Movimiento: desplazamiento desde la velocidad

01 · Punto de partida

La velocidad describe cómo cambia la posición

En movimiento rectilíneo, la posición s(t) ubica un objeto respecto de un origen y una orientación elegidos. Su derivada es la velocidad:

Por el Teorema Fundamental del Cálculo, el cambio de posición entre t=a y t=b es:

La integral acumula desplazamientos elementales v(t)dt. Su signo conserva la orientación del movimiento.

02 · Magnitudes del movimiento

Posición, desplazamiento, velocidad y rapidez

Posición s(t)

Coordenada del objeto respecto de un origen. Puede ser positiva, negativa o cero.

Desplazamiento Δs

Cambio neto de posición: posición final menos posición inicial.

Velocidad v(t)

Tasa firmada de cambio de la posición: indica rapidez y orientación.

Rapidez |v(t)|

Magnitud no negativa de la velocidad; no contiene dirección.

Un objeto puede tener posición negativa y moverse en dirección positiva, o estar a la derecha del origen y moverse hacia la izquierda. El signo de s indica ubicación; el de v, dirección instantánea.

03 · Orientación

El signo depende de una convención explícita

Antes de modelar elegimos una dirección positiva. En una carretera puede ser hacia el este; en un ascensor, hacia arriba. Entonces:

• v(t)>0: el objeto se mueve en la dirección positiva;
• v(t)<0: se mueve en la dirección opuesta;
• v(t)=0: está instantáneamente detenido.

Cambiar la orientación multiplica posiciones, velocidades y desplazamientos por −1, pero no altera la trayectoria física ni la rapidez.

04 · Reconstrucción

La condición inicial fija la posición

Si conocemos s(t₀)=s₀, la posición en cualquier instante se reconstruye mediante:

La velocidad determina la forma de la gráfica de posición, pero no su altura. Objetos con la misma velocidad y distintas posiciones iniciales mantienen siempre la misma separación.

Para comprobar una fórmula reconstruida deben cumplirse dos condiciones independientes:

1. su derivada debe ser v(t);
2. al evaluar en t₀ debe devolver s₀.

05 · Lectura geométrica

El área firmada bajo la velocidad es desplazamiento

En el gráfico velocidad-tiempo, una región sobre el eje aporta desplazamiento positivo y una región debajo aporta desplazamiento negativo. Las contribuciones pueden compensarse.

Si el resultado es cero, el objeto termina en la misma posición desde la que comenzó, aunque pudo haberse movido. Esto no implica que haya recorrido distancia cero.

La distancia total requiere acumular |v(t)| y se desarrollará en el tema siguiente. Aquí el objetivo es conservar el efecto de la dirección.

06 · Análisis dimensional

Velocidad por tiempo produce longitud

Si v(t) se expresa en m/s y dt en segundos:

Integrar km/h con un tiempo numérico expresado en segundos produce un error de escala. Debemos convertir segundos a horas o la velocidad a km/s antes de calcular.

07 · Dos gráficos conectados

La velocidad funciona como pendiente de la posición

Un cero de la velocidad es un candidato a cambio de sentido, pero hay que revisar el signo a ambos lados. Si la velocidad toca cero y conserva el signo, el objeto se detiene instantáneamente y continúa en la misma dirección.

08 · Resumen del intervalo

Velocidad media es desplazamiento por tiempo

La velocidad media en [a,b] es el valor medio integral de v:

Una velocidad constante igual a v̄ produciría el mismo desplazamiento durante el mismo tiempo. No reproduce necesariamente el recorrido intermedio.

La rapidez media usa distancia total dividida por tiempo y puede ser mayor que la magnitud de la velocidad media cuando hay cambios de sentido.

09 · Movimiento por etapas

Las velocidades por tramos exigen continuidad de posición

Un móvil parte desde s(0)=2 m, avanza a 3 m/s durante 2 s y luego retrocede a −1 m/s durante 4 s.

• Para 0≤t≤2: s(t)=2+3t, por lo que s(2)=8 m.
• Para 2≤t≤6: s(t)=8−(t−2)=10−t.

La segunda expresión comienza en la posición alcanzada por la primera. Al final s(6)=4 m y el desplazamiento total es 2 m.

Una velocidad que salta de 3 a −1 cambia instantáneamente según el modelo, pero la posición permanece continua porque integrar una tasa finita no crea saltos.

10 · Ejemplo desarrollado

Un movimiento con dos cambios de sentido

Un objeto se mueve con velocidad v(t)=t²−4t+3=(t−1)(t−3) m/s y parte de s(0)=5 m. Analizamos los primeros cuatro segundos.

1. Reconstruir la posición

2. Determinar la dirección

La velocidad se anula en t=1 y t=3. Es positiva en [0,1), negativa en (1,3) y positiva en (3,4]. El objeto avanza, retrocede y vuelve a avanzar.

3. Localizar posiciones extremas

En t=1 existe un máximo local y en t=3, un mínimo local.

4. Calcular el desplazamiento

La posición final es s(4)=5+4/3=19/3≈6,33 m. Coincide con s(1), aunque el objeto recorrió otros puntos entre ambos instantes.

11 · Velocidad medida

Reconstruir una trayectoria desde muestras

Un sensor entrega velocidades en instantes discretos. Entre dos muestras podemos aproximar el desplazamiento con la regla del trapecio:

La posición se actualiza acumulativamente: sᵢ₊₁=sᵢ+Δsᵢ. Para una reconstrucción confiable conviene:

• ordenar las muestras por tiempo;
• usar la duración real de cada intervalo;
• convertir todas las unidades;
• conservar la posición inicial y cada estado intermedio;
• comparar periódicamente con una medición directa de posición.

