De la aceleración a la posición

01 · Punto de partida

La aceleración describe cómo cambia la velocidad

En un movimiento rectilíneo, posición, velocidad y aceleración están conectadas por derivadas:

Para recorrer el camino inverso debemos integrar dos veces:

Cada integración introduce una constante. Por eso conocer solo a(t) no determina un movimiento único.

02 · De aceleración a velocidad

La integral de la aceleración es cambio de velocidad

Si v(t₀)=v₀, entonces:

La integral no devuelve directamente la velocidad: devuelve v(t)−v₀. Dos objetos sometidos a la misma aceleración pero con velocidades iniciales diferentes conservan esa diferencia de velocidad.

El signo de la aceleración indica cómo cambia la velocidad, no necesariamente hacia dónde se mueve el objeto:

• a>0: la velocidad aumenta;
• a<0: la velocidad disminuye;
• a=0: la velocidad es localmente constante.

03 · De velocidad a posición

La segunda integral acumula desplazamiento

Una vez reconstruida v(t), usamos la posición conocida s(t₀)=s₀:

La velocidad inicial modifica la pendiente de toda la función de posición. La posición inicial solo produce un desplazamiento vertical de su gráfica.

Las condiciones iniciales cumplen papeles diferentes:

v(t₀)=v₀

Selecciona una velocidad entre todas las que tienen derivada a(t).

s(t₀)=s₀

Selecciona una posición entre todas las que tienen derivada v(t).

04 · Una sola expresión

La aceleración temprana influye durante más tiempo

Al sustituir la velocidad dentro de la fórmula de posición y reorganizar las integrales se obtiene:

El factor t−u es el tiempo durante el cual actúa el cambio de velocidad producido alrededor del instante u. Una aceleración temprana modifica la velocidad durante más tiempo y tiene mayor efecto sobre la posición final.

Esta fórmula no evita la necesidad de v₀ y s₀; simplemente combina las dos integraciones en una expresión ponderada.

05 · Caso clásico

Las ecuaciones cinemáticas surgen al integrar

Si a(t)=a₀ es constante y tomamos t₀=0:

No son fórmulas independientes para memorizar: son consecuencias directas de integrar una aceleración constante. Si la aceleración varía, deben utilizarse las integrales correspondientes.

06 · Análisis dimensional

Cada integración elimina una potencia de tiempo

Las unidades de s₀, v₀(t−t₀) y la integral ponderada de la aceleración deben coincidir antes de sumarse.

07 · Lectura cualitativa

Tres gráficos cuentan la misma historia

Que la aceleración sea cero no implica que el objeto esté detenido. Puede continuar con velocidad constante distinta de cero.

08 · Acelerar y frenar

El signo de la aceleración debe compararse con el de la velocidad

En lenguaje cotidiano, “acelerar” suele significar aumentar la rapidez. Matemáticamente esto ocurre cuando velocidad y aceleración tienen el mismo signo.

Una aceleración positiva puede frenar a un objeto que se mueve en dirección negativa. Solo después de que la velocidad llegue a cero comenzará a moverse en dirección positiva.

09 · Dinámicas que cambian

Velocidad y posición enlazan las etapas

Si la aceleración cambia de fórmula en t=c, la segunda etapa debe comenzar con los valores alcanzados por la primera:

Una aceleración finita puede saltar sin crear saltos instantáneos en velocidad o posición. Reiniciar cada tramo con los valores originales produciría discontinuidades artificiales.

Un impulso idealizado es distinto: concentra una gran aceleración en un tiempo muy corto y puede modelar un salto de velocidad. Ese caso requiere un tratamiento específico.

10 · Ejemplo desarrollado

Movimiento con aceleración lineal

Un objeto tiene aceleración a(t)=2t−6 m/s², velocidad inicial v(0)=5 m/s y posición inicial s(0)=2 m.

1. Reconstruir la velocidad

2. Reconstruir la posición

3. Interpretar aceleración y velocidad

La aceleración se anula en t=3, donde la velocidad alcanza su mínimo v(3)=−4 m/s. La velocidad se anula en t=1 y t=5, por lo que el objeto cambia de sentido en esos instantes.

4. Evaluar posiciones notables

La posición tiene un máximo local en t=1 y un mínimo local en t=5. El objeto termina moviéndose otra vez en dirección positiva.

11 · Acelerómetros

Integrar mediciones dos veces amplifica los errores

Con muestras de aceleración podemos actualizar primero velocidad y luego posición. Una aproximación sencilla por intervalo utiliza la aceleración media:

Un sesgo constante pequeño ε en la aceleración produce un error de velocidad que crece aproximadamente como εt y un error de posición que crece como εt²/2. Por eso la doble integración de acelerómetros suele presentar deriva.

Los sistemas reales combinan acelerómetros con GPS, referencias visuales u otras mediciones para corregir periódicamente velocidad y posición.

12 · Exploración

Laboratorio: tres niveles del movimiento

Elegí una aceleración, un instante y una velocidad inicial. La posición inicial se fija en 2 m para observar cómo cada condición modifica los gráficos.

La integral de la aceleración cambia la velocidad y la integral de la velocidad cambia la posición.

