Longitud de curvas paramétricas

01 · Punto de partida

Una trayectoria puede retroceder, girar o cerrarse

No todas las curvas pueden describirse cómodamente como y=f(x). Una circunferencia tiene dos valores de y para muchas posiciones x; una trayectoria puede retroceder horizontalmente o cruzarse consigo misma.

Una descripción paramétrica asigna ambas coordenadas a un parámetro:

La longitud recorrida es:

02 · Aproximación geométrica

Los cambios de ambas coordenadas forman cada segmento

Elegimos valores t₀,…,tₙ y unimos los puntos consecutivos r(tᵢ). Cada segmento mide:

Factorizando Δtᵢ:

Al refinar la partición, los cocientes se convierten en x′(t) e y′(t), y la suma de segmentos se convierte en la integral.

03 · Interpretación cinemática

La derivada paramétrica es un vector velocidad

El vector tangente o velocidad es:

Su magnitud es la rapidez respecto del parámetro:

En un intervalo pequeño dt, la longitud recorrida es aproximadamente ‖r′(t)‖dt. Integrar esas contribuciones produce el recorrido total.

04 · Significado del parámetro

El parámetro no tiene que ser tiempo

La letra t suele sugerir tiempo, pero puede representar un ángulo, una fase o cualquier variable que ordene los puntos de la curva.

• Si t está en segundos, ‖r′(t)‖ tiene unidades de longitud por segundo.
• Si t es un ángulo en radianes, el integrando expresa longitud por radián.
• Si t es adimensional, las derivadas conservan unidades de longitud.

Lo esencial es recorrer el intervalo paramétrico en el orden que define la trayectoria.

05 · Distintas velocidades, misma curva

Una reparametrización regular conserva la longitud

Una circunferencia puede recorrerse lentamente, rápidamente o con velocidad variable. Si la nueva parametrización visita una vez los mismos puntos en el mismo u opuesto orden, la longitud geométrica no cambia.

Si t=φ(u) es monótona y diferenciable:

El valor absoluto compensa una posible inversión de orientación. Sin embargo, si la parametrización recorre la curva dos veces, la integral cuenta ambas vueltas y duplica la longitud recorrida.

06 · Recuperar la fórmula anterior

Una gráfica cartesiana es un caso paramétrico

Para y=f(x), podemos elegir x(t)=t e y(t)=f(t). Entonces x′(t)=1 e y′(t)=f′(t):

La fórmula cartesiana del tema anterior aparece como un caso particular. La forma paramétrica es más general porque no exige que x crezca de manera monótona.

07 · Puntos especiales

Detenciones, cúspides y tramos repetidos

Una curva es regular donde r′(t)≠(0,0). Si ambas derivadas se anulan, pueden ocurrir distintas situaciones:

• el recorrido se detiene momentáneamente y continúa suavemente;
• aparece una cúspide o un punto singular;
• la parametrización es ineficiente aunque la curva sea suave.

La longitud todavía puede calcularse si la rapidez es integrable, dividiendo el intervalo en tramos regulares cuando sea necesario.

08 · Casos de referencia

Circunferencias y elipses muestran dos comportamientos

Para una circunferencia de radio R, x=R cos(t), y=R sen(t). La rapidez es constante:

Una vuelta completa mide ∫₀²πRdt=2πR.

Para una elipse x=a cos(t), y=b sen(t), la rapidez es √(a²sen²t+b²cos²t). En general su longitud no tiene una expresión elemental y se aproxima numéricamente mediante una integral elíptica.

09 · Extensión espacial

En tres dimensiones se agrega otra componente

Para r(t)=(x(t),y(t),z(t)):

La idea no cambia: se integra la norma euclidiana del vector velocidad. Por ejemplo, una hélice combina movimiento circular horizontal con avance vertical.

En dimensiones mayores, la fórmula sigue sumando los cuadrados de todas las componentes derivadas.

10 · Ejemplo desarrollado

Longitud de un arco de cicloide

Una cicloide de radio unitario está parametrizada por:

1. Derivar las componentes

x′(t)=1−cos(t) y y′(t)=sen(t).

2. Simplificar la rapidez

En [0,2π], sen(t/2)≥0, por eso no hace falta un valor absoluto adicional.

3. Integrar

4. Comparar con la cuerda

Los extremos son (0,0) y (2π,0), separados por 2π≈6,283. El arco mide 8, como debe ocurrir para una trayectoria curva.

11 · Trayectorias registradas

Los puntos deben ordenarse por el parámetro

Con muestras (tᵢ,xᵢ,yᵢ), la longitud poligonal es:

Ordenar solo por x puede destruir el recorrido cuando la curva retrocede. Debe respetarse el orden temporal o paramétrico.

