Sólidos de revolución: capas cilíndricas

01 · Punto de partida

Una tira paralela al eje genera una pared cilíndrica

En los métodos de discos y arandelas usamos cortes perpendiculares al eje de rotación. El método de capas cilíndricas cambia la orientación: hace girar tiras paralelas al eje.

Una tira vertical situada a una distancia r de un eje vertical, con altura h y espesor Δx, genera una pared cilíndrica delgada. Su volumen aproximado es:

Al acumular todas las capas:

02 · De un tubo a una capa

La diferencia de cilindros revela la fórmula

Una capa de radio interior r, radio exterior r+Δr y altura h tiene volumen exacto:

Al desarrollar:

Cuando Δr es muy pequeño, el término cuadrático es comparativamente despreciable. Queda ΔV≈2πrhΔr, y el límite de la suma produce la integral.

03 · Anatomía de una capa

Radio, altura y espesor cumplen papeles distintos

El producto tiene unidades correctas: longitud por longitud por longitud da volumen. Omitir cualquiera de los tres factores cambia la dimensión del resultado.

04 · Construcción del integrando

El radio mira al eje; la altura mira a las fronteras

Para girar alrededor de una recta vertical x=c usando tiras verticales:

Por tanto:

El radio depende de la posición respecto del eje; la altura depende del segmento contenido en la región. Son distancias diferentes y deben obtenerse por separado.

05 · Orientación de las tiras

Las capas son paralelas al eje de giro

La palabra “altura” designa la longitud de la capa paralela al eje. Para capas horizontales, esa altura es una distancia horizontal.

06 · Método general

Del dibujo a la integral

1. 1
   Dibujar la región y el eje

   Determinar la posición relativa del eje y verificar si atraviesa la región.

2. 2
   Elegir tiras paralelas

   Verticales para un eje vertical; horizontales para uno horizontal.

3. 3
   Calcular el radio

   Medir la distancia perpendicular desde la tira hasta el eje.

4. 4
   Calcular la altura

   Restar las fronteras que forman los extremos de la tira.

5. 5
   Fijar límites y espesor

   Recorrer la región en la variable perpendicular al radio de la capa.

6. 6
   Integrar y verificar

   Evaluar 2π∫rh y revisar signo, unidades y posibles superposiciones.

07 · Ejemplo desarrollado

Región bajo y=x² alrededor del eje y

La región limitada por y=x², y=0, x=0 y x=2 gira alrededor del eje y.

1. Radio y altura

Una tira vertical situada en x tiene radio r(x)=x y altura h(x)=x²−0=x².

2. Aporte de una capa

3. Volumen

El resultado coincide con el método de arandelas, pero las capas permiten conservar la descripción original y=x² sin despejar x=√y.

08 · Altura entre dos curvas

La altura es superior menos inferior

La región entre y=2x e y=x², desde x=0 hasta x=2, gira alrededor del eje y.

En ese intervalo, la recta está arriba de la parábola:

La altura se anula en ambos extremos, donde las curvas se intersectan, y es positiva entre ellos.

09 · Eje desplazado

Mover el eje modifica todos los radios

Tomemos nuevamente la región bajo y=x² para 0≤x≤2, pero hagámosla girar alrededor de x=−1.

La altura permanece igual, pero la distancia hasta el eje aumenta una unidad:

Aunque la región plana no cambia, cada capa recorre una circunferencia mayor y el volumen aumenta.

10 · Integración respecto de y

Capas horizontales alrededor de un eje horizontal

La región entre x=y² y x=2y, para 0≤y≤2, gira alrededor del eje x. Una tira horizontal produce una capa.

El radio es r(y)=y y la altura horizontal es derecha menos izquierda:

La fórmula es la misma; solo cambian la interpretación de la altura, la variable y el espesor.

11 · Elección estratégica

Capas o arandelas pueden describir el mismo sólido

Ambos métodos deben producir el mismo volumen, pero no necesariamente con la misma dificultad algebraica.

La elección correcta no depende solo de si el eje es horizontal o vertical. Depende de qué orientación produce radios, alturas y límites más simples.

