Optimización de parámetros en programas

01 · Una decisión dentro del código

Los parámetros también son variables de optimización

Muchos programas exponen decisiones numéricas: tamaño de lote, cantidad de hilos, nivel de compresión, capacidad de una caché, número de iteraciones o intervalo entre actualizaciones. Elegirlas por costumbre puede desperdiciar recursos o degradar el resultado.

Representaremos con x un parámetro configurable y con J(x) el costo que queremos minimizar. El significado de «costo» depende del problema: puede ser tiempo, memoria, consumo, error o una combinación de varias métricas.

02 · Del sistema al modelo

Un ciclo de optimización reproducible

1. Elegir el parámetro controlable x.
2. Definir las métricas observables y sus unidades.
3. Fijar el dominio factible y las restricciones duras.
4. Construir o ajustar una función objetivo J(x).
5. Hallar y clasificar los candidatos matemáticos.
6. Traducir la solución a valores admitidos por el programa.
7. Validar con mediciones nuevas y monitorear cambios.

El ciclo puede repetirse cuando cambian los datos, el hardware, la carga o los requisitos del producto.

03 · Qué significa «mejor»

Rendimiento, memoria y calidad

Una optimización útil comienza con métricas precisas. Por ejemplo:

«El programa se siente rápido» no es una función objetivo. «Minimizar la latencia p95 con menos de 512 MiB y error menor que 2 %» sí describe una decisión comprobable.

04 · Una sola métrica

Objetivo simple y restricciones duras

Cuando existe una prioridad clara, conviene mantener un objetivo único. Si T(x) es la latencia, podemos plantear:

M representa memoria y E error. Las cotas no son preferencias: cualquier valor que las viole queda fuera del dominio factible.

Este enfoque conserva una interpretación directa y evita esconder un incumplimiento grave detrás de una mejora en otra métrica.

05 · Varios objetivos

Construir una función de costo compuesta

Si los compromisos son graduales, podemos convertir todas las métricas a costos y formar una suma ponderada:

Los símbolos con tilde indican métricas normalizadas. Los pesos no son «constantes mágicas»: expresan cuánto sacrificio en una dimensión aceptamos para mejorar otra.

• Una métrica que queremos maximizar puede transformarse en costo, por ejemplo −R(x) o 1/R(x).
• Todos los pesos deben ser no negativos si cada término representa una penalización.
• Multiplicar todos los pesos por la misma constante cambia la escala de J, pero no su mínimo.

06 · Comparar magnitudes

Normalizar antes de sumar

No tiene sentido sumar directamente 180 milisegundos, 400 MiB y 0,03 de error. Además, la métrica con los números más grandes dominaría el cálculo por una elección accidental de unidades.

Una normalización sencilla usa un valor de referencia:

Así los términos son adimensionales. Otra alternativa es medir la variación relativa respecto de una configuración base. La fórmula elegida y sus referencias deben guardarse junto con el experimento.

07 · Modelo de trabajo

Esfuerzo computacional frente a error

Supongamos que x representa una cantidad de pasadas, muestras o unidades de esfuerzo. Más esfuerzo reduce el error, pero aumenta el consumo de tiempo y memoria. En el intervalo 4 ≤ x ≤ 100 usamos:

El primer término decrece cada vez más lentamente. El segundo crece linealmente. El mínimo equilibra el beneficio marginal de aumentar el esfuerzo con su costo marginal.

08 · Solución analítica

Derivar, resolver y clasificar

La condición estacionaria es:

Descartamos x=−40 porque el esfuerzo no puede ser negativo. Para x>0:

La función es estrictamente convexa; por lo tanto, el punto estacionario es el único mínimo. Además, 40 pertenece al intervalo factible.

09 · Leer el resultado

Igualar cambios marginales

En x=40, los dos términos valen:

Más importante que esa igualdad de niveles es la igualdad de magnitudes marginales:

Una pequeña mejora adicional en calidad compensa exactamente el aumento local del costo de recursos. Antes de 40 domina la mejora de calidad; después domina la penalización de recursos.

10 · Restricciones activas

Cuando el óptimo queda fuera del dominio

Para el modelo general J(x)=a/x+kx, con a,k>0, el candidato es:

Si el programa solo admite L ≤ x ≤ U, la solución continua se recorta al intervalo:

Por ejemplo, con un límite de memoria que impone x≤32, el mínimo factible está en x=32, aunque J′(32)<0. La frontera impide seguir mejorando el objetivo.

11 · Del cálculo a la configuración

Parámetros enteros y valores permitidos

Muchos parámetros no son continuos. Un número de hilos debe ser entero; un tamaño de bloque puede admitir solo potencias de dos; una biblioteca puede ofrecer una lista cerrada de niveles.

