Estrategia analítica de optimización

01 · Del modelo a la decisión

Derivar es un paso, no la solución completa

Resolver J′(x) = 0 encuentra puntos estacionarios, pero un óptimo absoluto también puede ocurrir donde la derivada no existe o en una frontera del dominio.

La estrategia analítica consiste en construir una lista completa de candidatos factibles y comparar sus valores con un criterio claro.

02 · Antes de buscar

¿Está garantizado que exista un óptimo?

Si una función objetivo es continua en un intervalo cerrado y acotado [a, b], alcanza un máximo absoluto y un mínimo absoluto.

Esta garantía es útil porque sabemos que la comparación final debe producir respuestas. Si el dominio es abierto, no acotado o contiene discontinuidades, el óptimo puede existir o no; habrá que estudiar límites y comportamiento global.

La existencia se analiza sobre el dominio factible, no sobre toda la fórmula abstracta.

03 · Lista completa

De dónde provienen los candidatos

Para una función de una variable, los candidatos relevantes son:

• puntos interiores donde J′(x) = 0;
• puntos interiores factibles donde J′ no existe;
• fronteras incluidas del dominio factible;
• puntos especiales donde cambia la fórmula;
• límites hacia fronteras abiertas o hacia infinito, si corresponde.

Cualquier solución de una ecuación derivada que quede fuera del dominio se descarta antes de evaluar.

04 · Candidatos estacionarios

Resolver J′(x) = 0

En un óptimo interior derivable, la tangente debe ser horizontal. Por eso la ecuación J′(x) = 0 es el principal generador de candidatos.

Sin embargo, una raíz de la derivada puede ser:

• un máximo local;
• un mínimo local;
• un punto estacionario sin extremo;
• un valor fuera del dominio factible.

Resolver la ecuación no clasifica automáticamente el resultado.

05 · Candidatos no derivables

Esquinas y cúspides también pueden optimizar

La función J(x) = |x − 3| + 1 no es derivable en x = 3, pero allí alcanza su mínimo absoluto.

Por eso, después de calcular la derivada, debemos revisar los puntos del dominio donde no existe. El cambio del signo lateral de J′ puede clasificarlos:

Una discontinuidad no se convierte en candidata si la entrada no pertenece al dominio.

06 · Fronteras incluidas

Los extremos del intervalo también compiten

En un intervalo cerrado [a, b], debemos evaluar J(a) y J(b) aunque la derivada no se anule allí.

Por ejemplo, una función estrictamente creciente alcanza su mínimo absoluto en a y su máximo absoluto en b. Ninguno es un punto estacionario interior.

07 · Clasificación local

Usar signos o segunda derivada

La clasificación local ayuda a comprender el candidato, pero la condición «absoluto» se justifica comparando todo el conjunto relevante.

08 · Tabla de candidatos

Comparar valores de forma explícita

Una tabla reduce errores y deja visible la justificación:

Para minimizar se elige el menor valor; para maximizar, el mayor. Si hay empate, puede haber varios optimizadores.

09 · Cuando no hay intervalo cerrado

Fronteras abiertas y dominios no acotados

En una frontera excluida no podemos evaluar la función como candidata, pero sí estudiar su límite.

Por ejemplo, J(x) = x en (0, 1) no tiene mínimo ni máximo absolutos: puede acercarse a cero o a uno, pero no alcanza ninguno.

En cambio, J(x) = (x − 2)² en (0, ∞) sí alcanza un mínimo absoluto en x = 2, aunque el dominio no sea cerrado ni acotado.

No cumplir las condiciones del teorema elimina la garantía, no necesariamente el óptimo.

10 · Ejemplo completo

Minimizar la latencia de un lote

Retomemos:

La función es continua en el intervalo cerrado [2, 64], por lo que existen máximo y mínimo absolutos.

Buscamos el mínimo. Los candidatos serán las fronteras 2 y 64, más cualquier solución interior de T′(x) = 0.

