01 · Decidir cuánto producir
Tres funciones relacionadas
Sea q la cantidad producida o procesada. Un modelo básico utiliza:
El objetivo habitual es maximizar B dentro de un intervalo de producción factible.
02 · Variable y unidades
Totales y tasas marginales
Si q se mide en unidades producidas y las funciones totales en pesos:
C(q),R(q)yB(q)están en pesos;C′(q),R′(q)yB′(q)están en pesos por unidad;C(q)/qestá en pesos por unidad;- el precio
p(q)también está en pesos por unidad.
Las unidades permiten diferenciar una cantidad total de una tasa de cambio o de un promedio.
03 · Función de costo
Costos fijos y variables
F es el costo fijo: existe incluso cuando q = 0. V(q) reúne costos que cambian con el nivel de actividad.
Un modelo cuadrático simple puede ser:
El término cuadrático representa costos adicionales que crecen con la producción, como congestión, horas extra o desgaste.
04 · Función de ingreso
Precio constante o dependiente de la cantidad
Si el precio unitario es constante:
Si para vender más es necesario reducir el precio, usamos una función de demanda p(q):
Por ejemplo, si p(q) = 80 − 0,2q:
Confundir precio con ingreso omite el factor cantidad.
05 · Función de beneficio
Restar funciones completas
Con los modelos anteriores:
El signo negativo debe distribuirse sobre todos los términos de C(q). Un error allí cambia por completo el nivel óptimo.
Un beneficio negativo representa una pérdida, no una entrada inválida.
06 · Interpretación marginal
El efecto aproximado de una unidad adicional
Para una cantidad grande y cambios pequeños:
La derivada es una aproximación local. La diferencia exacta entre unidades enteras puede no coincidir exactamente con ella.
07 · Condición interior
Ingreso marginal igual a costo marginal
En un máximo interior derivable de beneficio:
La interpretación es directa:
- si
R′ > C′, una unidad adicional aumenta el beneficio; - si
R′ < C′, una unidad adicional lo reduce; - en el candidato interior, ambos efectos se equilibran.
08 · Confirmar el máximo
Concavidad y comparación
Si B″(q) < 0 en todo el dominio, el beneficio es cóncavo hacia abajo. Entonces cualquier punto estacionario interior es el único máximo global del intervalo, salvo restricciones discretas.
Si la concavidad cambia o hay varias raíces de B′, debemos analizar signos y comparar todos los candidatos con las fronteras.
El criterio económico R′ = C′ y el criterio matemático B′ = 0 son la misma ecuación, no dos pruebas independientes.
09 · Promedio no es margen
Costo medio y costo marginal
El costo medio reparte el costo total entre las unidades producidas. El costo marginal mide cómo cambia el total al producir un poco más.
Minimizar costo medio no equivale necesariamente a maximizar beneficio. Son funciones objetivo distintas.
Los costos fijos afectan fuertemente el promedio a baja producción, pero su derivada es cero y no modifican directamente el costo marginal.
10 · Beneficio cero
Puntos de equilibrio y cantidad óptima
Los puntos de equilibrio satisfacen:
Indican dónde no hay ganancia ni pérdida. No deben confundirse con el máximo de beneficio, que satisface B′(q)=0.
En el modelo principal, las cantidades de equilibrio son:
El beneficio es positivo entre ambas raíces y alcanza su máximo en un punto intermedio.
11 · Ejemplo completo
Determinar la producción óptima
Usamos:
El precio no debe ser negativo, por lo que adoptamos 0 ≤ q ≤ 400.
La ecuación B′(q)=0 produce q=120.
12 · Interpretar el óptimo
Precio, ingreso, costo y beneficio
Como B″(q)=−0,5<0, el candidato es un máximo. Al compararlo con las fronteras:
| q | B(q) | Interpretación |
|---|---|---|
0 | −500 | Pérdida igual al costo fijo |
120 | 3100 | Máximo absoluto |
400 | −16500 | Precio nulo y costo elevado |
En q=120:
- precio:
p(120)=56; - ingreso:
R(120)=6720; - costo:
C(120)=3620; - beneficio:
B(120)=3100; - ingreso y costo marginal:
R′(120)=C′(120)=32.
13 · Mirada computacional
Producción entera, mediciones y supuestos
Si q debe ser entero, se comparan los enteros factibles próximos al candidato continuo. También conviene:
- calcular diferencias exactas
C(q+1)−C(q); - comprobar que el precio modelado siga siendo válido;
- actualizar parámetros con mediciones recientes;
- incorporar límites de capacidad;
- probar sensibilidad ante variaciones de costos y demanda.
El óptimo del modelo no garantiza una decisión empresarial completa: solo responde la función y las restricciones definidas.
