21. Sólidos de revolución: arandelas | Aplicaciones de las Integrales

01 · Punto de partida

Cuando la región no toca el eje queda un hueco

Al girar un segmento separado del eje de rotación, no se obtiene un círculo lleno. El extremo más lejano traza un círculo exterior y el más cercano delimita una cavidad interior. La sección resultante se llama arandela.

Si R es el radio exterior y r el radio interior, con R≥r≥0, el área de la sección es:

A=πR²-πr²=π(R²-r²)

Al acumular estas áreas a lo largo del sólido:

V=π\int a b [R(x)²-r(x)²]dx

02 · De las rebanadas a la integral

Cada arandela delgada forma un cilindro hueco corto

Dividimos el intervalo [a,b] en partes de ancho Δx. En una posición xᵢ*, el volumen de la rebanada se aproxima mediante:

ΔVᵢ\approxπ[R(xᵢ*)²-r(xᵢ*)²]Δx

Al sumar y llevar el espesor a cero obtenemos la integral:

V=lim Σπ(Rᵢ²-rᵢ²)Δx=π\int a b (R²-r²)dx

1Medir radiosR y r 2Restar áreasπR²−πr² 3Acumular∫A

03 · La decisión central

Exterior e interior significan más lejos y más cerca del eje

Los radios no se eligen por cuál curva está “arriba” en el dibujo, sino por sus distancias al eje de rotación:

R: distancia desde el eje hasta la frontera más lejana.
r: distancia desde el eje hasta la frontera más cercana.

Para un eje horizontal y=k y fronteras y=f(x) e y=g(x), las distancias candidatas son:

d f =|f(x)-k|, d g =|g(x)-k|

Entonces R=max(d_f,d_g) y r=min(d_f,d_g), siempre que toda la región permanezca del mismo lado del eje.

04 · Álgebra del área

No es el cuadrado del espesor

Una confusión frecuente consiste en usar π(R−r)². Esa expresión calcula el área de un círculo cuyo radio es el grosor de la arandela, no el área de la corona circular.

π(R²-r²) \neq π(R-r)²

La diferencia de cuadrados también puede factorizarse:

R²-r²=(R-r)(R+r)

Esta forma muestra que el área depende tanto del grosor R−r como del tamaño medio de la arandela. Dos arandelas con igual grosor pueden tener áreas muy diferentes.

05 · Orientación de los cortes

Las arandelas son perpendiculares al eje

Variable y orientación para el método de arandelas.
Eje de giro	Cortes	Radios	Volumen
Horizontal: `y=k`	Verticales	`R(x)`, `r(x)`	`π∫(R²−r²)dx`
Vertical: `x=h`	Horizontales	`R(y)`, `r(y)`	`π∫(R²−r²)dy`

Si el eje es vertical, normalmente hay que escribir las fronteras como x en función de y. Cada radio debe estar expresado en la misma variable que el diferencial.

06 · Método general

Del dibujo a la integral

1
Dibujar región y eje
Ubicar todas las fronteras y verificar si la región está separada del eje.
2
Elegir cortes perpendiculares
Determinar si la integral debe escribirse en x o en y.
3
Medir el radio exterior
Usar la distancia desde el eje hasta la frontera más lejana.
4
Medir el radio interior
Usar la distancia hasta la frontera más cercana.
5
Construir y revisar el área
Comprobar que A=π(R²−r²)≥0 en todo el intervalo.
6
Integrar por los tramos necesarios
Evaluar y comprobar unidades cúbicas y orden de magnitud.

07 · Ejemplo desarrollado

Región entre `y=√x` e `y=x/2`

Las curvas se encuentran en x=0 y x=4. Para 0≤x≤4, la región gira alrededor del eje x.

1. Identificar los radios

La curva √x está más lejos del eje y la recta x/2 está más cerca:

R(x)=\sqrtx, r(x)=x/2

2. Construir el área

A(x)=π[(\sqrtx)²-(x/2)²]=π(x-x²/4)

3. Integrar

V=π\int 04 (x-x²/4)dx=8π/3

El volumen es aproximadamente 8,378 unidades cúbicas. La sección se cierra en ambos extremos porque allí los dos radios coinciden.

08 · Eje desplazado

“Arriba” no siempre significa radio exterior

La región entre y=x² e y=x, para 0≤x≤1, gira alrededor de y=3. El eje está por encima de ambas curvas.

La parábola es la frontera inferior y, por ello, queda más lejos del eje. La recta queda más cerca:

R(x)=3-x², r(x)=3-x

V=π\int 01 [(3-x²)²-(3-x)²]dx=13π/15

Este ejemplo confirma que los radios se ordenan por distancia al eje, no por la posición vertical habitual de las curvas.

