Promedios ponderados continuos

01 · Punto de partida

No todas las partes tienen la misma importancia

El valor medio ordinario trata por igual cada segmento de la variable independiente. Pero esa hipótesis no siempre describe la aplicación: una zona puede contener más material, una medición puede ser más confiable o una franja de valores puede ser más probable.

Si w(x)≥0 expresa la importancia asociada a cada punto, el promedio ponderado continuo de f en [a,b] es:

El numerador acumula valores multiplicados por su importancia. El denominador acumula toda la importancia disponible y normaliza el resultado.

02 · Del promedio discreto al continuo

La integral generaliza una suma ponderada

Para valores discretos fᵢ con pesos wᵢ, usamos:

En un intervalo pequeño Δx, el peso aproximado es w(xᵢ)Δx. Al refinar la partición, las sumas se convierten en integrales:

El factor Δx parece cancelarse cuando todos los intervalos son iguales, pero debe conservarse si las muestras representan intervalos de distintas longitudes.

03 · Peso total

Normalizar convierte pesos en proporciones

Sea W=∫ₐᵇw(x)dx, con W>0. Podemos definir una función normalizada:

Entonces el promedio se escribe simplemente μw=∫ₐᵇf(x)p(x)dx. La función p describe qué proporción del peso total se concentra alrededor de cada punto.

Multiplicar todos los pesos por una constante positiva no cambia el promedio:

Importa la distribución relativa del peso, no su escala absoluta.

04 · Caso particular

El valor medio ordinario usa peso uniforme

Si w(x)=1 en todo [a,b], el denominador vale b−a y recuperamos:

También cualquier peso constante positivo produce el promedio ordinario, porque la constante se cancela. Para cambiar el resultado, la importancia debe variar con x.

Esta relación es útil como prueba de implementación: una función de promedio ponderado debería reproducir el valor medio común al recibir w(x)=1.

05 · Qué puede representar el peso

La misma fórmula aparece en contextos diferentes

La función de peso debe derivarse del significado del problema. Elegirla solo para obtener un resultado deseado convierte el promedio en una cifra difícil de interpretar.

06 · Análisis dimensional

Las unidades del peso se cancelan

Supongamos que f se mide en °C, w en kg/m y x en m. Entonces:

El promedio ponderado conserva las unidades de f. El denominador tiene las unidades del peso total: masa, probabilidad, duración efectiva o cualquier magnitud que represente w(x)dx.

Si w es una densidad de probabilidad normalizada, sus unidades son inversas a las de x, de modo que ∫w(x)dx es adimensional y vale 1.

07 · Propiedades

Los pesos no negativos mantienen el promedio dentro del rango

Si m≤f(x)≤M, w(x)≥0 y ∫w>0, entonces:

Además:

• si f(x)=C, entonces μw=C para cualquier peso válido;
• si el peso se concentra donde f es grande, el promedio aumenta;
• si dos pesos son proporcionales, producen el mismo promedio;
• si f es continua, existe algún c con f(c)=μw.

Estas propiedades funcionan como pruebas rápidas para resultados analíticos y numéricos.

08 · Condiciones necesarias

Pesos negativos o peso total cero cambian el problema

En un promedio convencional se exige w(x)≥0 y ∫w>0. Si se admiten pesos negativos, el cociente puede quedar fuera del rango de f y deja de describir una combinación de importancias.

Si ∫w=0, la normalización implica dividir por cero y el promedio no está definido. Un peso idénticamente nulo significa que ninguna región aporta información.

Existen fórmulas científicas con funciones firmadas en el denominador, pero deben interpretarse como cocientes de momentos o balances, no automáticamente como promedios.

09 · Densidades de probabilidad

El valor esperado es un promedio ponderado

Si p(x)≥0 y ∫p(x)dx=1, p es una densidad de probabilidad. El valor esperado de una función g(X) es:

Para g(x)=x obtenemos la media de la variable aleatoria. Para g(x)=x² obtenemos el segundo momento, que participa en la varianza.

Si una función propuesta como densidad no integra 1, primero puede normalizarse dividiéndola por su integral, siempre que sea no negativa y su peso total sea finito y positivo.

10 · Ejemplo desarrollado

Temperatura media de una barra no uniforme

Una barra ocupa 0≤x≤2 m. Su temperatura es T(x)=20+5x °C y su densidad lineal ρ(x)=1+x kg/m. Buscamos la temperatura media ponderada por masa.

1. Calcular la masa total

2. Calcular el momento térmico

3. Normalizar

4. Comparar con el promedio uniforme

El promedio uniforme de T es 25 °C. La densidad aumenta hacia el extremo caliente, por eso el promedio por masa sube a aproximadamente 25,83 °C. Ambos están entre el mínimo de 20 °C y el máximo de 30 °C.

11 · Datos y agrupamientos

Cada muestra puede representar distinta cantidad

En datos agrupados, una observación puede resumir un intervalo, una población o un volumen diferente. El peso efectivo combina esos factores.

Por ejemplo, si una medición fᵢ representa un intervalo de longitud Δxᵢ y tiene confiabilidad cᵢ, un peso posible es wᵢ=cᵢΔxᵢ. Entonces:

No debe multiplicarse dos veces por la duración si los pesos ya representan cantidad acumulada. Documentar qué significa cada peso evita esa duplicación.

