Movimiento: distancia total recorrida

01 · Punto de partida

Regresar al inicio no borra el camino recorrido

Una persona camina 5 m hacia la derecha y luego 5 m hacia la izquierda. Termina donde comenzó, de modo que su desplazamiento es cero. Sin embargo, recorrió 10 m.

Estas dos magnitudes responden preguntas distintas:

• Desplazamiento: ¿cuánto cambió la posición final respecto de la inicial?
• Distancia total: ¿cuánta longitud se recorrió sumando todos los tramos?

02 · Dos medidas del movimiento

El desplazamiento depende de los extremos; la distancia, del trayecto

Desplazamiento Δs

Es s(b)−s(a). Puede ser positivo, negativo o cero.

Distancia D

Suma las longitudes de todos los tramos. Siempre es no negativa.

Velocidad v

Tasa firmada de cambio de posición.

Rapidez |v|

Magnitud de la velocidad, sin información de dirección.

Dos movimientos con las mismas posiciones inicial y final tienen igual desplazamiento, pero pueden recorrer distancias muy diferentes.

03 · Relación fundamental

La distancia nunca es menor que el desplazamiento en magnitud

La desigualdad triangular para integrales establece:

Por lo tanto, |Δs|≤D. Hay igualdad cuando la velocidad no cambia de signo, es decir, cuando el objeto no invierte su dirección durante el intervalo.

La diferencia D−|Δs| mide cuánto recorrido adicional aparece por retrocesos, aunque no identifica por sí sola cuándo ocurrieron.

04 · Partición del intervalo

Los cambios de sentido separan los tramos

Para evaluar ∫|v(t)|dt analíticamente:

1. 1
   Resolver v(t)=0

   Encontrar los posibles instantes de detención dentro del intervalo.

2. 2
   Ordenar los puntos

   Incluir los extremos y todos los ceros interiores.

3. 3
   Determinar el signo

   Probar la velocidad en cada subintervalo.

4. 4
   Integrar por tramos

   Conservar la integral si v≥0 y cambiar su signo si v≤0.

5. 5
   Sumar magnitudes

   Todos los aportes a la distancia deben quedar no negativos.

Un cero donde la velocidad no cambia de signo no representa un giro. Dividir allí no es perjudicial, pero tampoco es necesario.

05 · Descomponer el recorrido

Avance y retroceso reconstruyen ambas magnitudes

Definamos dos cantidades no negativas:

Entonces:

Si conocemos desplazamiento y distancia, podemos recuperar cuánto se avanzó y retrocedió:

06 · Promedios

Velocidad media y rapidez media no son equivalentes

La velocidad media conserva orientación; la rapidez media no. Como |Δs|≤D, se cumple:

Solo coinciden en magnitud cuando no hay cambios de sentido.

07 · Análisis dimensional

El valor absoluto cambia el signo, no las unidades

Tanto v(t)dt como |v(t)|dt tienen unidades de longitud. Por eso desplazamiento y distancia pueden compararse:

La rapidez media tiene las mismas unidades que la velocidad. Antes de integrar deben compatibilizarse las escalas de tiempo y longitud.

08 · Otra forma de calcular

La distancia suma cambios absolutos de posición

Si conocemos la función de posición y los instantes de giro t₁,…,tₙ, podemos sumar:

Esta expresión y ∫|v|dt producen el mismo resultado. La primera suele ser conveniente cuando ya conocemos posiciones en los puntos de giro; la segunda, cuando trabajamos directamente con la velocidad.

En lenguaje matemático, la distancia recorrida es la variación total de la función de posición sobre el intervalo.

09 · Detenciones sin giro

No todo instante de reposo cambia la dirección

Consideremos v(t)=(t−2)². La velocidad vale cero en t=2, pero es positiva antes y después. El objeto se detiene instantáneamente y continúa avanzando.

En cambio, para v(t)=t−2, el signo pasa de negativo a positivo y sí existe un cambio de sentido.

Por eso un algoritmo no debería contar ceros sin revisar los signos vecinos. En datos ruidosos, valores pequeños alrededor de cero pueden crear falsos giros; suele utilizarse una tolerancia y una duración mínima.

10 · Ejemplo desarrollado

Distancia en un movimiento con dos giros

Retomamos v(t)=(t−1)(t−3) m/s en [0,4]. Una primitiva es:

1. Separar por cambios de signo

La velocidad es positiva en [0,1], negativa en [1,3] y positiva en [3,4].

2. Calcular cada tramo

3. Comparar con el desplazamiento

El móvil avanza 8/3 m en total y retrocede 4/3 m. Por eso el balance es 4/3 m, pero la distancia es 4 m.

4. Comparar promedios

Durante 4 s, la velocidad media es (4/3)/4=1/3 m/s y la rapidez media es 4/4=1 m/s.

11 · Datos discretos

El muestreo puede ocultar cambios de sentido

Si conocemos posiciones sucesivas, aproximamos directamente:

Si conocemos velocidades, aproximamos ∫|v|dt. Pero tomar el valor absoluto después de promediar velocidades extremas puede fallar cuando existe un cruce por cero dentro del intervalo.