Después de obtener x*, se evalúan los valores permitidos cercanos. Si solo se aceptan potencias de dos, alrededor de 40 comparamos:

La mejor configuración disponible es x=32. Redondear a ciegas no alcanza cuando el conjunto permitido tiene saltos o la función es asimétrica.

12 · Qué tan estable es la decisión

Análisis de sensibilidad

En x*=√(a/k), aumentar la penalización de recursos k desplaza el óptimo hacia valores menores. Aumentar la importancia de la calidad a lo desplaza hacia valores mayores.

Si varios valores tienen costos casi iguales, conviene elegir el más simple, robusto o económico de operar. Una cifra decimal extra en el óptimo no implica una mejora relevante.

13 · Datos reales

Benchmarking sin engañarse

Las funciones de un sistema real suelen estimarse con mediciones. Para que el modelo sea confiable:

• usar una carga representativa y fijar versiones, hardware y configuración;
• hacer calentamiento antes de medir código con JIT, cachés o pools;
• repetir ejecuciones y registrar dispersión, no solo el promedio;
• separar datos de ajuste y validación;
• aleatorizar el orden de configuraciones para reducir sesgos temporales;
• medir percentiles de latencia cuando importan los casos lentos.

Una curva suave es una aproximación de observaciones ruidosas. El mínimo estimado debe validarse contra configuraciones vecinas mediante nuevas ejecuciones.

14 · Exploración interactiva

Laboratorio: calidad frente a recursos

Modificá el esfuerzo y la penalización por recursos. El punto amarillo indica el mínimo continuo para el valor actual de k.

El gráfico compara la penalización por error, la penalización por recursos y su suma en el intervalo de 4 a 100.

Preguntas para explorar

1. Mové x a ambos lados de 40. ¿Qué término domina el costo?
2. Aumentá k. ¿Por qué el mínimo se desplaza hacia la izquierda?
3. Compará el costo del óptimo con los enteros vecinos.
4. Si solo se admitieran 8, 16, 32, 64 y 100, ¿qué valor elegirías?

15 · Implementación

Calcular el óptimo y respetar el dominio

function costo(x, calidad = 120, recursos = 0.075) {
  if (x <= 0) return Infinity;
  return calidad / x + recursos * x;
}

function optimoContinuo({ calidad = 120, recursos = 0.075, min = 4, max = 100 } = {}) {
  if (calidad <= 0 || recursos <= 0 || min <= 0 || min > max) {
    throw new RangeError("Parámetros inválidos");
  }

  const candidato = Math.sqrt(calidad / recursos);
  const x = Math.min(max, Math.max(min, candidato));
  return { x, costo: costo(x, calidad, recursos), candidato };
}

console.log(optimoContinuo());
// { x: 40, costo: 6, candidato: 40 }

Elegir entre configuraciones permitidas

function costo(x, calidad = 120, recursos = 0.075) {
  if (x <= 0) return Infinity;
  return calidad / x + recursos * x;
}

function mejorPermitido(valores, funcionCosto) {
  if (valores.length === 0) throw new Error("No hay configuraciones");

  return valores.reduce((mejor, x) => {
    const actual = { x, costo: funcionCosto(x) };
    return actual.costo < mejor.costo ? actual : mejor;
  }, { x: null, costo: Infinity });
}

const permitidos = [8, 16, 32, 64, 100];
console.log(mejorPermitido(permitidos, x => costo(x)));
// { x: 32, costo: 6.15 }

16 · Lo que el modelo no garantiza

No todas las curvas son suaves o unimodales

En software aparecen discontinuidades por recolección de basura, paginación, vectorización, límites de caché o cambios de algoritmo. También puede haber varios mínimos locales y mesetas.

Si las mediciones contradicen la forma supuesta, no debemos forzar el cálculo diferencial. Una búsqueda en grilla, un modelo por tramos o un método sin derivadas puede ser más apropiado. El siguiente tema desarrollará la búsqueda exhaustiva.

Además, optimizar una carga fija puede producir sobreajuste: la configuración ganadora del benchmark quizá no generalice a producción.

17 · Comprensión

Confusiones frecuentes

18 · Práctica guiada

Ejercicios de aplicación

Ejercicio 1: localizar el mínimo

Sea J(x)=200/x+0,08x, con 5≤x≤80. Hallá el candidato continuo.

Ejercicio 2: frontera activa

En el ejercicio anterior, una restricción de memoria obliga a usar x≤32. ¿Cuál es el mínimo factible?

Ejercicio 3: conjunto discreto

Para el modelo principal, compará x=32 y x=48.

Ejercicio 4: transformar un objetivo

Si R(x)>0 es el rendimiento que queremos maximizar, mencioná dos formas de expresarlo como costo.

Ejercicio 5: diseñar un experimento

¿Por qué conviene alternar aleatoriamente el orden de las configuraciones durante un benchmark?

19 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema construiremos una búsqueda exhaustiva sobre una grilla, útil cuando no conocemos la derivada o solo podemos evaluar el programa.