Longitud de una curva

01 · Punto de partida

Una curva no se mide solamente por su ancho

La distancia horizontal entre los extremos de un camino no tiene en cuenta sus subidas, bajadas y ondulaciones. La distancia recta entre ambos puntos tampoco reproduce la longitud del recorrido, salvo que el camino sea un segmento.

Para una curva y=f(x) entre x=a y x=b, su longitud es:

El integrando transforma cada pequeño avance horizontal dx en la longitud real recorrida sobre la curva.

02 · Aproximación inicial

Primero reemplazamos la curva por una poligonal

Dividimos [a,b] en puntos x₀,…,xₙ y unimos los puntos consecutivos de la curva. La longitud del segmento i es:

La suma poligonal aproxima la longitud:

Al usar más segmentos, la poligonal sigue con mayor fidelidad las variaciones de la curva. Para particiones anidadas, agregar puntos no puede acortar la poligonal por la desigualdad triangular.

03 · Del segmento al diferencial

La pendiente corrige el avance horizontal

Factorizamos (Δxᵢ)² en la longitud de un segmento:

Cuando los intervalos se hacen pequeños, el cociente Δy/Δx se aproxima a f′(x). En el límite:

Integrar ds desde a hasta b produce la fórmula de longitud de arco.

04 · Interpretación local

El factor √(1+f′²) mide el estiramiento

Por cada unidad horizontal, la curva recorre localmente:

• Si f′(x)=0, el factor vale 1: la curva es horizontal localmente.
• Si |f′(x)|=1, el factor vale √2.
• Cuanto mayor es |f′(x)|, más longitud se acumula por unidad horizontal.

El signo de la pendiente no afecta la longitud porque aparece al cuadrado. Subir y bajar con la misma inclinación generan el mismo aporte.

05 · Cotas y casos simples

La longitud debe superar ciertas distancias básicas

Como √(1+[f′]²)≥1, siempre se cumple:

También debe ser al menos la distancia recta entre los extremos:

Para una recta f(x)=mx+c, la fórmula produce exactamente (b−a)√(1+m²), que coincide con la distancia entre sus extremos.

06 · Análisis dimensional

La pendiente debe interpretarse con escalas compatibles

Si x e y se miden en la misma unidad de longitud, dy/dx es adimensional y ds tiene las unidades de dx.

Si una gráfica usa kilómetros en horizontal y metros en vertical, no podemos insertar los valores numéricos directamente en √(dx²+dy²). Primero hay que convertir ambas coordenadas a una unidad común.

La escala visual de los ejes tampoco determina la longitud física. Un gráfico estirado en pantalla sigue representando la misma curva matemática.

07 · Cuándo aplicar la fórmula

La curva debe ser suficientemente regular

La fórmula funciona directamente cuando f′ es continua en [a,b]. También puede aplicarse por tramos cuando la curva tiene un número finito de esquinas y es suave entre ellas.

Una discontinuidad de f no debe conectarse automáticamente con un segmento vertical: el gráfico está separado y ese salto no forma parte de la curva salvo que el problema lo indique.

Una tangente vertical puede volver infinita a f′(x) sin que la curva tenga longitud infinita. En ese caso puede ser más conveniente describir x como función de y o usar una parametrización.

08 · Cambiar la variable

También podemos integrar respecto de y

Si la curva se describe como x=g(y) para c≤y≤d, intercambiamos los papeles de las coordenadas:

Conviene elegir la descripción que sea única y produzca la derivada más sencilla. Una curva que no es función de x puede ser función de y, aunque otras requieren una parametrización, tema que se estudiará a continuación.

09 · Cálculo práctico

La mayoría de las longitudes se aproxima numéricamente

Aun cuando f tenga una fórmula elemental, la integral de √(1+[f′]²) puede no tener una antiderivada elemental. Existen dos estrategias principales:

• Integrar el factor de longitud: aplicar trapecios, Simpson o cuadratura adaptativa a √(1+[f′(x)]²).
• Sumar segmentos: evaluar puntos de la curva y acumular distancias euclidianas consecutivas.

El primer método aprovecha una derivada conocida; el segundo funciona directamente con puntos. Ambos deben refinarse hasta que el resultado se estabilice dentro de una tolerancia.

10 · Ejemplo desarrollado

Longitud de un arco parabólico

Calculamos la longitud de f(x)=x²/2 entre x=0 y x=2.

1. Derivar

f′(x)=x.

2. Construir el factor de longitud

3. Evaluar

4. Comprobar con cotas

El ancho horizontal es 2. La distancia entre los extremos (0,0) y (2,2) es √8≈2,828. La longitud calculada, aproximadamente 2,958, supera ambas cotas como corresponde.

11 · Curvas muestreadas

Una nube ordenada de puntos define una poligonal

Para puntos (xᵢ,yᵢ) ordenados a lo largo de una trayectoria:

Los puntos deben estar ordenados por recorrido, no necesariamente por coordenada x. Este método también funciona cuando la trayectoria retrocede horizontalmente.

El ruido plantea un problema: pequeñas oscilaciones aleatorias agregan longitud. Aumentar la frecuencia de muestreo puede hacer crecer artificialmente la estimación si cada nueva muestra incorpora ruido. El suavizado debe justificarse y documentarse porque también puede borrar detalles reales.

