 1, ln(b) > 0: el logaritmo crece y es cóncavo hacia abajo. Para 0 < b < 1, ambos signos se invierten: decrece y es cóncavo hacia arriba.

En particular, ln(x) tiene g′(x) = 1/x > 0 y g″(x) = −1/x² < 0.

08 · Desplazamientos logarítmicos

El argumento determina el dominio

En una función como G(x) = A ln(k(x − h)) + C, primero debe resolverse:

La frontera donde el argumento se acerca a cero suele producir una asíntota vertical. Los parámetros externos A y C transforman la salida, pero no eliminan la restricción del argumento.

09 · Comparación directa

Exponencial y logaritmo natural

Los puntos notables y las asíntotas se intercambian al reflejar las gráficas respecto de y = x.

10 · Ejemplo de saturación

F(x) = 4 − 3e^(−x/2)

• Dominio: todo ℝ.
• Corte vertical: F(0) = 1.
• Corte horizontal: x = −2ln(4/3) ≈ −0,575.
• Asíntota horizontal: y = 4 cuando x → ∞.
• Extremo izquierdo: F(x) → −∞ cuando x → −∞.

Crece en todo su dominio, es cóncava hacia abajo y no tiene extremos ni puntos de inflexión. Se acerca a cuatro con incrementos cada vez menores.

11 · Ejemplo logarítmico

G(x) = ln(x − 1) + 2

• Dominio: (1, ∞).
• Asíntota vertical: x = 1.
• Corte horizontal: x = 1 + e⁻².
• Corte vertical: no existe, porque cero está fuera del dominio.

La función crece y es cóncava hacia abajo en todo su dominio. Al acercarse a 1 por la derecha tiende a −∞; cuando x → ∞, también crece sin límite, aunque lentamente.

12 · Escalas logarítmicas

Convertir multiplicaciones en sumas

Si un modelo positivo cumple y = Ae^(kx) con A > 0, entonces:

Al representar ln(y) contra x, un modelo exponencial ideal se transforma en una recta. Esto permite:

• comparar tasas de crecimiento mediante pendientes;
• visualizar valores que cubren muchos órdenes de magnitud;
• detectar desviaciones respecto de una tendencia exponencial;
• evitar que los valores grandes oculten a los pequeños.

La transformación requiere y > 0. Aplicar logaritmos a ceros o valores negativos no es válido en el análisis real.

13 · Mirada computacional

Dominio, desbordamiento y precisión

Desbordamiento

Math.exp(x) puede producir Infinity para entradas grandes.

Subdesbordamiento

Una exponencial muy pequeña puede redondearse a cero.

Dominio

Math.log(x) solo representa un logaritmo real finito cuando x > 0.

Cambios pequeños

Math.expm1(x) calcula eˣ − 1 con mejor precisión cerca de cero.

Logaritmos cercanos

Math.log1p(x) calcula ln(1 + x) con mejor precisión para x pequeño.

Un programa debe comprobar Number.isFinite antes de mostrar o graficar resultados extremos.

14 · Exploración interactiva

Laboratorio: comparar cuatro comportamientos

Elegí crecimiento, decaimiento, saturación o logaritmo y desplazá la entrada. Observá cómo los signos de las derivadas explican la forma.

La curva se muestra junto con su asíntota horizontal o vertical y una tangente en la entrada seleccionada.

Preguntas para explorar

1. Compará crecimiento y decaimiento: ¿qué signo cambia y cuál permanece positivo?
2. ¿Por qué el modelo de saturación crece aunque sea cóncavo hacia abajo?
3. En el logaritmo, acercate a cero por la derecha y observá la pendiente.
4. Compará saturación y logaritmo: ambos son cóncavos hacia abajo, pero tienen comportamientos globales distintos.

15 · Implementación

Modelos con derivadas explícitas

const modelos = {
  crecimiento: {
    f: x => Math.exp(0.7 * x),
    primera: x => 0.7 * Math.exp(0.7 * x),
    segunda: x => 0.49 * Math.exp(0.7 * x)
  },
  saturacion: {
    f: x => 4 - 3 * Math.exp(-0.5 * x),
    primera: x => 1.5 * Math.exp(-0.5 * x),
    segunda: x => -0.75 * Math.exp(-0.5 * x)
  }
};

for (const [nombre, modelo] of Object.entries(modelos)) {
  console.log(nombre);
  for (const x of [0, 1, 2]) {
    console.log({
      x,
      valor: modelo.f(x),
      pendiente: modelo.primera(x),
      curvatura: modelo.segunda(x)
    });
  }
}

Evaluar un logaritmo de forma segura

function logaritmoSeguro(argumento) {
  if (!Number.isFinite(argumento) || argumento <= 0) {
    return { valido: false, valor: null };
  }
  return { valido: true, valor: Math.log(argumento) };
}

function evaluarTransformada(x) {
  const argumento = x - 1;
  const resultado = logaritmoSeguro(argumento);
  if (!resultado.valido) return { x, estado: "fuera del dominio" };
  return { x, estado: "válido", valor: resultado.valor + 2 };
}

for (const x of [0, 1, 1.5, 2, 5]) {
  console.log(evaluarTransformada(x));
}

16 · Comprensión

Confusiones frecuentes

17 · Práctica guiada

Ejercicios de aplicación

Ejercicio 1: exponencial decreciente

Analizá monotonía y concavidad de f(x) = e^(−2x).

Ejercicio 2: saturación

Para S(x) = 10 − 8e^(−x), indicá asíntota, monotonía y concavidad.

Ejercicio 3: dominio trasladado

Determiná el dominio y la asíntota vertical de g(x) = ln(2x − 6).

Ejercicio 4: base menor que uno

¿Cómo se comporta log_(1/2)(x)?

Ejercicio 5: escala logarítmica

Si y = 5e^(0,3x), ¿qué recta se obtiene al aplicar logaritmo natural?

18 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema analizaremos curvas trigonométricas y funciones por partes, donde aparecerán periodicidad y puntos de unión.