12 · Exploración

Laboratorio: acumular capas cilíndricas

Elegí un perfil de altura, la cantidad de capas y la posición del eje vertical. El eje se mantiene a la izquierda de la región para evitar superposiciones.

El gráfico superior muestra la altura de cada capa. El inferior representa el aporte por unidad de espesor, 2π por radio por altura, junto con la suma de puntos medios.

Preguntas para explorar

1. ¿Qué componente cambia cuando desplazás el eje: el radio, la altura o ambos?
2. ¿Por qué el perfil constante no produce un integrando constante?
3. ¿Dónde aporta más volumen el perfil de arco?
4. ¿Cómo evoluciona el error al duplicar sucesivamente la cantidad de capas?

13 · Implementación computacional

Aproximar volúmenes por capas

Una suma de puntos medios reproduce directamente 2π∫rh:

function volumenPorCapas(radio, altura, inicio, fin,
  particiones = 10000) {
  const paso = (fin - inicio) / particiones;
  let volumen = 0;

  for (let i = 0; i < particiones; i += 1) {
    const x = inicio + (i + 0.5) * paso;
    const r = radio(x);
    const h = altura(x);
    if (![r, h].every(Number.isFinite) || r < 0 || h < 0) {
      throw new Error("El radio y la altura deben ser no negativos");
    }
    volumen += 2 * Math.PI * r * h * paso;
  }
  return volumen;
}

const radio = x => x;
const altura = x => x ** 2;
console.log(volumenPorCapas(radio, altura, 0, 2).toFixed(6));
// 25.132741 ≈ 8π

Crear un radio desde un eje vertical

function volumenPorCapas(radio, altura, inicio, fin,
  particiones = 10000) {
  const paso = (fin - inicio) / particiones;
  let volumen = 0;
  for (let i = 0; i < particiones; i += 1) {
    const x = inicio + (i + 0.5) * paso;
    volumen += 2 * Math.PI * radio(x) * altura(x) * paso;
  }
  return volumen;
}

function distanciaAEjeVertical(ejeX) {
  return x => Math.abs(x - ejeX);
}

const radio = distanciaAEjeVertical(-1);
const altura = x => x ** 2;
const volumen = volumenPorCapas(radio, altura, 0, 2);

console.log(volumen.toFixed(6));
// 41.887902 ≈ 40π/3

Construir la altura entre dos curvas

function volumenPorCapas(radio, altura, inicio, fin,
  particiones = 10000) {
  const paso = (fin - inicio) / particiones;
  let volumen = 0;
  for (let i = 0; i < particiones; i += 1) {
    const x = inicio + (i + 0.5) * paso;
    volumen += 2 * Math.PI * radio(x) * altura(x) * paso;
  }
  return volumen;
}

function alturaEntre(superior, inferior) {
  return x => superior(x) - inferior(x);
}

const altura = alturaEntre(x => 2 * x, x => x ** 2);
const volumen = volumenPorCapas(x => x, altura, 0, 2);

console.log(volumen.toFixed(6));
// 8.377580 ≈ 8π/3

14 · Funciones por tramos

La altura puede cambiar de frontera

Si la curva superior o inferior cambia en x=c, se separa la integral:

El radio también puede requerir tramos si la distancia al eje cambia de expresión. Antes de integrar conviene localizar intersecciones y ordenar las fronteras en cada intervalo.

15 · Comprensión

Confusiones frecuentes

16 · Práctica guiada

Ejercicios de comprensión

Ejercicio 1: altura constante

La región 0≤x≤3, 0≤y≤2 gira alrededor del eje y. Usá capas.

Ejercicio 2: región triangular

La región bajo y=3−x, para 0≤x≤3, gira alrededor del eje y.

Ejercicio 3: eje desplazado

La misma región triangular gira alrededor de x=−2.

Ejercicio 4: capas horizontales

La región 0≤y≤2, 0≤x≤y gira alrededor del eje x.

Ejercicio 5: elegir una orientación

La región bajo y=√x, para 0≤x≤4, gira alrededor del eje y. ¿Qué ventaja ofrecen las capas?

17 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema compararemos secciones, discos, arandelas y capas para elegir el método más eficiente en cada problema.