Preguntas para explorar

1. En el modelo lineal, ubicá t=3. ¿Qué ocurre con la aceleración y con la velocidad?
2. Cambiá la velocidad inicial. ¿Cómo se desplazan los ceros de la velocidad?
3. Con aceleración constante, comprobá que la velocidad es lineal y la posición cuadrática.
4. Buscá un instante donde la aceleración sea positiva pero la velocidad negativa. ¿La rapidez aumenta o disminuye?

13 · Implementación computacional

Integrar aceleración paso a paso

En cada intervalo aproximamos la aceleración en el punto medio, actualizamos la velocidad y usamos la velocidad media para actualizar la posición:

function simular(aceleracion, inicio, fin, velocidadInicial, posicionInicial, pasos = 10000) {
  const dt = (fin - inicio) / pasos;
  let velocidad = velocidadInicial;
  let posicion = posicionInicial;

  for (let i = 0; i < pasos; i += 1) {
    const tMedio = inicio + (i + 0.5) * dt;
    const velocidadSiguiente = velocidad + aceleracion(tMedio) * dt;
    posicion += (velocidad + velocidadSiguiente) / 2 * dt;
    velocidad = velocidadSiguiente;
  }
  const redondear = valor => Number(valor.toFixed(6));
  return {
    velocidad: redondear(velocidad),
    posicion: redondear(posicion),
    desplazamiento: redondear(posicion - posicionInicial)
  };
}

const a = t => 2 * t - 6;
console.log(simular(a, 0, 6, 5, 2));

Construir un historial desde muestras

function integrarAcelerometro(muestras, v0, s0) {
  let velocidad = v0;
  let posicion = s0;
  const historial = [{ tiempo: muestras[0].tiempo, velocidad, posicion }];

  for (let i = 1; i < muestras.length; i += 1) {
    const anterior = muestras[i - 1];
    const actual = muestras[i];
    const dt = actual.tiempo - anterior.tiempo;
    if (dt <= 0) throw new Error("Los tiempos deben crecer");
    const aceleracionMedia = (anterior.aceleracion + actual.aceleracion) / 2;
    const velocidadNueva = velocidad + aceleracionMedia * dt;
    posicion += (velocidad + velocidadNueva) / 2 * dt;
    velocidad = velocidadNueva;
    historial.push({ tiempo: actual.tiempo, velocidad, posicion });
  }
  return historial;
}

const datos = [
  { tiempo: 0, aceleracion: -6 },
  { tiempo: 1, aceleracion: -4 },
  { tiempo: 2, aceleracion: -2 },
  { tiempo: 3, aceleracion: 0 }
];
console.log(integrarAcelerometro(datos, 5, 2));

Evaluar la fórmula directa ponderada

function posicionDesdeAceleracion(a, t, s0, v0, pasos = 10000) {
  const dt = t / pasos;
  let efectoAceleracion = 0;
  for (let i = 0; i < pasos; i += 1) {
    const u = (i + 0.5) * dt;
    efectoAceleracion += (t - u) * a(u) * dt;
  }
  return s0 + v0 * t + efectoAceleracion;
}

const aceleracion = t => 2 * t - 6;
console.log("s(6) =", posicionDesdeAceleracion(aceleracion, 6, 2, 5).toFixed(6));

Verificar las dos derivadas

function derivada(f, x, h = 1e-4) {
  return (f(x + h) - f(x - h)) / (2 * h);
}

const a = t => 2 * t - 6;
const v = t => t ** 2 - 6 * t + 5;
const s = t => 2 + t ** 3 / 3 - 3 * t ** 2 + 5 * t;

for (const t of [0, 1, 3, 6]) {
  const errorVelocidad = derivada(s, t) - v(t);
  const errorAceleracion = derivada(v, t) - a(t);
  console.log(t, errorVelocidad.toExponential(2), errorAceleracion.toExponential(2));
}

14 · Comprensión

Confusiones frecuentes

15 · Práctica guiada

Ejercicios de comprensión

Ejercicio 1: aceleración constante

Un móvil tiene a=3 m/s², v(0)=2 m/s y s(0)=−1 m. Encontrá v(t) y s(t).

Ejercicio 2: aceleración lineal

Si a(t)=4t, v(0)=−2 y s(0)=5, reconstruí el movimiento.

Ejercicio 3: interpretar signos

En cierto instante v=−6 m/s y a=2 m/s². ¿En qué dirección se mueve y qué ocurre con su rapidez?

Ejercicio 4: hallar condiciones iniciales

Una posición satisface s″(t)=6t, s(0)=4 y s(1)=8. Encontrá s(t).

Ejercicio 5: una muestra temporal

Durante 0,5 s la aceleración media es 4 m/s². Si el tramo comienza con v=3 m/s y s=10 m, aproximá los valores finales suponiendo aceleración constante en el paso.

const dt = 0.5;
const aceleracion = 4;
const velocidadInicial = 3;
const posicionInicial = 10;
const velocidadFinal = velocidadInicial + aceleracion * dt;
const posicionFinal = posicionInicial
  + (velocidadInicial + velocidadFinal) / 2 * dt;

console.log({ velocidadFinal, posicionFinal });

16 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema cambiaremos de objetivo: aproximaremos una curva mediante pequeños segmentos para calcular su longitud de arco.