Volúmenes mediante secciones transversales

01 · Punto de partida

Un sólido puede reconstruirse a partir de sus cortes

Imaginemos cortar un objeto con planos paralelos. Cada posición produce una figura plana con cierta área. Si conocemos cómo cambia esa área a lo largo del objeto, podemos recuperar su volumen.

Si A(x) es el área de la sección perpendicular al eje x, entre x=a y x=b:

La fórmula es general: los cortes pueden ser cuadrados, triángulos, semicírculos, figuras irregulares o áreas obtenidas a partir de datos.

02 · Aproximación por prismas

Cada rebanada delgada se parece a un prisma

Dividimos [a,b] en intervalos de ancho Δx. En el intervalo i, elegimos un punto xᵢ* y aproximamos la rebanada mediante un prisma:

La suma de todos los prismas es:

Cuando el espesor máximo tiende a cero y A es integrable, la suma de Riemann converge a ∫ₐᵇA(x)dx.

03 · Modelo diferencial

Área por espesor produce volumen

El aporte elemental de una sección es:

Este producto tiene una interpretación geométrica directa: una cara de área A(x) extruida un pequeño espesor dx.

04 · Análisis dimensional

Las dimensiones comprueban la fórmula

Si A(x) se mide en cm² y dx en cm:

La integral debe producir unidades cúbicas. Una expresión que termina en cm² todavía representa área; una que mezcla metros cuadrados con centímetros requiere conversión previa.

05 · Geometría de los cortes

La anchura de la base determina una dimensión

Si la base del sólido está entre y=f(x) e y=g(x), con f≥g, la anchura vertical es:

El enunciado indica cómo esa anchura se convierte en área:

Confundir radio con diámetro o lado con altura cambia el área y, por tanto, todo el volumen.

06 · Método general

Del enunciado a la integral

1. 1
   Identificar el eje de apilamiento

   Determinar si los cortes son perpendiculares a x o a y.

2. 2
   Encontrar los límites

   Ubicar dónde comienza y termina el sólido.

3. 3
   Medir una dimensión del corte

   Expresarla usando las fronteras de la base.

4. 4
   Construir A

   Aplicar la fórmula geométrica de la sección completa.

5. 5
   Integrar y verificar

   Calcular ∫A y comprobar unidades y signo.

07 · Dimensiones indirectas

La semejanza puede revelar el tamaño del corte

No siempre se entrega directamente el lado o radio. En pirámides, conos y recipientes inclinados, una dimensión puede variar linealmente por triángulos semejantes.

Si el radio crece desde 0 hasta R a lo largo de una altura H, entonces:

Luego el área circular es A(x)=π[R x/H]². La relación lineal corresponde a longitudes; el área varía cuadráticamente.

08 · Otra orientación

Los cortes horizontales producen una integral en y

Si las secciones son perpendiculares al eje y, su área debe expresarse como A(y) y el espesor es dy:

La anchura de una base descrita horizontalmente es xderecha(y)−xizquierda(y). Mezclar una anchura expresada en y con un diferencial dx produce un modelo incoherente.

09 · Principio de Cavalieri

Los mismos cortes implican el mismo volumen

Si dos sólidos tienen la misma altura y áreas transversales iguales en cada posición, entonces poseen el mismo volumen, aunque sus formas externas parezcan diferentes.

En lenguaje integral, si A₁(x)=A₂(x) para todo x∈[a,b], entonces:

Este principio explica por qué la posición lateral de cada sección no aparece en la fórmula: importa su área y su ubicación a lo largo del eje de apilamiento.

10 · Ejemplo desarrollado

Secciones cuadradas sobre una base curva

La base de un sólido está limitada por y=√x, y=0, x=0 y x=4. Las secciones perpendiculares al eje x son cuadrados.

1. Obtener el lado

La anchura de la base es w(x)=√x−0=√x.

2. Construir el área

3. Integrar

4. Interpretar

Los cuadrados comienzan con lado cero y crecen hasta lado 2. El área transversal máxima es 4, y el volumen 8 es coherente con un sólido de longitud 4 cuyas áreas varían entre 0 y 4.

11 · Cambios de forma y mediciones

El área puede estar definida por tramos o por datos

Si el tipo de sección o la frontera de la base cambia, el volumen se divide:

Cuando solo se conocen áreas medidas Aᵢ en posiciones xᵢ, la regla del trapecio aproxima:

Las posiciones no tienen que estar igualmente espaciadas, pero deben ordenarse y usar unidades compatibles.