14 · Exploración interactiva
Laboratorio: costo, ingreso y beneficio
Modificá la producción y el costo fijo. Observá cómo el costo fijo desplaza el beneficio sin cambiar las funciones marginales ni la cantidad estacionaria.
Totales y márgenes
B(q) = −0,25q² + 60q − 500
Ingreso marginal y costo marginal coinciden en el máximo.
El gráfico representa costo, ingreso y beneficio. El marcador amarillo señala la cantidad que maximiza el beneficio.
Preguntas para explorar
- Mové
qa ambos lados de 120 y compará ingreso y costo marginal. - Aumentá el costo fijo. ¿Cambia la cantidad donde
IM = CM? - ¿Cómo cambian los puntos de equilibrio al aumentar el costo fijo?
- Buscá una cantidad con ingreso alto pero beneficio menor que en 120.
15 · Implementación
Calcular todas las métricas del modelo
function metricas(q, costoFijo = 500) {
const precio = 80 - 0.2 * q;
const ingreso = q * precio;
const costo = costoFijo + 20 * q + 0.05 * q ** 2;
const beneficio = ingreso - costo;
const ingresoMarginal = 80 - 0.4 * q;
const costoMarginal = 20 + 0.1 * q;
return { q, precio, ingreso, costo, beneficio, ingresoMarginal, costoMarginal };
}
for (const q of [0, 60, 120, 180, 400]) {
console.log(metricas(q));
}Comparar margen derivado y diferencia exacta
function costo(q) {
return 500 + 20 * q + 0.05 * q ** 2;
}
function costoMarginal(q) {
return 20 + 0.1 * q;
}
for (const q of [10, 100, 200]) {
const diferenciaExacta = costo(q + 1) - costo(q);
const aproximacion = costoMarginal(q);
console.log({ q, diferenciaExacta, aproximacion, error: diferenciaExacta - aproximacion });
}16 · Comprensión
Confusiones frecuentes
«Ingreso y beneficio son lo mismo»
El beneficio resta todos los costos al ingreso.
«R(q) es el precio unitario»
Si el precio depende de la cantidad, el ingreso es q·p(q).
«IM = CM garantiza siempre el máximo»
Solo genera un candidato interior. Deben comprobarse concavidad, dominio y fronteras.
«El punto de equilibrio maximiza el beneficio»
Allí el beneficio vale cero. El máximo normalmente ocurre entre los puntos de equilibrio.
«Costo medio y costo marginal son intercambiables»
Uno es un cociente total por unidad y el otro una tasa de cambio.
«La derivada da exactamente el costo de la siguiente unidad»
Es una aproximación local; la diferencia C(q+1)−C(q) es exacta para el paso entero.
17 · Práctica guiada
Ejercicios de aplicación
Ejercicio 1: construir el beneficio
Si p(q)=50−0,1q y C(q)=300+10q, escribí R(q) y B(q).
Ver solución
R(q)=50q−0,1q² y B(q)=−0,1q²+40q−300.
Ejercicio 2: condición marginal
Para el modelo anterior, hallá el candidato que maximiza beneficio.
Ver solución
B′(q)=40−0,2q, así que q=200. Como B″(q)=−0,2<0, es un máximo local.
Ejercicio 3: interpretar signos
En cierta cantidad se cumple R′(q)=45 y C′(q)=38. ¿Conviene aumentar ligeramente la producción?
Ver respuesta
Según el modelo, sí: B′(q)=7>0, por lo que el beneficio aumenta localmente.
Ejercicio 4: costo fijo
¿Qué efecto tiene aumentar solo el costo fijo sobre C′ y el candidato R′=C′?
Ver respuesta
No cambia C′ porque la derivada de una constante es cero. El candidato interior permanece, aunque el beneficio baja y pueden cambiar los puntos de equilibrio.
Ejercicio 5: diferencia exacta
Para C(q)=q², compará C′(10) con C(11)−C(10).
Ver respuesta
C′(10)=20, mientras la diferencia exacta es 121−100=21. La derivada aproxima el cambio alrededor de 10.
18 · Síntesis
Ideas para recordar
- El beneficio es ingreso menos costo.
- Con demanda variable, el ingreso es cantidad por precio.
- Las derivadas marginales tienen unidades por unidad producida.
- En un candidato interior de beneficio,
R′ = C′. - La concavidad y las fronteras completan la justificación.
- Costo medio y costo marginal responden preguntas distintas.
- Los puntos de equilibrio satisfacen
B=0, noB′=0. - La versión discreta debe comparar cantidades enteras factibles.
En el próximo tema trasladaremos estas ideas a la optimización de parámetros en programas, combinando rendimiento, memoria y calidad.