Pequeños sesgos en la velocidad se acumulan con el tiempo y producen deriva en la posición estimada.

12 · Exploración

Laboratorio: velocidad y posición

Elegí un modelo, un instante y una posición inicial. La zona del gráfico superior es el desplazamiento acumulado; el gráfico inferior muestra la posición reconstruida.

Las áreas sobre y debajo del eje de velocidad se acumulan con signo para determinar la posición.

Preguntas para explorar

1. En el modelo con giros, ubicá t=1 y t=3. ¿Qué ocurre con la posición?
2. Cambiá la posición inicial. ¿Qué valores permanecen iguales?
3. Con velocidad oscilatoria, buscá un instante donde el desplazamiento sea cero pero el objeto se haya movido.
4. Compará una velocidad igual a cero con una posición igual a cero. ¿Qué representa cada condición?

13 · Implementación computacional

Reconstruir posición mediante integración numérica

Una función puede combinar la velocidad, el instante de referencia y la posición inicial:

function crearPosicion(velocidad, tiempoInicial, posicionInicial, n = 10000) {
  return function posicion(tiempo) {
    const paso = (tiempo - tiempoInicial) / n;
    let desplazamiento = 0;
    for (let i = 0; i < n; i += 1) {
      const t = tiempoInicial + (i + 0.5) * paso;
      desplazamiento += velocidad(t) * paso;
    }
    return posicionInicial + desplazamiento;
  };
}

const velocidad = t => (t - 1) * (t - 3);
const posicion = crearPosicion(velocidad, 0, 5);
console.log("s(1) =", posicion(1).toFixed(4));
console.log("s(3) =", posicion(3).toFixed(4));
console.log("s(4) =", posicion(4).toFixed(4));

Reconstruir desde muestras irregulares

function trayectoria(muestras, posicionInicial) {
  if (muestras.length === 0) return [];
  let posicion = posicionInicial;
  const puntos = [{ tiempo: muestras[0].tiempo, posicion }];

  for (let i = 1; i < muestras.length; i += 1) {
    const a = muestras[i - 1];
    const b = muestras[i];
    const duracion = b.tiempo - a.tiempo;
    if (duracion <= 0) throw new Error("Los tiempos deben crecer");
    posicion += (a.velocidad + b.velocidad) / 2 * duracion;
    puntos.push({ tiempo: b.tiempo, posicion });
  }
  return puntos;
}

const muestras = [
  { tiempo: 0, velocidad: 3 },
  { tiempo: 1, velocidad: 0 },
  { tiempo: 2, velocidad: -1 },
  { tiempo: 3, velocidad: 0 },
  { tiempo: 4, velocidad: 3 }
];
console.log(trayectoria(muestras, 5));

Detectar cambios de sentido

function cambiosDeSentido(velocidad, inicio, fin, paso = 0.001) {
  const cambios = [];
  let signoAnterior = Math.sign(velocidad(inicio));

  for (let t = inicio + paso; t <= fin; t += paso) {
    const signo = Math.sign(velocidad(t));
    if (signo !== 0 && signoAnterior !== 0 && signo !== signoAnterior) {
      cambios.push(Number((t - paso / 2).toFixed(4)));
    }
    if (signo !== 0) signoAnterior = signo;
  }
  return cambios;
}

const v = t => (t - 1) * (t - 3);
console.log("Cambios cerca de:", cambiosDeSentido(v, 0, 4));

Validar posición y velocidad

function derivadaCentral(funcion, x, h = 1e-5) {
  return (funcion(x + h) - funcion(x - h)) / (2 * h);
}

const v = t => t ** 2 - 4 * t + 3;
const s = t => 5 + t ** 3 / 3 - 2 * t ** 2 + 3 * t;

for (const t of [0, 0.5, 2, 4]) {
  const error = derivadaCentral(s, t) - v(t);
  console.log(`t=${t}, error=${error.toExponential(2)}`);
}
console.log("Condición inicial:", s(0));

14 · Comprensión

Confusiones frecuentes

15 · Práctica guiada

Ejercicios de comprensión

Ejercicio 1: velocidad constante

Un móvil parte de s(0)=−3 m y se mueve a 5 m/s durante 4 s. Calculá desplazamiento y posición final.

Ejercicio 2: velocidad lineal

Si v(t)=4−2t m/s y s(0)=1 m, encontrá s(t) y el instante de cambio de sentido.

Ejercicio 3: regresar al origen inicial

Una velocidad es 3 m/s durante 2 s y −2 m/s después. ¿Cuánto tiempo adicional necesita para volver a la posición de partida?

Ejercicio 4: velocidad media

Un objeto pasa de la posición 8 m a la posición −4 m en 3 s. ¿Cuál es su velocidad media?

Ejercicio 5: muestras de velocidad

Se miden velocidades 2, 4 y 2 m/s en t=0,1,3. Si s(0)=10 m, aproximá s(3) con trapecios.

const datos = [
  { t: 0, v: 2 },
  { t: 1, v: 4 },
  { t: 3, v: 2 }
];
let posicion = 10;

for (let i = 1; i < datos.length; i += 1) {
  const a = datos[i - 1];
  const b = datos[i];
  posicion += (a.v + b.v) / 2 * (b.t - a.t);
}
console.log("s(3) ≈", posicion, "m");

16 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema distinguiremos el desplazamiento de la distancia total recorrida, separando los tramos donde cambia la dirección.