09 · Integración respecto de y

Arandelas alrededor de un eje vertical

En el primer cuadrante, la región entre x=y y x=√y, para 0≤y≤1, gira alrededor del eje y.

Los cortes son horizontales. Como √y≥y en el intervalo:

R(y)=\sqrty, r(y)=y

V=π\int 01 (y-y²)dy=π/6

Los límites son valores de y, los radios son funciones de y y el espesor es dy: las tres partes deben ser coherentes.

10 · Cambios de geometría

Discos, arandelas y tramos pueden convivir

Si el eje atraviesa la región en algunas posiciones pero no en otras, el tipo de sección cambia. Puede ser necesario combinar:

V=π\int a c R(x)²dx+π\int c b [R(x)²-r(x)²]dx

También se divide cuando cambia cuál frontera está más lejos del eje. Los puntos críticos se obtienen al intersectar curvas, al intersectar una frontera con el eje o al igualar distancias al eje.

11 · Exploración

Laboratorio: abrir y cerrar una cavidad

Elegí un par de perfiles, la cantidad de rebanadas y la apertura del hueco. Con apertura cero, el radio interior desaparece y las arandelas se convierten en discos.

EXPERIMENTO 21

Área exterior menos área interior

R(x)=√x · r(x)=x/2

Perfiles Arandelas: 8 Apertura del hueco: 100%

Espesor Δx0,500

Área máxima3,142

Suma de arandelas8,443

Volumen integral8,378

Con 8 arandelas, el error absoluto es aproximadamente 0,065 unidades cúbicas.

El gráfico superior compara los radios exterior e interior. El inferior muestra el área π por la diferencia de sus cuadrados y las rebanadas de la suma de puntos medios.

Preguntas para explorar

¿Qué fórmula queda cuando la apertura del hueco vale cero?
En el tubo, ¿por qué cualquier cantidad de arandelas produce el valor exacto?
¿La suma inicial para los perfiles curvos sobreestima o subestima el volumen?
En el perfil valle, ¿dónde es máxima el área de la arandela?

12 · Implementación computacional

Aproximar volúmenes por arandelas

El integrador recibe por separado las funciones de radio exterior e interior:

function volumenPorArandelas(exterior, interior, inicio, fin,
  particiones = 10000) {
  const dx = (fin - inicio) / particiones;
  let volumen = 0;

  for (let i = 0; i < particiones; i += 1) {
    const x = inicio + (i + 0.5) * dx;
    const R = exterior(x);
    const r = interior(x);

    if (![R, r].every(Number.isFinite) || R < r || r < 0) {
      throw new Error("Se requiere R ≥ r ≥ 0");
    }
    volumen += Math.PI * (R ** 2 - r ** 2) * dx;
  }
  return volumen;
}

const R = x => Math.sqrt(x);
const r = x => x / 2;
console.log(volumenPorArandelas(R, r, 0, 4).toFixed(6));
// 8.377580 ≈ 8π/3

Crear radios para un eje horizontal desplazado

function volumenPorArandelas(exterior, interior, inicio, fin,
  particiones = 10000) {
  const dx = (fin - inicio) / particiones;
  let volumen = 0;
  for (let i = 0; i < particiones; i += 1) {
    const x = inicio + (i + 0.5) * dx;
    volumen += Math.PI *
      (exterior(x) ** 2 - interior(x) ** 2) * dx;
  }
  return volumen;
}

function radiosDesdeEje(curvaLejana, curvaCercana, ejeY) {
  return {
    exterior: x => Math.abs(curvaLejana(x) - ejeY),
    interior: x => Math.abs(curvaCercana(x) - ejeY)
  };
}

const radios = radiosDesdeEje(x => x ** 2, x => x, 3);
const volumen = volumenPorArandelas(
  radios.exterior, radios.interior, 0, 1
);
console.log(volumen.toFixed(6));
// 2.722714 ≈ 13π/15

Detectar un orden incorrecto

function comprobarRadios(exterior, interior, inicio, fin, muestras = 1000) {
  for (let i = 0; i <= muestras; i += 1) {
    const x = inicio + i / muestras * (fin - inicio);
    const R = exterior(x);
    const r = interior(x);
    if (R < r || r < 0) return { valido: false, x, R, r };
  }
  return { valido: true };
}

console.log(comprobarRadios(x => Math.sqrt(x), x => x / 2, 0, 4));
// { valido: true }

13 · Controles del resultado

Cómo revisar el modelo antes de confiar en él

Positividad

El área π(R²−r²) debe ser no negativa. Si aparece negativa, los radios están invertidos o las fórmulas solo sirven en parte del intervalo.

