Sólidos de revolución: discos

01 · Punto de partida

Al girar una región aparecen cortes circulares

Consideremos la región situada entre una curva y=f(x), el eje x y las rectas x=a y x=b. Si la hacemos girar alrededor del eje x, cada segmento vertical de la región barre un círculo lleno.

Ese círculo es la cara de un disco delgado. Su radio es la distancia desde el eje de rotación hasta la curva:

Como el área de un círculo es πR², el volumen del sólido es:

02 · De las sumas a la integral

Un disco delgado se parece a un cilindro

Dividimos [a,b] en pequeños intervalos de ancho Δx. En el intervalo i, el radio cambia muy poco y la rebanada se aproxima mediante un cilindro:

Sumando los cilindros y haciendo que el ancho tienda a cero:

03 · Condición geométrica

La región debe llegar hasta el eje

Un corte produce un disco cuando el segmento que gira tiene un extremo sobre el eje de rotación. Así, la rotación llena desde el centro hasta el borde exterior.

En este tema trabajamos con el primer caso. Las arandelas y las capas cilíndricas se desarrollarán en los temas siguientes.

04 · La decisión central

El radio es una distancia al eje de rotación

Si el eje es una recta horizontal y=k, la distancia vertical desde un punto de la curva y=f(x) es:

Si el eje es una recta vertical x=h y usamos segmentos horizontales, con frontera x=g(y):

El valor absoluto expresa una distancia. Al elevar al cuadrado, |f(x)−k|²=[f(x)−k]², pero pensar primero en la distancia evita escoger una frontera incorrecta.

05 · Orientación de los cortes

Los discos son perpendiculares al eje de giro

La dirección de las rebanadas determina la variable de integración:

Para girar alrededor del eje y mediante discos, puede ser necesario despejar x como función de y. Por ejemplo, y=x² con x≥0 se escribe x=√y.

06 · Método general

Del dibujo a la integral

1. 1
   Dibujar la región y el eje

   Confirmar que la región toca el eje de giro en cada corte.

2. 2
   Elegir cortes perpendiculares

   Verticales para un eje horizontal; horizontales para uno vertical.

3. 3
   Expresar el radio

   Calcular la distancia entre la curva y el eje en la variable elegida.

4. 4
   Construir el área

   Usar A=πR², con paréntesis antes de elevar al cuadrado.

5. 5
   Fijar límites e integrar

   Recorrer el sólido en la misma variable de las rebanadas.

6. 6
   Comprobar

   Verificar positividad, unidades cúbicas y orden de magnitud.

07 · Ejemplo desarrollado

Girar y=√x alrededor del eje x

La región bajo y=√x, sobre el eje x, entre x=0 y x=4, gira alrededor del eje x.

1. Radio

La distancia desde y=0 hasta la curva es R(x)=√x.

2. Área de la sección

3. Volumen

El sólido es un paraboloide de revolución de longitud 4 y radio final 2. Su volumen, aproximadamente 25,133 unidades cúbicas, queda por debajo del cilindro envolvente de volumen π·2²·4=16π.

08 · Eje desplazado

Girar una región alrededor de y=3

La región comprendida entre y=x² y y=3, para 0≤x≤√3, gira alrededor de y=3. Como el borde superior coincide con el eje, las secciones son discos.

El radio es la distancia vertical desde y=3 hasta y=x²:

Hay que elevar toda la distancia al cuadrado:

El desarrollo usa (3−x²)²=9−6x²+x⁴. Omitir los paréntesis cambiaría completamente el modelo.

09 · Integración respecto de y

Discos alrededor de un eje vertical

La región limitada por y=x², el eje y y y=4, situada con x≥0, gira alrededor del eje y. Los cortes perpendiculares al eje son horizontales.

Despejamos la frontera derecha: x=√y. Por tanto:

Es el mismo paraboloide del ejemplo anterior, descrito mediante otra orientación geométrica.

10 · Radios por tramos

Cuando cambia la frontera, cambia la integral

Si el borde exterior del sólido está definido por distintas curvas, el radio también lo está. Si el cambio ocurre en x=c:

Los puntos de separación se obtienen de las intersecciones entre fronteras o de los cambios explícitos en la definición. La integral no puede atravesar un cambio de radio usando una fórmula que ya dejó de describir el borde.