12 · Exploración

Laboratorio: de segmentos a una curva

Elegí una curva, el extremo final y la cantidad de segmentos. Observá cómo la poligonal se adapta y cómo su longitud se aproxima a la integral.

La curva se dibuja en dorado y la aproximación mediante segmentos en violeta, con sus vértices visibles.

Preguntas para explorar

1. Aumentá los segmentos de la parábola. ¿Desde qué cantidad los cambios dejan de ser visibles?
2. Elegí la recta. ¿Por qué un solo segmento ya produce el valor exacto?
3. En la onda, compará una poligonal gruesa con otra fina. ¿Qué ondulaciones omite la primera?
4. Aumentá el extremo de la parábola. ¿Por qué la diferencia entre longitud y ancho crece?

13 · Implementación computacional

Integrar el factor de longitud

Con una derivada disponible, una suma de puntos medios aproxima la integral:

function longitudArco(derivada, inicio, fin, particiones = 100000) {
  const paso = (fin - inicio) / particiones;
  let longitud = 0;
  for (let i = 0; i < particiones; i += 1) {
    const x = inicio + (i + 0.5) * paso;
    longitud += Math.hypot(1, derivada(x)) * paso;
  }
  return longitud;
}

const derivadaParabola = x => x;
console.log(longitudArco(derivadaParabola, 0, 2).toFixed(6));

Sumar una aproximación poligonal

function longitudPoligonal(funcion, inicio, fin, segmentos) {
  const paso = (fin - inicio) / segmentos;
  let longitud = 0;
  let xAnterior = inicio;
  let yAnterior = funcion(inicio);

  for (let i = 1; i <= segmentos; i += 1) {
    const x = inicio + i * paso;
    const y = funcion(x);
    longitud += Math.hypot(x - xAnterior, y - yAnterior);
    xAnterior = x;
    yAnterior = y;
  }
  return longitud;
}

const f = x => x ** 2 / 2;
for (const n of [1, 2, 4, 8, 16]) {
  console.log(n, longitudPoligonal(f, 0, 2, n).toFixed(6));
}

Medir puntos de una trayectoria

function longitudDePuntos(puntos) {
  return puntos.slice(1).reduce((total, punto, i) => {
    const anterior = puntos[i];
    return total + Math.hypot(
      punto.x - anterior.x,
      punto.y - anterior.y
    );
  }, 0);
}

const trayectoria = [
  { x: 0, y: 0 },
  { x: 1, y: 1 },
  { x: 0, y: 2 },
  { x: -1, y: 1 }
];
console.log(longitudDePuntos(trayectoria).toFixed(6));

Refinar hasta alcanzar una tolerancia

function longitudPoligonal(funcion, inicio, fin, segmentos) {
  const paso = (fin - inicio) / segmentos;
  let longitud = 0;
  let xAnterior = inicio;
  let yAnterior = funcion(inicio);

  for (let i = 1; i <= segmentos; i += 1) {
    const x = inicio + i * paso;
    const y = funcion(x);
    longitud += Math.hypot(x - xAnterior, y - yAnterior);
    xAnterior = x;
    yAnterior = y;
  }
  return longitud;
}

function longitudConTolerancia(funcion, inicio, fin, tolerancia = 1e-6) {
  let segmentos = 1;
  let anterior = longitudPoligonal(funcion, inicio, fin, segmentos);

  while (segmentos < 2 ** 20) {
    segmentos *= 2;
    const actual = longitudPoligonal(funcion, inicio, fin, segmentos);
    if (Math.abs(actual - anterior) < tolerancia) {
      return { longitud: actual, segmentos };
    }
    anterior = actual;
  }
  throw new Error("No se alcanzó la tolerancia");
}

const resultado = longitudConTolerancia(x => Math.sin(x), 0, Math.PI);
console.log({
  longitud: Number(resultado.longitud.toFixed(6)),
  segmentos: resultado.segmentos
});

14 · Comprensión

Confusiones frecuentes

15 · Práctica guiada

Ejercicios de comprensión

Ejercicio 1: segmento horizontal

Calculá la longitud de f(x)=4 en [−2,3].

Ejercicio 2: recta inclinada

Calculá la longitud de f(x)=2x+1 en [0,3].

Ejercicio 3: elegir variable

La curva x=y² va de y=0 a y=2. Escribí la integral de longitud más directa.

Ejercicio 4: cota inferior

Una curva une (1,2) con (5,5). ¿Qué cota inferior inmediata tiene su longitud?

Ejercicio 5: poligonal

Calculá la longitud de la trayectoria que pasa por (0,0), (3,4) y (6,0).

const puntos = [[0, 0], [3, 4], [6, 0]];
let longitud = 0;

for (let i = 1; i < puntos.length; i += 1) {
  const [x0, y0] = puntos[i - 1];
  const [x1, y1] = puntos[i];
  longitud += Math.hypot(x1 - x0, y1 - y0);
}
console.log("Longitud:", longitud);

16 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema extenderemos la fórmula a curvas paramétricas, donde ambas coordenadas dependen de un parámetro.