Optimización geométrica

01 · Diseñar con recursos limitados

La geometría proporciona el modelo

Muchos problemas de optimización preguntan qué dimensiones producen la mayor capacidad, la mayor superficie útil o el menor consumo de material bajo una restricción.

Las fórmulas geométricas aportan el objetivo y las relaciones entre dimensiones. La derivada permite comparar cómo cambia el resultado al modificar una de ellas.

02 · Método geométrico

Del dibujo a la solución

1. Dibujar la figura y etiquetar dimensiones.
2. Elegir una variable de decisión con unidades.
3. Escribir la fórmula de la magnitud que se optimiza.
4. Escribir la restricción geométrica o de recursos.
5. Despejar dimensiones auxiliares y sustituir.
6. Determinar el dominio físico.
7. Derivar y generar candidatos.
8. Comparar candidatos y fronteras.
9. Recuperar todas las dimensiones y validar.

La respuesta final debe describir la figura, no únicamente el valor de la variable elegida.

03 · Inventario básico

Área, perímetro, superficie y volumen

La fórmula correcta depende de la construcción: una caja sin tapa no usa la misma cantidad de material que una caja cerrada.

04 · Relaciones geométricas

La restricción conecta dimensiones

Algunos patrones frecuentes son:

• perímetro fijo: 2x + 2y = P;
• cercado de tres lados: 2x + y = L;
• volumen fijo de un cilindro: πr²h = V₀;
• recorte de una lámina: cada lado de la base pierde dos veces el tamaño del recorte.

Una restricción correcta conserva recursos. Si al variar x la suma de material deja de ser la fijada, el despeje es incorrecto.

05 · Geometría posible

El dominio proviene de dimensiones positivas

Las longitudes físicas suelen exigir valores positivos. Si una lámina cuadrada de lado L pierde dos recortes de tamaño x en cada dirección:

Los extremos pueden incluirse matemáticamente para comparar configuraciones degeneradas con volumen cero, aunque no representen una caja utilizable.

Conviene distinguir dominio físico (0, L/2) e intervalo auxiliar cerrado [0, L/2] usado para justificar el máximo.

06 · Control dimensional

Longitud, área y volumen

• Las dimensiones se expresan en unidades lineales: cm, m.
• Las áreas usan unidades cuadradas: cm², m².
• Los volúmenes usan unidades cúbicas: cm³, m³.

Si una función de volumen termina con unidades lineales, falta multiplicar alguna dimensión. Si se suman áreas con longitudes, el modelo es inconsistente.

07 · Ejemplo principal

Caja sin tapa a partir de una lámina

Una lámina cuadrada de 30 cm de lado recibe recortes cuadrados de lado x en sus cuatro esquinas. Al plegar, se forma una caja sin tapa.

• altura: x;
• largo de la base: 30 − 2x;
• ancho de la base: 30 − 2x.

El objetivo es maximizar el volumen. Para comparar extremos degenerados, podemos extender continuamente la función a [0, 15], donde ambos valores frontera son cero.

08 · Resolver el modelo

Derivar y generar candidatos

Podemos expandir o derivar como producto:

Las soluciones son x = 5 y x = 15. El segundo valor corresponde a la frontera degenerada; el candidato interior es x = 5.

La segunda derivada confirma un máximo local en x = 5.

09 · Recuperar la geometría

Comparar y expresar la caja óptima

El máximo absoluto se obtiene recortando cuadrados de 5 cm. La caja resultante mide:

La respuesta incluye recorte, dimensiones y volumen máximo.

10 · Minimizar material

Cilindro abierto con volumen fijo

Se desea fabricar un cilindro sin tapa de volumen V₀ usando la menor superficie posible.

Al sustituir:

La base aporta πr²; la superficie lateral aporta 2πrh. No se agrega una segunda base porque el recipiente está abierto.

11 · Proporción óptima

La altura resulta igual al radio

Por lo tanto:

Al recuperar la altura:

Además, S″(r) = 2π + 4V₀/r³ > 0, por lo que el candidato es un mínimo. Un cilindro abierto usa menos material cuando su altura coincide con su radio.

12 · Cambios que alteran el modelo

Leer con cuidado la construcción

Una fórmula memorizada no reemplaza el dibujo del objeto específico.

13 · Mirada computacional

Validar dimensiones y tolerancias de fabricación

Un programa puede complementar la solución analítica:

• comprobar que todas las dimensiones sean positivas;
• recalcular el recurso total;
• comparar medidas redondeadas disponibles;
• evaluar el efecto de tolerancias de corte;
• visualizar cómo cambia el objetivo cerca del óptimo.

Una curva muy plana cerca del máximo indica que varias medidas producen resultados similares. En fabricación, una opción ligeramente subóptima puede ser preferible si es más fácil o barata de construir.

14 · Exploración interactiva

Laboratorio: modificar una dimensión

Elegí un modelo y desplazá la variable. El gráfico muestra el objetivo, el candidato analítico y la configuración geométrica correspondiente.

El panel izquierdo representa la figura y el derecho la función objetivo. El marcador amarillo indica el candidato analítico.

Preguntas para explorar

1. En la caja, acercate a ambos extremos del dominio. ¿Por qué el volumen tiende a cero?
2. En el cercado, comprobá que 2x + y = 100.
3. En el cilindro, compará radio y altura en el mínimo.
4. Mové ligeramente la dimensión alrededor del candidato. ¿Cuánto cambia el objetivo?

15 · Implementación

Modelar la caja y validar dimensiones

function evaluarCaja(ladoLamina, recorte) {
  const base = ladoLamina - 2 * recorte;
  const factible = recorte > 0 && base > 0;

  return {
    recorte,
    base,
    altura: recorte,
    factible,
    volumen: factible ? recorte * base ** 2 : null
  };
}

for (const x of [0, 3, 5, 8, 15]) {
  console.log(evaluarCaja(30, x));
}

Comparar medidas fabricables cercanas

function volumenCaja(x) {
  return x * (30 - 2 * x) ** 2;
}

function mejorMedidaPermitida(medidas) {
  const factibles = medidas
    .filter(x => x > 0 && x < 15)
    .map(x => ({ x, volumen: volumenCaja(x) }));

  return factibles.reduce((mejor, actual) => {
    return actual.volumen > mejor.volumen ? actual : mejor;
  });
}

const medidasDisponibles = [4, 4.5, 5, 5.5, 6];
console.log(mejorMedidaPermitida(medidasDisponibles));

16 · Comprensión

Confusiones frecuentes

17 · Práctica guiada

Ejercicios de aplicación

Ejercicio 1: cercado de tres lados

Hay 100 m de cerca para dos lados de ancho x y un lado de largo y. Construí el área en función de x.

Ejercicio 2: resolver el cercado

Hallá las dimensiones que maximizan el área anterior.

Ejercicio 3: caja rectangular

Una lámina de 40 cm × 20 cm recibe recortes de lado x. Escribí el volumen y el dominio.

Ejercicio 4: cilindro cerrado

¿Cómo cambia la función de superficie del ejemplo si el cilindro tiene tapa?

Ejercicio 5: unidades

Si las dimensiones están en metros, ¿qué unidades tienen área, volumen y superficie usada?

18 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema aplicaremos la optimización a distancias y tiempos con recorridos y costos diferentes.