11 · Exploración

Laboratorio: construir un sólido con discos

Elegí un perfil de radio y la cantidad de discos. La curva representa R(x); los rectángulos muestran los radios usados por la suma de puntos medios.

La mitad superior muestra el perfil de radio. La mitad inferior muestra el área circular πR² y los rectángulos que aproximan su integral.

Preguntas para explorar

1. ¿Por qué el perfil R(x)=√x da una aproximación exacta con puntos medios?
2. ¿Cómo cambia el volumen cuando duplicás la escala del radio?
3. Para R(x)=x/2, ¿la suma sobreestima o subestima el volumen?
4. ¿Dónde se encuentra el disco más grande del perfil semicircular?

12 · Implementación computacional

Aproximar volúmenes por discos

Una suma de puntos medios implementa directamente la definición geométrica:

function volumenPorDiscos(radio, inicio, fin, particiones = 10000) {
  const dx = (fin - inicio) / particiones;
  let volumen = 0;

  for (let i = 0; i < particiones; i += 1) {
    const x = inicio + (i + 0.5) * dx;
    const r = radio(x);
    if (!Number.isFinite(r) || r < 0) {
      throw new Error("El radio debe ser finito y no negativo");
    }
    volumen += Math.PI * r ** 2 * dx;
  }
  return volumen;
}

const radio = x => Math.sqrt(x);
console.log(volumenPorDiscos(radio, 0, 4).toFixed(6));
// 25.132741 ≈ 8π

Construir el radio desde la curva y el eje

function volumenPorDiscos(radio, inicio, fin, particiones = 10000) {
  const dx = (fin - inicio) / particiones;
  let volumen = 0;
  for (let i = 0; i < particiones; i += 1) {
    const x = inicio + (i + 0.5) * dx;
    volumen += Math.PI * radio(x) ** 2 * dx;
  }
  return volumen;
}

function distanciaAlEje(curva, nivelDelEje) {
  return x => Math.abs(curva(x) - nivelDelEje);
}

const curva = x => x ** 2;
const radio = distanciaAlEje(curva, 3);
const volumen = volumenPorDiscos(radio, 0, Math.sqrt(3));

console.log(volumen.toFixed(6));
// 26.118420 ≈ 24π√3/5

Comprobar la convergencia

function volumenPorDiscos(radio, inicio, fin, particiones = 10000) {
  const dx = (fin - inicio) / particiones;
  let volumen = 0;
  for (let i = 0; i < particiones; i += 1) {
    const x = inicio + (i + 0.5) * dx;
    volumen += Math.PI * radio(x) ** 2 * dx;
  }
  return volumen;
}

const radioCono = x => x / 2;
const exacto = 4 * Math.PI / 3;

for (const n of [2, 4, 8, 16, 32, 64]) {
  const aproximado = volumenPorDiscos(radioCono, 0, 4, n);
  console.log(n, aproximado.toFixed(6),
    "error:", Math.abs(exacto - aproximado).toExponential(2));
}

13 · Controles del resultado

Tres formas rápidas de detectar errores

Unidades

R² tiene unidades cuadradas y dx una unidad de longitud; por tanto, πR²dx tiene unidades cúbicas.

Cota mediante un cilindro

Si 0≤R(x)≤M en un intervalo de longitud L, entonces 0≤V≤πM²L. Un resultado mayor que el cilindro envolvente indica un error.

Casos conocidos

Un radio constante R reproduce el cilindro: V=πR²(b−a). Un radio lineal que parte de cero reproduce el cono: V=(1/3)πR²H.

14 · Comprensión

Confusiones frecuentes

15 · Práctica guiada

Ejercicios de comprensión

Ejercicio 1: cilindro

La región bajo y=3, entre x=0 y x=5, gira alrededor del eje x. Calculá el volumen.

Ejercicio 2: cono

La región bajo y=x, para 0≤x≤2, gira alrededor del eje x.

Ejercicio 3: eje horizontal desplazado

La región entre y=x e y=2, para 0≤x≤2, gira alrededor de y=2.

Ejercicio 4: integración en y

La región entre x=y² y el eje y, para 0≤y≤2, gira alrededor del eje y.

Ejercicio 5: decidir el método

La región entre y=1 e y=3, para 0≤x≤4, gira alrededor del eje x. ¿Se usa un solo disco?

16 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema extenderemos el método a los sólidos de revolución mediante arandelas, restando el área de una cavidad interior.