Valor medio de una función

01 · Punto de partida

¿Qué valor constante equivale a una función variable?

Una máquina no consume la misma potencia durante toda la jornada. La temperatura cambia a lo largo del día y el caudal de una tubería puede aumentar o disminuir. Aun así, suele ser útil resumir todo el intervalo mediante un único valor representativo.

El valor medio de f en [a,b] es:

Esta constante está elegida para que, al mantenerse durante todo el intervalo, acumule lo mismo que la función original:

02 · Construcción

La fórmula nace de conservar la acumulación

Buscamos una constante m cuya integral en [a,b] coincida con la de f:

Como la integral de una constante es m(b−a), despejamos m y obtenemos la fórmula del valor medio. Esta derivación explica el factor 1/(b−a): sin dividir por la longitud tendríamos una acumulación, no un promedio.

03 · Interpretación geométrica

Un rectángulo de área equivalente

Cuando f(x)≥0, la integral es el área bajo la curva. El valor medio es la altura de un rectángulo con base b−a y la misma área.

La curva puede quedar unas veces por encima y otras por debajo de f̄. Los excesos y déficits se compensan porque:

Si la función toma valores negativos, la interpretación usa área con signo. El rectángulo equivalente puede quedar debajo del eje horizontal y su área firmada será negativa.

04 · Una distinción esencial

Promediar extremos casi nunca es suficiente

Para f(x)=x² en [0,2], el promedio de los extremos es:

Pero el valor medio integral es:

Los extremos ignoran todo lo que ocurre en el interior. Ambas expresiones coinciden para funciones lineales y en algunos casos simétricos, pero no constituyen métodos intercambiables.

05 · Análisis dimensional

El valor medio conserva las unidades de la función

Integrar multiplica por las unidades de la variable. Dividir por la longitud del intervalo las cancela:

Si la variable se mide en una unidad diferente de la usada por la tasa, debe convertirse antes. El cociente final conserva las unidades de f, pero eso no corrige por sí solo una escala temporal inconsistente.

06 · Tasas de cambio

La tasa media integral reconstruye el mismo cambio

Si Q′(t)=r(t), el valor medio de la tasa es:

Por lo tanto coincide con la tasa de cambio media de Q. Una tasa constante igual a r̄ llevaría desde el mismo estado inicial al mismo estado final en el mismo tiempo.

Esto no significa que reproduzca estados intermedios, máximos o actividad total. Dos tasas muy distintas pueden tener el mismo promedio y el mismo cambio neto.

07 · Promedios firmados

Las contribuciones positivas y negativas se compensan

Para f(t)=2 sen(t) en [0,2π], las áreas positiva y negativa se cancelan, de modo que f̄=0. Sin embargo, la función estuvo casi siempre lejos de cero.

Según la pregunta, pueden interesar otros resúmenes:

No son correcciones de una misma fórmula: responden preguntas distintas. En movimiento, el promedio de la velocidad se relaciona con desplazamiento; el promedio de la rapidez, con distancia total.

08 · Existencia de un punto representativo

Una función continua alcanza su valor medio

El Teorema del Valor Medio para integrales afirma que si f es continua en [a,b], existe al menos un punto c∈[a,b] tal que:

Puede haber más de un punto c. El teorema garantiza existencia, no unicidad ni que c sea el punto medio del intervalo.

Si la función presenta saltos, el valor medio numérico sigue estando definido cuando es integrable, pero puede no ser alcanzado. Una función que solo vale 0 o 2 puede tener promedio 1 sin tomar nunca ese valor.

09 · Comprobaciones

El promedio debe quedar entre el mínimo y el máximo

Si m≤f(x)≤M en [a,b], entonces:

Esta propiedad ofrece una comprobación rápida. Un promedio de 75 °C es imposible si la temperatura permaneció entre 18 y 26 °C. También permite acotar una integral sin calcularla exactamente:

Para funciones no negativas, el promedio también debe ser no negativo. Si una implementación viola estas cotas, conviene revisar límites, unidades y el factor b−a.

10 · Ejemplo desarrollado

Potencia media de una máquina

Durante cuatro horas, la potencia consumida por una máquina está modelada por P(t)=3+t²/2 kW.

1. Calcular la energía

2. Dividir por la duración

3. Verificar la equivalencia

Una potencia constante de 17/3 kW durante 4 h consume (17/3)·4=68/3 kWh, exactamente la misma energía.

4. Encontrar un instante representativo

Resolvemos 3+c²/2=17/3. En el intervalo resulta c=√(16/3)≈2,31 h. En ese instante la potencia coincide con su promedio, pero c no es el punto medio t=2.

11 · Datos discretos

Promediar muestras requiere ponderar el tiempo

Con muestras igualmente espaciadas, una media aritmética puede aproximar el promedio continuo, aunque hay que elegir una regla coherente con la ubicación de las muestras. Con tiempos irregulares, promediar valores sin pesos es incorrecto.

Si disponemos de puntos (tᵢ,fᵢ), la regla del trapecio aproxima la integral:

Cada promedio local queda ponderado por la duración de su intervalo. Una lectura sostenida durante diez minutos influye más que otra observada durante diez segundos.

12 · Exploración

Laboratorio: curva y rectángulo equivalente

Elegí una función y modificá los extremos. La zona bajo la curva y el rectángulo de altura f̄ tienen la misma área firmada.

La curva y el rectángulo se comparan sobre el mismo intervalo. Una línea horizontal marca el valor medio.

