01 · La ruta más corta no siempre es la más rápida
El objetivo depende del costo de cada tramo
Si todo el recorrido se realiza a la misma rapidez, minimizar distancia también minimiza tiempo. Pero cuando hay medios diferentes —caminar, navegar, transmitir o procesar— cada tramo debe ponderarse por su rapidez o costo.
02 · Herramienta geométrica
Distancia entre dos puntos
Entre A = (x₁, y₁) y B = (x₂, y₂), la distancia recta es:
Esta fórmula suele aparecer cuando una decisión mueve un punto sobre una línea. Una coordenada queda variable y la otra permanece fija.
Conviene dibujar los desplazamientos horizontal y vertical antes de escribir la raíz para no intercambiar referencias.
03 · Recorridos por tramos
Sumar tiempos, no promediar velocidades
Si un trayecto posee varios segmentos:
No se obtiene el tiempo total dividiendo la distancia total por el promedio aritmético de velocidades. Cada rapidez actúa sobre su propio tramo.
Las unidades deben coincidir: kilómetros con kilómetros por hora producen horas; metros con metros por segundo producen segundos.
04 · Más allá del tiempo
Distancias con costos diferentes
El mismo modelo sirve si cada unidad recorrida tiene un costo:
Los coeficientes pueden representar dinero por kilómetro, energía por metro, pérdida de señal por unidad o latencia por salto.
Minimizar tiempo es un caso particular con cᵢ = 1/vᵢ.
05 · Elegir una coordenada
La decisión suele ser un punto de transición
En problemas mixtos, una variable natural es la posición donde cambia el medio:
Una vez elegida x, cada tramo debe expresarse en función de ella. Si el destino está a una distancia horizontal total L, el tramo restante puede ser L − x.
Definir desde qué extremo se mide evita que aparezcan simultáneamente x y otra variable innecesaria.
06 · Ubicaciones permitidas
El dominio proviene del recorrido
Si el punto de transición se encuentra entre dos referencias separadas por L:
Las fronteras tienen interpretaciones:
x = 0: cambiar de medio en el primer punto posible;x = L: continuar con el primer medio hasta el destino;0 < x < L: usar ambos medios.
Si una zona está prohibida o solo existen estaciones discretas, el dominio debe ajustarse.
07 · Simplificación útil
Minimizar distancia o distancia al cuadrado
Cuando el objetivo contiene una única distancia no negativa:
minimizar D equivale a minimizar D² = Q, porque la raíz cuadrada es creciente. Esto elimina radicales y simplifica la derivada.
No puede hacerse lo mismo término por término en una suma de distancias o tiempos. En general:
08 · Ejemplo principal
Navegar y luego caminar
Una persona está en un punto situado 3 km mar adentro frente a O. Su destino B está 8 km a lo largo de la costa. Navega a 4 km/h y camina a 6 km/h.
Sea x la distancia desde O hasta el punto de desembarco:
- tramo sobre el agua:
√(3² + x²)km; - tramo por tierra:
8 − xkm; - dominio:
0 ≤ x ≤ 8.
09 · Candidato interior
Equilibrar los cambios marginales
Igualamos a cero:
Como x ≥ 0, podemos elevar al cuadrado sin introducir la solución negativa:
El candidato pertenece al intervalo permitido.
10 · Verificación global
Comparar con ambas fronteras
| Desembarco x | Interpretación | Tiempo |
|---|---|---|
0 | Llegar al punto más cercano y caminar 8 km | 25/12 ≈ 2,083 h |
6/√5 | Usar ambos medios | 4/3 + √5/4 ≈ 1,892 h |
8 | Navegar directamente hasta el destino | √73/4 ≈ 2,136 h |
El menor tiempo se obtiene desembarcando aproximadamente 2,683 km después de O.
11 · Justificación adicional
La función de tiempo es convexa
La segunda derivada es positiva en todo el intervalo. Por eso T′ aumenta y puede anularse como máximo una vez. El candidato interior es el único mínimo local.
La comparación con las fronteras confirma que también es el mínimo absoluto.
12 · Interpretar la ecuación
Un kilómetro más de un tramo reemplaza parte del otro
Al aumentar x:
- el tramo por agua aumenta, pero menos de un kilómetro por cada kilómetro horizontal;
- el tramo por tierra disminuye exactamente un kilómetro;
- cada cambio se divide por su rapidez correspondiente.
En el óptimo, el costo temporal marginal de extender el tramo acuático iguala el ahorro marginal de reducir el tramo terrestre. Antes conviene aumentar x; después conviene reducirlo.
13 · Mirada computacional
Variantes y validación del modelo
- Rapidez variable
- Si depende de la posición, el modelo simple distancia/rapidez constante deja de ser válido.
- Zonas prohibidas
- Dividen el dominio en intervalos o alternativas discretas.
- Red vial
- La distancia euclidiana puede no representar la longitud real de las rutas.
- Latencia de cambio
- Subir, bajar o transferir puede agregar un costo fijo.
- Coordenadas
- Todos los puntos deben usar la misma escala y sistema de referencia.
El código puede verificar distancias, restricciones y unidades, pero no corrige una representación geográfica equivocada.
14 · Exploración interactiva
Laboratorio: elegir el punto de desembarco
Modificá el punto de llegada y las dos velocidades. El panel izquierdo dibuja la ruta y el derecho muestra el tiempo total.