12 · Exploración

Laboratorio: apilar secciones

Elegí un perfil de anchura, la forma de los cortes y la cantidad de rebanadas. El gráfico inferior muestra la función de área que realmente se integra.

El perfil superior determina una anchura y el gráfico inferior transforma esa anchura en área según la forma elegida.

Preguntas para explorar

1. Con el perfil raíz y cuadrados, explicá por qué cualquier suma de puntos medios uniforme da exactamente 8.
2. Mantené el perfil y cambiá la forma. ¿Qué factor relaciona los volúmenes?
3. Usá el perfil de arco. ¿Dónde se encuentra la sección de mayor área?
4. Aumentá las rebanadas para el perfil carpa. ¿Cómo cambia el error?

13 · Implementación computacional

Integrar una función de área

function volumenPorSecciones(area, inicio, fin, particiones = 10000) {
  const paso = (fin - inicio) / particiones;
  let volumen = 0;
  for (let i = 0; i < particiones; i += 1) {
    const x = inicio + (i + 0.5) * paso;
    const seccion = area(x);
    if (seccion < 0) throw new Error("El área no puede ser negativa");
    volumen += seccion * paso;
  }
  return volumen;
}

const areaCuadrada = x => x;
console.log(volumenPorSecciones(areaCuadrada, 0, 4).toFixed(6));

Construir áreas desde una anchura

const factores = {
  cuadrado: 1,
  semicirculo: Math.PI / 8,
  equilatero: Math.sqrt(3) / 4
};

function crearArea(anchura, forma) {
  const factor = factores[forma];
  if (factor === undefined) throw new Error("Forma desconocida");
  return x => factor * anchura(x) ** 2;
}

const anchura = x => Math.sqrt(x);
const area = crearArea(anchura, "semicirculo");
const volumen = 8 * factores.semicirculo;
console.log("Volumen:", volumen.toFixed(6));

Integrar áreas medidas en posiciones irregulares

function volumenDeMuestras(muestras) {
  let volumen = 0;
  for (let i = 1; i < muestras.length; i += 1) {
    const a = muestras[i - 1];
    const b = muestras[i];
    const espesor = b.posicion - a.posicion;
    if (espesor <= 0) throw new Error("Las posiciones deben crecer");
    volumen += (a.area + b.area) / 2 * espesor;
  }
  return volumen;
}

const cortes = [
  { posicion: 0, area: 0 },
  { posicion: 1, area: 1 },
  { posicion: 2.5, area: 2.5 },
  { posicion: 4, area: 4 }
];
console.log(volumenDeMuestras(cortes));

Estudiar la convergencia de las rebanadas

function sumaPuntosMedios(area, inicio, fin, n) {
  const dx = (fin - inicio) / n;
  let suma = 0;
  for (let i = 0; i < n; i += 1) {
    suma += area(inicio + (i + 0.5) * dx) * dx;
  }
  return suma;
}

const area = x => 4 - (x - 2) ** 2;
for (const n of [2, 4, 8, 16, 32]) {
  console.log(n, sumaPuntosMedios(area, 0, 4, n).toFixed(6));
}

14 · Comprensión

Confusiones frecuentes

15 · Práctica guiada

Ejercicios de comprensión

Ejercicio 1: área constante

Un sólido tiene secciones de área constante 6 cm² a lo largo de 5 cm. Calculá el volumen.

Ejercicio 2: triángulos equiláteros

La anchura de la base es w(x)=x para 0≤x≤2. Las secciones son triángulos equiláteros. Planteá y calculá el volumen.

Ejercicio 3: semicírculos

Si w(x)=2 es el diámetro constante de secciones semicirculares en [0,3], hallá el volumen.

Ejercicio 4: cortes horizontales

Las secciones perpendiculares al eje y tienen área A(y)=1+y para 0≤y≤3. Calculá el volumen.

Ejercicio 5: áreas medidas

Se miden áreas 2, 5 y 3 cm² en las posiciones 0, 1 y 3 cm. Aproximá el volumen con trapecios.

const cortes = [
  { x: 0, area: 2 },
  { x: 1, area: 5 },
  { x: 3, area: 3 }
];
let volumen = 0;

for (let i = 1; i < cortes.length; i += 1) {
  const a = cortes[i - 1];
  const b = cortes[i];
  volumen += (a.area + b.area) / 2 * (b.x - a.x);
}
console.log("Volumen ≈", volumen, "cm³");

16 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema aplicaremos esta idea a los sólidos de revolución mediante discos, donde cada sección circular aparece al girar una región.