Cotas

El volumen de arandelas nunca puede superar al obtenido con discos de radio R(x). Además, si R≤M en una longitud L, entonces V≤πM²L.

Unidades

Los radios se miden en unidades de longitud, su diferencia de cuadrados en unidades cuadradas y la integral en unidades cúbicas.

Casos conocidos

Si R y r son constantes, se obtiene un tubo recto: V=π(R²−r²)L. Si r=0, la fórmula se reduce al método de discos.

14 · Comprensión

Confusiones frecuentes

«El área es π(R−r)²»

La cavidad se elimina restando dos áreas: πR²−πr²=π(R²−r²).

«La función superior siempre da R»

Solo cuando el eje horizontal queda debajo de ambas curvas. Si está arriba, la frontera inferior puede producir el radio exterior.

«R y r son los valores de las curvas»

Son distancias hasta el eje. Para y=k deben calcularse a partir de |f(x)−k|.

«Al girar alrededor del eje y se integra en x»

Con arandelas, los cortes son perpendiculares al eje. Para un eje vertical suelen requerir dy.

«Una sola fórmula sirve aunque cambie la frontera más lejana»

Cuando los radios cambian de definición, hay que separar la integral en los puntos de transición.

«Si R=r en un extremo, el planteo está mal»

En ese punto el área es cero. Esto puede describir correctamente el cierre del sólido.

15 · Práctica guiada

Ejercicios de comprensión

Ejercicio 1: tubo cilíndrico

Una región entre y=1 e y=3, para 0≤x≤5, gira alrededor del eje x.

Ver solución

R=3 y r=1. Entonces V=π∫₀⁵(9−1)dx=40π unidades³.

Ejercicio 2: dos rectas

La región entre y=x+1 e y=1, para 0≤x≤2, gira alrededor del eje x.

Ver solución

R=x+1 y r=1. Así, V=π∫₀²[(x+1)²−1]dx=20π/3 unidades³.

Ejercicio 3: eje por encima

La región entre y=0 e y=x, para 0≤x≤1, gira alrededor de y=2.

Ver solución

La frontera y=0 está más lejos: R=2, r=2−x. Luego V=π∫₀¹[4−(2−x)²]dx=5π/3.

Ejercicio 4: respecto de y

La región entre x=1 y x=1+y, para 0≤y≤3, gira alrededor del eje y.

Ver solución

R(y)=1+y, r(y)=1. Por tanto, V=π∫₀³[(1+y)²−1]dy=18π.

Ejercicio 5: elegir entre disco y arandela

La región entre y=−1 e y=2 gira alrededor del eje x. ¿Su sección es una arandela de radios 2 y 1?

Ver solución

No. El segmento atraviesa el eje, así que la rotación llena todo el círculo de radio 2. La sección es un disco; no debe restarse ninguna cavidad.

16 · Síntesis

Ideas para recordar

Una región separada del eje genera arandelas al girar.
El radio exterior llega hasta la frontera más lejana; el interior, hasta la más cercana.
Ambos radios son distancias al eje de rotación.
El área correcta es π(R²−r²), no π(R−r)².
Las arandelas se toman perpendiculares al eje de giro.
Un eje horizontal suele conducir a dx; uno vertical, a dy.
Si una frontera cambia de función o de papel, la integral se divide.
Cuando r=0, el método se reduce al de discos.
Comprobar R≥r≥0 ayuda a validar el modelo.

En el próximo tema calcularemos volúmenes mediante capas cilíndricas, usando rebanadas paralelas al eje de rotación.

Cuando la región no toca el eje queda un hueco

Cada arandela delgada forma un cilindro hueco corto

Exterior e interior significan más lejos y más cerca del eje

No es el cuadrado del espesor

Las arandelas son perpendiculares al eje

Del dibujo a la integral

Región entre y=√x e y=x/2

1. Identificar los radios

2. Construir el área

3. Integrar

“Arriba” no siempre significa radio exterior

Arandelas alrededor de un eje vertical

Discos, arandelas y tramos pueden convivir

Laboratorio: abrir y cerrar una cavidad

Área exterior menos área interior

Preguntas para explorar

Aproximar volúmenes por arandelas

Crear radios para un eje horizontal desplazado

Detectar un orden incorrecto

Cómo revisar el modelo antes de confiar en él

Positividad

Cotas

Unidades

Casos conocidos

Confusiones frecuentes

Ejercicios de comprensión

Ejercicio 1: tubo cilíndrico

Ejercicio 2: dos rectas

Ejercicio 3: eje por encima

Ejercicio 4: respecto de y

Ejercicio 5: elegir entre disco y arandela

Ideas para recordar

Región entre `y=√x` e `y=x/2`