11 · Generar el candidato interior

Resolver la ecuación estacionaria

Como el dominio exige x > 0:

El candidato pertenece a [2, 64]. Además:

Es un mínimo local. Todavía debemos compararlo con las fronteras para justificar que es absoluto.

12 · Comparar e interpretar

La tabla final del ejemplo

El menor valor corresponde a x* = 20√2. Si el tamaño debe ser entero, comparamos los enteros cercanos:

La decisión implementable es un lote de 28 unidades, bajo las hipótesis del modelo.

13 · Cerrar la solución

Una respuesta completa tiene cuatro partes

1. Decisión: indicar x* con unidades.
2. Resultado: informar J(x*) con unidades.
3. Justificación: explicar qué candidatos se compararon.
4. Validación: confirmar restricciones y, si corresponde, redondeo discreto.

«La derivada se anula en 28,284» no es una conclusión suficiente. Debe traducirse al contexto y compararse con todas las alternativas relevantes.

14 · Exploración interactiva

Laboratorio: revelar el procedimiento por etapas

Elegí un problema y avanzá desde el dominio hasta la comparación final. Los candidatos aparecen en el gráfico cuando corresponden.

La curva objetivo aparece con marcadores para puntos interiores, fronteras y solución absoluta según la etapa.

Preguntas para explorar

1. ¿Por qué las fronteras aparecen aunque su derivada no sea cero?
2. En el modelo del área, comprobá que el candidato interior produce el mayor valor.
3. En el modelo con esquina, ¿por qué el mínimo no surge de J′(x) = 0?
4. ¿Qué información permite pasar de mínimo local a mínimo absoluto?

15 · Implementación

Comparar una lista conocida de candidatos

function evaluarCandidatos(objetivo, candidatos, sentido) {
  const evaluados = candidatos
    .filter(Number.isFinite)
    .map(x => ({ x, valor: objetivo(x) }))
    .filter(item => Number.isFinite(item.valor));

  if (evaluados.length === 0) return null;

  return evaluados.reduce((mejor, actual) => {
    const mejora = sentido === "min"
      ? actual.valor < mejor.valor
      : actual.valor > mejor.valor;
    return mejora ? actual : mejor;
  });
}

const T = x => 120 / x + 0.15 * x + 8;
const candidatoInterior = Math.sqrt(800);
const candidatos = [2, candidatoInterior, 64];

for (const x of candidatos) console.log(x, T(x));
console.log("Óptimo:", evaluarCandidatos(T, candidatos, "min"));

Adaptar un óptimo continuo a enteros

function mejorEnteroCercano(objetivo, aproximacion, minimo, maximo) {
  const vecinos = [Math.floor(aproximacion), Math.ceil(aproximacion)]
    .filter(x => x >= minimo && x <= maximo);

  return vecinos
    .map(x => ({ x, valor: objetivo(x) }))
    .reduce((mejor, actual) => actual.valor < mejor.valor ? actual : mejor);
}

const objetivo = x => 120 / x + 0.15 * x + 8;
const continuo = Math.sqrt(800);
const entero = mejorEnteroCercano(objetivo, continuo, 2, 64);

console.log("Óptimo continuo:", continuo, objetivo(continuo));
console.log("Mejor vecino entero:", entero);

16 · Comprensión

Confusiones frecuentes

17 · Práctica guiada

Ejercicios de aplicación

Ejercicio 1: intervalo cerrado

Para minimizar J(x) = (x − 3)² + 2 en [0, 8], listá y compará candidatos.

Ejercicio 2: máximo en frontera

Maximizá J(x) = 2x + 1 en [1, 5].

Ejercicio 3: punto no derivable

Minimizá |x − 4| en [0, 10].

Ejercicio 4: frontera abierta

¿Tiene máximo J(x) = x en [0, 1)?

Ejercicio 5: candidato exterior

J′(x)=0 produce x=12, pero el dominio es [0,10]. ¿Qué se hace?

18 · Síntesis

Algoritmo analítico

En el próximo tema aplicaremos este procedimiento a problemas de optimización geométrica.