Preguntas para explorar

1. Con la función cuadrática, compará el valor medio con el promedio de los extremos.
2. Para la función lineal, ¿por qué ambos promedios coinciden?
3. Con la función oscilatoria en un intervalo amplio, buscá un valor medio cercano a cero.
4. Desplazá un intervalo corto. ¿A qué se aproxima el valor medio cuando b−a se hace pequeño?

13 · Implementación computacional

Calcular el valor medio numéricamente

Una integración por puntos medios seguida de la división por la longitud implementa directamente la definición:

function valorMedio(funcion, inicio, fin, particiones = 10000) {
  if (fin <= inicio) throw new Error("El intervalo debe tener longitud positiva");
  const paso = (fin - inicio) / particiones;
  let integral = 0;

  for (let i = 0; i < particiones; i += 1) {
    const x = inicio + (i + 0.5) * paso;
    integral += funcion(x) * paso;
  }
  return integral / (fin - inicio);
}

const potencia = t => 3 + t ** 2 / 2;
console.log(valorMedio(potencia, 0, 4).toFixed(6));

Procesar muestras con tiempos irregulares

function promedioTemporal(muestras) {
  if (muestras.length < 2) throw new Error("Se necesitan al menos dos muestras");
  let integral = 0;

  for (let i = 1; i < muestras.length; i += 1) {
    const a = muestras[i - 1];
    const b = muestras[i];
    const duracion = b.tiempo - a.tiempo;
    if (duracion <= 0) throw new Error("Los tiempos deben crecer");
    integral += (a.valor + b.valor) / 2 * duracion;
  }

  const duracionTotal = muestras.at(-1).tiempo - muestras[0].tiempo;
  return integral / duracionTotal;
}

const datos = [
  { tiempo: 0, valor: 2 },
  { tiempo: 1, valor: 4 },
  { tiempo: 4, valor: 8 }
];
console.log("Promedio temporal:", promedioTemporal(datos));

Comparar promedio firmado, magnitud y RMS

function valorMedio(funcion, inicio, fin, particiones = 10000) {
  const paso = (fin - inicio) / particiones;
  let integral = 0;
  for (let i = 0; i < particiones; i += 1) {
    integral += funcion(inicio + (i + 0.5) * paso) * paso;
  }
  return integral / (fin - inicio);
}

const señal = t => 2 * Math.sin(t);
const inicio = 0;
const fin = 2 * Math.PI;

const firmado = valorMedio(señal, inicio, fin);
const magnitud = valorMedio(t => Math.abs(señal(t)), inicio, fin);
const rms = Math.sqrt(valorMedio(t => señal(t) ** 2, inicio, fin));
const limpiarCero = valor => Math.abs(valor) < 1e-10 ? 0 : valor;

console.log("Firmado:", limpiarCero(firmado).toFixed(6));
console.log("Magnitud media:", magnitud.toFixed(6));
console.log("RMS:", rms.toFixed(6));

Buscar un punto donde f(c) coincide con el promedio

function valorMedio(funcion, inicio, fin, particiones = 10000) {
  const paso = (fin - inicio) / particiones;
  let integral = 0;
  for (let i = 0; i < particiones; i += 1) {
    integral += funcion(inicio + (i + 0.5) * paso) * paso;
  }
  return integral / (fin - inicio);
}

function buscarNivel(funcion, nivel, inicio, fin, pasos = 10000) {
  let xAnterior = inicio;
  let diferenciaAnterior = funcion(inicio) - nivel;

  for (let i = 1; i <= pasos; i += 1) {
    const x = inicio + i / pasos * (fin - inicio);
    const diferencia = funcion(x) - nivel;
    if (Math.abs(diferencia) < 1e-10) return x;
    if (diferencia * diferenciaAnterior < 0) return (xAnterior + x) / 2;
    xAnterior = x;
    diferenciaAnterior = diferencia;
  }
  return null;
}

const f = x => 3 + x ** 2 / 2;
const promedio = valorMedio(f, 0, 4);
console.log("c ≈", buscarNivel(f, promedio, 0, 4).toFixed(4));

14 · Comprensión

Confusiones frecuentes

15 · Práctica guiada

Ejercicios de comprensión

Ejercicio 1: función lineal

Calculá el valor medio de f(x)=2x+1 en [1,5].

Ejercicio 2: tasa promedio

Una tasa es r(t)=6−t L/min en [0,6]. Calculá su valor medio y el cambio total.

Ejercicio 3: función con signo

Encontrá el valor medio de f(x)=x−2 en [0,4].

Ejercicio 4: combinar promedios

Una máquina consume en promedio 4 kW durante 2 h y 10 kW durante 6 h. ¿Cuál es el promedio de toda la operación?

Ejercicio 5: datos irregulares

Una variable vale 2, 4 y 8 en los tiempos 0, 1 y 4. Aproximá su promedio con trapecios.

const muestras = [
  { t: 0, valor: 2 },
  { t: 1, valor: 4 },
  { t: 4, valor: 8 }
];
let integral = 0;

for (let i = 1; i < muestras.length; i += 1) {
  const a = muestras[i - 1];
  const b = muestras[i];
  integral += (a.valor + b.valor) / 2 * (b.t - a.t);
}
const duracion = muestras.at(-1).t - muestras[0].t;
console.log("Valor medio ≈", integral / duracion);

16 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema generalizaremos esta idea mediante promedios ponderados continuos, donde diferentes zonas del intervalo tienen distinta importancia.