Una frecuencia de muestreo baja puede registrar la misma posición antes y después de una excursión y asignarle distancia cero. Ningún método numérico puede recuperar giros que los datos no observaron. Se necesita una frecuencia adecuada a la dinámica del movimiento.

12 · Exploración

Laboratorio: desplazamiento frente a recorrido

Elegí una velocidad, el instante final y una escala. El gráfico inferior compara la acumulación firmada con la distancia, que nunca disminuye.

Las áreas positivas y negativas se restan para el desplazamiento y se suman en magnitud para la distancia.

Preguntas para explorar

1. En el modelo con dos giros, observá qué sucede con la distancia cuando el desplazamiento decrece.
2. Elegí el modelo sin giros. ¿Qué relación existe entre distancia y desplazamiento?
3. Con la velocidad oscilatoria, buscá un desplazamiento cercano a cero con distancia positiva.
4. Modificá la escala. ¿Qué cantidades cambian proporcionalmente y qué instantes permanecen iguales?

13 · Implementación computacional

Calcular distancia mediante puntos medios

En cada paso se conserva por separado el aporte positivo y el negativo:

function analizarMovimiento(velocidad, inicio, fin, particiones = 20000) {
  const paso = (fin - inicio) / particiones;
  let avance = 0;
  let retroceso = 0;

  for (let i = 0; i < particiones; i += 1) {
    const t = inicio + (i + 0.5) * paso;
    const aporte = velocidad(t) * paso;
    if (aporte >= 0) avance += aporte;
    else retroceso += -aporte;
  }

  const redondear = valor => Number(valor.toFixed(6));
  return {
    avance: redondear(avance),
    retroceso: redondear(retroceso),
    desplazamiento: redondear(avance - retroceso),
    distancia: redondear(avance + retroceso)
  };
}

const v = t => (t - 1) * (t - 3);
console.log(analizarMovimiento(v, 0, 4));

Usar posiciones registradas

function distanciaDesdePosiciones(posiciones) {
  let distancia = 0;
  for (let i = 1; i < posiciones.length; i += 1) {
    distancia += Math.abs(posiciones[i] - posiciones[i - 1]);
  }
  return distancia;
}

const posiciones = [5, 19 / 3, 5, 19 / 3];
console.log("Desplazamiento:", (posiciones.at(-1) - posiciones[0]).toFixed(4));
console.log("Distancia:", distanciaDesdePosiciones(posiciones).toFixed(4));

Dividir usando ceros conocidos

function distanciaPorTramos(primitiva, puntos) {
  let distancia = 0;
  for (let i = 1; i < puntos.length; i += 1) {
    const cambio = primitiva(puntos[i]) - primitiva(puntos[i - 1]);
    distancia += Math.abs(cambio);
  }
  return distancia;
}

const F = t => t ** 3 / 3 - 2 * t ** 2 + 3 * t;
console.log(distanciaPorTramos(F, [0, 1, 3, 4]).toFixed(4));

Filtrar falsos cambios por ruido

function signoConTolerancia(velocidad, tolerancia = 0.05) {
  if (velocidad > tolerancia) return 1;
  if (velocidad < -tolerancia) return -1;
  return 0;
}

const lecturas = [0.8, 0.2, 0.01, -0.02, 0.03, -0.6];
let ultimoSigno = 0;
let cambios = 0;

for (const velocidad of lecturas) {
  const signo = signoConTolerancia(velocidad);
  if (signo !== 0 && ultimoSigno !== 0 && signo !== ultimoSigno) cambios += 1;
  if (signo !== 0) ultimoSigno = signo;
}
console.log("Cambios confirmados:", cambios);

14 · Comprensión

Confusiones frecuentes

15 · Práctica guiada

Ejercicios de comprensión

Ejercicio 1: un solo sentido

Un móvil mantiene v(t)=3+t m/s en [0,4]. Calculá desplazamiento y distancia.

Ejercicio 2: velocidad lineal con giro

Para v(t)=2−t en [0,4], calculá desplazamiento y distancia.

Ejercicio 3: recuperar avance y retroceso

Un movimiento tiene desplazamiento −6 m y distancia 20 m. ¿Cuánto avanzó en cada orientación?

Ejercicio 4: rapidez media

Un objeto recorre 18 m durante 6 s y termina 6 m a la izquierda de su posición inicial. Calculá rapidez media y velocidad media.

Ejercicio 5: posiciones registradas

Las posiciones sucesivas son 2, 7, 4 y 10 m. Calculá desplazamiento y distancia.

const posiciones = [2, 7, 4, 10];
const desplazamiento = posiciones.at(-1) - posiciones[0];
const distancia = posiciones.slice(1).reduce(
  (total, posicion, i) => total + Math.abs(posicion - posiciones[i]),
  0
);
console.log({ desplazamiento, distancia });

16 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema incorporaremos la aceleración y reconstruiremos velocidad y posición mediante dos integraciones sucesivas y condiciones iniciales.