Dos tramos, dos velocidades
T(x) = √(9 + x²)/4 + (8 − x)/6
La selección está cerca del mínimo analítico.
La ruta acuática aparece en azul, el tramo terrestre en verde, el punto actual como marcador y el óptimo como referencia amarilla.
Preguntas para explorar
- Aumentá la velocidad al caminar. ¿El punto óptimo se acerca a
O? - Aumentá la velocidad en el agua hasta superar la terrestre. ¿Dónde queda el óptimo?
- Compará los tiempos en
x = 0, en el candidato y enx = 8. - ¿Por qué la curva conserva un único valle?
15 · Implementación
Evaluar una ruta mixta
function evaluarRuta({ separacion, longitud, velocidadAgua, velocidadTierra }, x) {
const factible = x >= 0 && x <= longitud;
if (!factible || velocidadAgua <= 0 || velocidadTierra <= 0) {
return { x, factible: false, tiempo: null };
}
const distanciaAgua = Math.hypot(separacion, x);
const distanciaTierra = longitud - x;
const tiempo = distanciaAgua / velocidadAgua + distanciaTierra / velocidadTierra;
return { x, factible, distanciaAgua, distanciaTierra, tiempo };
}
const datos = { separacion: 3, longitud: 8, velocidadAgua: 4, velocidadTierra: 6 };
for (const x of [0, 6 / Math.sqrt(5), 8, 10]) {
console.log(evaluarRuta(datos, x));
}Calcular el punto óptimo del modelo
function desembarcoOptimo(separacion, longitud, velocidadAgua, velocidadTierra) {
if (separacion < 0 || longitud < 0 || velocidadAgua <= 0 || velocidadTierra <= 0) {
return null;
}
// Si navegar no es más lento, conviene llegar directamente al destino.
if (velocidadTierra <= velocidadAgua) return longitud;
const interior = separacion * velocidadAgua /
Math.sqrt(velocidadTierra ** 2 - velocidadAgua ** 2);
return Math.min(longitud, interior);
}
const x = desembarcoOptimo(3, 8, 4, 6);
console.log("Desembarco óptimo:", x);
console.log("Aproximación:", Number(x.toFixed(3)), "km");16 · Comprensión
Confusiones frecuentes
«La ruta más corta siempre tarda menos»
Solo si la rapidez o el costo por unidad es igual en todos los tramos.
«El tiempo total es distancia total dividida por velocidad promedio»
Cada tramo debe dividirse por su propia rapidez antes de sumar.
«El tramo diagonal mide 3 + x»
Los desplazamientos son perpendiculares; la distancia recta es √(3²+x²).
«Puedo minimizar la suma de cuadrados en lugar de la suma de distancias»
Elevar al cuadrado conserva el orden de una sola distancia no negativa, no de cada término de una suma.
«La solución de la ecuación derivada siempre es válida»
Debe pertenecer al segmento permitido y compararse con las fronteras.
«Las unidades se corrigen al final»
Mezclar metros con kilómetros o segundos con horas cambia el modelo y produce una solución incorrecta.
17 · Práctica guiada
Ejercicios de aplicación
Ejercicio 1: escribir el tiempo
Un punto está 5 km fuera de una ruta y el destino está 12 km a lo largo de ella. Las velocidades son 3 y 5 km/h. Escribí T(x).
Ver solución
Si x mide el avance hasta la transición, T(x)=√(25+x²)/3+(12−x)/5, con 0≤x≤12.
Ejercicio 2: rapidez igual
En el modelo anterior, ¿qué ocurre si ambas velocidades son iguales?
Ver respuesta
Conviene seguir la ruta recta hasta el destino, correspondiente a x=12. Dividir el recorrido no acorta la suma de distancias.
Ejercicio 3: distancia a un punto
Un punto móvil es (x, 2x) y el punto fijo es (3, 1). Escribí la distancia cuadrada.
Ver respuesta
D²(x)=(x−3)²+(2x−1)². Minimizar esta función equivale a minimizar la distancia.
Ejercicio 4: validar dominio
Una solución algebraica da x=15, pero el punto de transición debe estar en un segmento de 10 km. ¿Qué se hace?
Ver respuesta
Se descarta como candidato interior. Se comparan los candidatos factibles y las fronteras x=0 y x=10.
Ejercicio 5: costo fijo de transferencia
¿Cómo cambia el modelo si usar ambos medios agrega 10 minutos?
Ver respuesta
Para rutas mixtas se suma 1/6 de hora. Las rutas que usan un solo medio deben modelarse como alternativas separadas si no pagan esa transferencia.
18 · Síntesis
Ideas para recordar
- La distancia euclidiana proviene del teorema de Pitágoras.
- El tiempo total es la suma de distancia dividida por rapidez en cada tramo.
- La variable suele representar un punto de transición.
- El dominio corresponde a ubicaciones realmente permitidas.
- Minimizar una distancia única equivale a minimizar su cuadrado.
- Velocidades diferentes producen una ruta óptima que no suele ser la más corta.
- El candidato interior debe compararse con rutas frontera.
- La respuesta incluye ubicación, tiempo y unidades.
En el próximo tema estudiaremos costos, ingresos y beneficios marginales para elegir niveles óptimos de producción.