Caudales, consumo y crecimiento acumulado

01 · Punto de partida

Un estado cambia por lo que entra y lo que sale

Un depósito recibe agua mientras una bomba la extrae. Un almacén incorpora productos y atiende pedidos. Una población registra nacimientos e inmigración, pero también muertes y emigración. En todos estos sistemas existe una cantidad almacenada que evoluciona por procesos opuestos.

Si e(t)≥0 es la tasa total de entrada y s(t)≥0 la tasa total de salida, el balance instantáneo es:

Al integrar desde un instante inicial t₀:

02 · Balance completo

Tres acumulaciones responden preguntas diferentes

En un intervalo [a,b] definimos:

Entrada acumulada E

Todo lo incorporado al sistema durante el intervalo.

Salida acumulada S

Todo lo retirado, consumido o perdido durante el intervalo.

Balance ΔQ

Variación neta del contenido: entradas menos salidas.

Actividad E+S

Volumen total de operaciones, aun cuando se compensen.

Si entran 100 unidades y salen 98, el contenido aumenta solamente 2, pero el sistema procesó 198. El balance sirve para reconstruir el estado; la actividad sirve para estimar trabajo, desgaste o costo operativo.

03 · Información conservada

Una tasa neta puede ocultar procesos simultáneos

Podemos definir r(t)=e(t)−s(t) y escribir Q(t)=Q₀+∫r(t)dt. Es suficiente si solo interesa el estado. Sin embargo, diferentes operaciones producen la misma tasa neta:

No es posible recuperar de manera única e y s conociendo solo su diferencia. Si el contexto requiere ambas magnitudes, deben medirse o modelarse por separado.

04 · Fluidos

Los caudales reconstruyen volumen

Un caudal volumétrico mide volumen por unidad de tiempo. Si un tanque recibe qₑ(t) L/min y descarga qₛ(t) L/min:

Cuando el fluido es incompresible, esta relación modela directamente el volumen. Si importa la masa y la densidad ρ(t) cambia, el caudal másico puede ser ṁ(t)=ρ(t)q(t) y debe integrarse esa tasa en kg/s.

Una tubería que mueve 6 L/min durante 10 minutos aporta 60 L solo si el caudal permanece constante y no existen pérdidas no modeladas.

05 · Uso de recursos

Consumo acumulado y recurso restante

Si c(t)≥0 representa una tasa de consumo, la cantidad consumida desde t₀ es:

Si no hay reposición y el recurso inicial es R₀, el remanente es R(t)=R₀−C(t). Si además existe una reposición p(t), entonces:

En energía eléctrica, por ejemplo, integrar potencia en kW con tiempo en horas produce consumo en kWh. El costo puede requerir otra acumulación: si el precio p(t) varía, se integra p(t)c(t), no se multiplica necesariamente el consumo total por un precio promedio simple.

06 · Poblaciones y producción

El crecimiento neto también es un balance

Para una población, una cola de solicitudes o un conjunto de usuarios, la misma estructura utiliza tasas de incorporación y retiro:

Si todas esas tasas son funciones conocidas del tiempo, se integran directamente. Pero en muchos modelos la tasa depende de la cantidad actual, por ejemplo P′(t)=kP(t). En ese caso el integrando no está completamente conocido de antemano: aparece una ecuación diferencial.

Para crecimiento proporcional constante, la solución es P(t)=P₀ekt. La identidad integral sigue siendo válida:

La diferencia es que ahora P aparece dentro y fuera de la integral. No debe sustituirse kP(t) por una tasa constante sin justificar una aproximación.

07 · Análisis dimensional

Todas las tasas del balance deben ser compatibles

No se pueden restar directamente 3 L/s y 4 L/min. Antes hay que expresarlas con la misma unidad temporal: 3 L/s=180 L/min.

También debe respetarse la escala. Una tasa de 0,5 personas por minuto es un promedio continuo útil para modelar grupos grandes; no implica que una fracción de persona llegue físicamente en cada instante.

08 · Tasas variables

Promediar antes de integrar exige cuidado

La tasa promedio en [a,b] se define como:

Por definición, r̄(b−a) reproduce exactamente el cambio neto. Pero promediar entrada y salida a partir de muestras puede introducir error si los intervalos no tienen igual duración. Se necesita un promedio ponderado por tiempo.

Además, una tasa neta promedio cero no significa que las tasas individuales hayan sido cero. Puede esconder una circulación intensa o grandes variaciones temporales.

09 · Capacidad y disponibilidad

Los límites físicos cambian la dinámica

Para un depósito con capacidad K, el modelo debe respetar 0≤Q(t)≤K. Si la fórmula predice Q(t)>K, puede ocurrir un desborde; si predice Q(t)<0, la salida propuesta no puede sostenerse.

1. Reconstruir provisionalmente Q(t).
2. Resolver el primer cruce con 0 o K.
3. Interpretar qué evento ocurre en ese instante.
4. Definir nuevas tasas después del evento.

Si el tanque está lleno y continúa entrando líquido, el estado puede permanecer en K mientras la diferencia sale como desborde. En ese tramo, la salida real ya no coincide con la salida programada originalmente.

10 · Ejemplo desarrollado

Entrada constante y salida creciente en un tanque

Un tanque contiene inicialmente 40 L. Durante 10 minutos recibe e(t)=8 L/min y descarga s(t)=2+t L/min.