Como en curvas cartesianas, el ruido agrega pequeñas desviaciones y puede inflar la longitud. También deben convertirse las coordenadas a escalas compatibles antes de usar la distancia euclidiana.

12 · Exploración

Laboratorio: recorrer y aproximar una trayectoria

Elegí una curva, el final del intervalo y la cantidad de segmentos. La línea violeta aproxima el tramo dorado ya recorrido.

El punto final se desplaza sobre la trayectoria y la poligonal conecta muestras uniformes del parámetro.

Preguntas para explorar

1. Aumentá los segmentos de la cicloide. ¿Cómo evoluciona la aproximación hacia 8?
2. En la circunferencia completa, compará la cuerda —casi cero— con la longitud recorrida.
3. Compará circunferencia y elipse. ¿En cuál varía la rapidez paramétrica?
4. Mové el parámetro final de la cicloide cerca de una cúspide. ¿Qué ocurre con la rapidez?

13 · Implementación computacional

Integrar la rapidez paramétrica

function longitudParametrica(dx, dy, inicio, fin, particiones = 100000) {
  const paso = (fin - inicio) / particiones;
  let longitud = 0;
  for (let i = 0; i < particiones; i += 1) {
    const t = inicio + (i + 0.5) * paso;
    longitud += Math.hypot(dx(t), dy(t)) * paso;
  }
  return longitud;
}

const dx = t => 1 - Math.cos(t);
const dy = t => Math.sin(t);
console.log(longitudParametrica(dx, dy, 0, 2 * Math.PI).toFixed(6));

Aproximar directamente con puntos

function longitudPoligonal(curva, inicio, fin, segmentos) {
  let anterior = curva(inicio);
  let longitud = 0;
  for (let i = 1; i <= segmentos; i += 1) {
    const t = inicio + i / segmentos * (fin - inicio);
    const actual = curva(t);
    longitud += Math.hypot(actual.x - anterior.x, actual.y - anterior.y);
    anterior = actual;
  }
  return longitud;
}

const cicloide = t => ({ x: t - Math.sin(t), y: 1 - Math.cos(t) });
for (const n of [4, 8, 16, 32]) {
  console.log(n, longitudPoligonal(cicloide, 0, 2 * Math.PI, n).toFixed(6));
}

Estimar derivadas de una curva disponible como función

function derivadaComponente(curva, componente, h = 1e-5) {
  return t => (curva(t + h)[componente] - curva(t - h)[componente]) / (2 * h);
}

function longitudParametrica(dx, dy, inicio, fin, n = 50000) {
  const dt = (fin - inicio) / n;
  let total = 0;
  for (let i = 0; i < n; i += 1) {
    const t = inicio + (i + 0.5) * dt;
    total += Math.hypot(dx(t), dy(t)) * dt;
  }
  return total;
}

const elipse = t => ({ x: 3 * Math.cos(t), y: 2 * Math.sin(t) });
const dx = derivadaComponente(elipse, "x");
const dy = derivadaComponente(elipse, "y");
console.log(longitudParametrica(dx, dy, 0, 2 * Math.PI).toFixed(6));

Extender el cálculo a tres dimensiones

function longitud3D(derivada, inicio, fin, n = 100000) {
  const dt = (fin - inicio) / n;
  let total = 0;
  for (let i = 0; i < n; i += 1) {
    const t = inicio + (i + 0.5) * dt;
    const { dx, dy, dz } = derivada(t);
    total += Math.hypot(dx, dy, dz) * dt;
  }
  return total;
}

const derivadaHelice = t => ({ dx: -Math.sin(t), dy: Math.cos(t), dz: 0.5 });
console.log(longitud3D(derivadaHelice, 0, 4 * Math.PI).toFixed(6));

14 · Comprensión

Confusiones frecuentes

15 · Práctica guiada

Ejercicios de comprensión

Ejercicio 1: segmento parametrizado

Sea x(t)=1+3t, y(t)=2+4t, 0≤t≤1. Calculá su longitud.

Ejercicio 2: cuarto de circunferencia

Para x=3cos(t), y=3sen(t), 0≤t≤π/2, hallá la longitud.

Ejercicio 3: orientación invertida

¿Cambia la longitud anterior si t recorre desde π/2 hasta 0?

Ejercicio 4: dos vueltas

¿Qué longitud produce x=cos(t), y=sen(t) en [0,4π]?

Ejercicio 5: trayectoria espacial

Para r(t)=(t,2t,2t) en [0,3], calculá la longitud.

const inicio = 0;
const fin = 3;
const rapidez = Math.hypot(1, 2, 2);
const longitud = rapidez * (fin - inicio);

console.log({ rapidez, longitud });

16 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema comenzaremos a calcular volúmenes mediante secciones transversales, sumando áreas de cortes para reconstruir un sólido.