12 · Exploración

Laboratorio: desplazar la importancia

Elegí una función, una forma de peso y su intensidad. El gráfico superior muestra valores y pesos; el inferior muestra el producto f(x)w(x). Compará el promedio uniforme con el ponderado.

El área bajo el peso determina la normalización y el área bajo el producto determina el numerador.

Preguntas para explorar

1. Aumentá la intensidad del peso derecho con la función creciente. ¿Hacia qué valores se mueve el promedio?
2. Cambiá a la función decreciente sin modificar el peso. ¿Por qué cambia la dirección del efecto?
3. Elegí peso uniforme y modificá su intensidad. ¿Por qué el promedio no cambia?
4. Con la función oscilatoria, compará pesos a izquierda, centro y derecha.

13 · Implementación computacional

Calcular un promedio ponderado continuo

Una sola recorrida puede aproximar numerador y denominador con puntos medios:

function promedioPonderado(funcion, peso, inicio, fin, particiones = 10000) {
  if (fin <= inicio) throw new Error("El intervalo debe tener longitud positiva");
  const paso = (fin - inicio) / particiones;
  let numerador = 0;
  let pesoTotal = 0;

  for (let i = 0; i < particiones; i += 1) {
    const x = inicio + (i + 0.5) * paso;
    const w = peso(x);
    if (w < 0) throw new Error("Los pesos deben ser no negativos");
    numerador += funcion(x) * w * paso;
    pesoTotal += w * paso;
  }
  if (pesoTotal === 0) throw new Error("El peso total debe ser positivo");
  return numerador / pesoTotal;
}

const temperatura = x => 20 + 5 * x;
const densidad = x => 1 + x;
console.log(promedioPonderado(temperatura, densidad, 0, 2).toFixed(4));

Devolver un informe auditable

function informePonderado(datos) {
  let numerador = 0;
  let pesoTotal = 0;

  datos.forEach(({ valor, peso }) => {
    if (!Number.isFinite(valor) || !Number.isFinite(peso) || peso < 0) {
      throw new Error("Valor o peso inválido");
    }
    numerador += valor * peso;
    pesoTotal += peso;
  });
  if (pesoTotal === 0) throw new Error("No hay observaciones con peso");

  return { numerador, pesoTotal, promedio: numerador / pesoTotal };
}

console.log(informePonderado([
  { valor: 20, peso: 1 },
  { valor: 25, peso: 2 },
  { valor: 30, peso: 1 }
]));

Normalizar una función de peso

function integrar(funcion, inicio, fin, n = 10000) {
  const paso = (fin - inicio) / n;
  let suma = 0;
  for (let i = 0; i < n; i += 1) {
    suma += funcion(inicio + (i + 0.5) * paso) * paso;
  }
  return suma;
}

function normalizar(peso, inicio, fin) {
  const total = integrar(peso, inicio, fin);
  if (total <= 0) throw new Error("No se puede normalizar el peso");
  return x => peso(x) / total;
}

const peso = x => 1 + x;
const p = normalizar(peso, 0, 2);
console.log("Integral normalizada:", integrar(p, 0, 2).toFixed(6));

Combinar duración y confiabilidad

const muestras = [
  { valor: 18, duracion: 1, confiabilidad: 0.9 },
  { valor: 22, duracion: 3, confiabilidad: 0.7 },
  { valor: 30, duracion: 0.5, confiabilidad: 1 }
];

let numerador = 0;
let pesoTotal = 0;
for (const muestra of muestras) {
  const pesoEfectivo = muestra.duracion * muestra.confiabilidad;
  numerador += muestra.valor * pesoEfectivo;
  pesoTotal += pesoEfectivo;
}
console.log("Promedio:", (numerador / pesoTotal).toFixed(4));

14 · Comprensión

Confusiones frecuentes

15 · Práctica guiada

Ejercicios de comprensión

Ejercicio 1: peso creciente

Calculá el promedio de f(x)=x en [0,1] con peso w(x)=2x.

Ejercicio 2: escala del peso

¿Cambia el promedio anterior si usamos w(x)=10x?

Ejercicio 3: densidad normalizada

Normalizá w(x)=x+1 en [0,2].

Ejercicio 4: promedio fuera del rango

Un programa devuelve 15 como promedio ponderado de valores que permanecen entre 20 y 30, usando pesos no negativos. ¿Qué concluís?

Ejercicio 5: datos ponderados

Tres lotes tienen calidad 80, 90 y 70, y tamaños 10, 30 y 20 unidades. Calculá la calidad media de toda la producción.

const lotes = [
  { calidad: 80, cantidad: 10 },
  { calidad: 90, cantidad: 30 },
  { calidad: 70, cantidad: 20 }
];
const total = lotes.reduce((suma, lote) => suma + lote.cantidad, 0);
const ponderado = lotes.reduce(
  (suma, lote) => suma + lote.calidad * lote.cantidad,
  0
);
console.log("Calidad media:", (ponderado / total).toFixed(2));

16 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema aplicaremos la acumulación al movimiento, reconstruyendo desplazamiento y posición a partir de la velocidad.