1. Formular la tasa neta

2. Reconstruir el volumen

3. Localizar el máximo

Entrada y salida se igualan cuando 8=2+t, es decir, en t=6. Hasta allí el tanque se llena; después se vacía. El máximo es:

4. Separar las acumulaciones

Al final hay V(10)=50 L. Aunque el volumen aumentó solo 10 L, circularon E+S=150 L.

11 · Sensores y registros

Integrar dos series temporales

Cuando sensores distintos miden entrada y salida, primero deben alinearse temporalmente. No es correcto restar la muestra 20 de un sensor a la muestra 20 del otro si corresponden a instantes diferentes.

Un flujo de procesamiento robusto incluye:

1. ordenar y validar las marcas de tiempo;
2. convertir las unidades a una escala común;
3. interpolar o agrupar ambos registros en intervalos compatibles;
4. integrar entrada y salida por separado;
5. comparar el estado reconstruido con mediciones directas.

La diferencia entre estado medido y reconstruido puede revelar fugas, sensores descalibrados o procesos omitidos. Esa diferencia recibe a veces el nombre de residuo del balance.

12 · Exploración

Laboratorio: entradas, salidas y capacidad

Elegí un sistema, el instante y el estado inicial. El gráfico superior compara ambas tasas y el inferior reconstruye el estado. La línea discontinua marca una capacidad de 100 unidades.

La diferencia entre las tasas determina la pendiente del estado. La actividad total conserva ambas acumulaciones.

Preguntas para explorar

1. En el tanque, ubicá el instante en que entrada y salida se igualan. ¿Qué ocurre con el estado?
2. Cambiá el estado inicial. ¿Por qué entrada, salida y balance no se modifican?
3. En los flujos oscilantes, buscá un balance pequeño con actividad considerable.
4. Encontrá una combinación que supere la capacidad o produzca un estado negativo. ¿Qué parte del modelo debería cambiar?

13 · Implementación computacional

Generar un informe de flujo

Integrar entrada y salida por separado permite devolver un informe completo:

function integrar(tasa, inicio, fin, particiones = 10000) {
  const paso = (fin - inicio) / particiones;
  let suma = 0;
  for (let i = 0; i < particiones; i += 1) {
    const t = inicio + (i + 0.5) * paso;
    suma += tasa(t) * paso;
  }
  return suma;
}

function informeFlujo(entrada, salida, inicio, fin, estadoInicial) {
  const acumuladaEntrada = integrar(entrada, inicio, fin);
  const acumuladaSalida = integrar(salida, inicio, fin);
  const balance = acumuladaEntrada - acumuladaSalida;
  const redondear = valor => Number(valor.toFixed(6));
  return {
    entrada: redondear(acumuladaEntrada),
    salida: redondear(acumuladaSalida),
    actividad: redondear(acumuladaEntrada + acumuladaSalida),
    balance: redondear(balance),
    estadoFinal: redondear(estadoInicial + balance)
  };
}

console.log(informeFlujo(() => 8, t => 2 + t, 0, 10, 40));

Procesar intervalos con duraciones variables

function procesarIntervalos(intervalos, inicial) {
  let estado = inicial;
  let entradaTotal = 0;
  let salidaTotal = 0;

  const historial = intervalos.map(({ fin, duracion, entrada, salida }) => {
    const aporteEntrada = entrada * duracion;
    const aporteSalida = salida * duracion;
    entradaTotal += aporteEntrada;
    salidaTotal += aporteSalida;
    estado += aporteEntrada - aporteSalida;
    return { fin, estado };
  });

  return { entradaTotal, salidaTotal, estado, historial };
}

const intervalos = [
  { fin: 1, duracion: 1, entrada: 8, salida: 2.5 },
  { fin: 3, duracion: 2, entrada: 8, salida: 4 },
  { fin: 4, duracion: 1, entrada: 8, salida: 5.5 }
];
console.log(procesarIntervalos(intervalos, 40));

Detectar una violación de capacidad

function validarHistorial(historial, capacidad) {
  const evento = historial.find(punto =>
    punto.estado < 0 || punto.estado > capacidad
  );

  if (!evento) return { valido: true, mensaje: "Dentro de límites" };
  return {
    valido: false,
    instante: evento.tiempo,
    mensaje: evento.estado < 0 ? "Estado negativo" : "Capacidad superada"
  };
}

const historial = [
  { tiempo: 0, estado: 40 },
  { tiempo: 1, estado: 55 },
  { tiempo: 2, estado: 72 },
  { tiempo: 3, estado: 104 }
];
console.log(validarHistorial(historial, 100));

Calcular el residuo de un balance medido

function residuoBalance(inicial, finalMedido, entrada, salida) {
  const finalReconstruido = inicial + entrada - salida;
  return {
    finalReconstruido,
    finalMedido,
    residuo: Number((finalMedido - finalReconstruido).toFixed(6))
  };
}

console.log(residuoBalance(40, 49.2, 80, 70));
// Un residuo de −0.8 puede señalar pérdidas o error de medición.

14 · Comprensión

Confusiones frecuentes

15 · Práctica guiada

Ejercicios de comprensión

Ejercicio 1: balance constante

Un tanque contiene 120 L, recibe 7 L/min y descarga 5 L/min durante 20 minutos. