Curvas trigonométricas y funciones por partes

01 · Dos desafíos diferentes

Repetición y cambio de fórmula

Las curvas trigonométricas repiten su comportamiento. En lugar de analizar toda la recta real, podemos estudiar un período y trasladar los resultados.

Las funciones por partes presentan el desafío opuesto: cada intervalo tiene su propia fórmula y los puntos de unión requieren comprobar límites, valores y derivadas laterales.

02 · Unidad angular

Las fórmulas de derivación usan radianes

Las identidades:

son válidas directamente cuando x se mide en radianes. Si una entrada está en grados, debe convertirse:

JavaScript también espera radianes en Math.sin, Math.cos y Math.tan.

03 · Curvas básicas

Seno y coseno

Ambas funciones alternan máximos, mínimos e inflexiones de forma regular.

04 · Sinusoide transformada

Interpretar A sin(ωx + φ) + D

El signo de A refleja la onda; el signo de ω puede incorporarse a la fase, mientras que su magnitud controla la frecuencia.

05 · Método periódico

Analizar un solo período

1. Identificar el período y elegir un intervalo representativo.
2. Calcular cortes y valores notables dentro de ese intervalo.
3. Resolver f′(x) = 0 y estudiar su signo.
4. Resolver f″(x) = 0 y comprobar la concavidad.
5. Clasificar extremos e inflexiones.
6. Repetir cada resultado sumando múltiplos enteros del período.

Hay que evitar contar dos veces los extremos de un intervalo cerrado que representan el mismo punto de períodos consecutivos.

06 · Tangente y ramas

Una función trigonométrica con discontinuidades

La tangente tiene:

• dominio ℝ ∖ {π/2 + kπ : k ∈ ℤ};
• período π;
• derivada sec²(x) > 0 donde existe;
• asíntotas verticales en cada entrada excluida.

Por lo tanto, crece en cada intervalo (−π/2 + kπ, π/2 + kπ). Igual que en las funciones racionales, las ramas nunca se unen atravesando una asíntota.

07 · Ejemplo periódico

f(x) = 2sin(x) + 1 en [0, 2π]

• Amplitud 2, línea media y = 1 y período 2π.
• Imagen [−1, 3].
• Corte vertical (0, 1).
• Cortes horizontales en x = 7π/6 y x = 11π/6.

Los puntos estacionarios interiores son π/2 y 3π/2. El candidato interior a inflexión es π.

08 · Tabla del período

Monotonía y concavidad

En toda la recta, estos resultados se repiten al sumar 2kπ a las coordenadas horizontales.

09 · Funciones por partes

Cada fórmula tiene su intervalo

Una función por partes asigna expresiones diferentes según la entrada:

El dominio se obtiene reuniendo los intervalos válidos de todas las ramas. Dentro de cada tramo se aplica el análisis habitual. En x = 1, donde cambia la fórmula, hace falta una verificación especial.

Los símbolos <, ≤, > y ≥ determinan qué fórmula aporta el valor en la unión.

10 · Primera prueba en la unión

Comprobar continuidad

Para que g sea continua en x = c deben coincidir:

En el ejemplo:

• la rama izquierda produce 1² = 1;
• la rama derecha se aproxima a 2·1 − 1 = 1;
• el valor definido es g(1) = 1.

La función es continua. Si los valores laterales no coincidieran, habría salto; si coincidieran entre sí pero no con g(c), habría una discontinuidad removible.

11 · Segunda prueba en la unión

Comparar derivadas laterales

Después de confirmar continuidad, comparamos pendientes:

Para la rama x², la pendiente al llegar a uno es 2. Para 2x − 1, la pendiente también es 2. Por lo tanto, la función es derivable en la unión.

Sin embargo, la segunda derivada vale 2 a la izquierda y 0 a la derecha. g″(1) no existe, aunque la curva se una sin esquina.

12 · Extremos e inflexiones en uniones

Los cambios laterales siguen decidiendo

Esquina mínima

|x| decrece antes de cero y crece después: mínimo local aunque no exista la derivada.

Esquina máxima

−|x| crece y luego decrece: máximo local.

Inflexión suave por partes

−x² para x < 0 y x² para x ≥ 0 cambia de concavidad en el origen y mantiene pendiente cero.

Salto

Si la función no es continua, la unión no es un punto de inflexión.

En un punto de unión no se sustituye mecánicamente en una única fórmula derivada. Se comparan los comportamientos de ambas ramas.

13 · Mirada computacional

Condiciones, fronteras y trazado

Una implementación por partes debe reflejar exactamente las desigualdades matemáticas:

• usar una condición que asigne cada entrada a una sola rama;
• comprobar por separado el valor en la frontera;
• interrumpir el trazado si hay un salto;
• usar círculos abiertos y cerrados para extremos excluidos e incluidos;
• convertir a radianes antes de evaluar funciones trigonométricas;
• evitar comparar números decimales con múltiplos de π mediante igualdad exacta.

Las tolerancias ayudan a reconocer valores cercanos, pero no deben alterar qué rama define la función.

14 · Exploración interactiva

Laboratorio: periodicidad y puntos de unión

Elegí una curva y desplazá la entrada. En los modelos por partes, las líneas verticales marcan dónde cambia la fórmula.

La curva muestra una tangente cuando la derivada existe. Los puntos de unión se marcan con una guía vertical.

Preguntas para explorar

1. En la sinusoide, visitá π/2, π y 3π/2.
2. Compará los períodos de 2sin(x) + 1 y cos(2x).
3. En |x|, ¿qué cambia al atravesar cero?
4. En la unión suave, comprobá qué derivada existe y cuál no en x = 1.

15 · Implementación

Repetir el análisis de una sinusoide

const f = x => 2 * Math.sin(x) + 1;
const primera = x => 2 * Math.cos(x);
const segunda = x => -2 * Math.sin(x);
const periodo = 2 * Math.PI;

function trasladarPuntos(puntosBase, cantidadPeriodos) {
  const resultado = [];
  for (let k = -cantidadPeriodos; k <= cantidadPeriodos; k++) {
    for (const x of puntosBase) resultado.push(x + k * periodo);
  }
  return resultado;
}

const maximos = trasladarPuntos([Math.PI / 2], 2);
for (const x of maximos) {
  console.log({ x: Number(x.toFixed(3)), y: f(x), primera: primera(x), segunda: segunda(x) });
}

Implementar una función por partes

function g(x) {
  return x <= 1 ? x ** 2 : 2 * x - 1;
}

function primeraG(x) {
  if (x < 1) return 2 * x;
  if (x > 1) return 2;
  return 2; // Las derivadas laterales coinciden.
}

function segundaG(x) {
  if (x < 1) return 2;
  if (x > 1) return 0;
  return null; // Las derivadas laterales de primeraG no coinciden.
}

for (const x of [0.5, 1, 1.5]) {
  console.log({ x, valor: g(x), primera: primeraG(x), segunda: segundaG(x) });
}

16 · Comprensión

Confusiones frecuentes

17 · Práctica guiada

Ejercicios de aplicación

Ejercicio 1: período transformado

Determiná amplitud, período y línea media de f(x) = 3cos(2x) − 1.

Ejercicio 2: extremo trigonométrico

¿Dónde tiene máximos sin(x)?

Ejercicio 3: continuidad por partes

h(x) = x + 1 si x < 2 y h(x) = ax si x ≥ 2. Hallá a para que sea continua.

Ejercicio 4: derivabilidad

Con el valor anterior de a, ¿la función es derivable en dos?

Ejercicio 5: inflexión por partes

Analizá el origen de q(x) = −x² si x < 0 y q(x) = x² si x ≥ 0.

18 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema comenzaremos a formular problemas de optimización mediante variables de decisión, objetivos y restricciones.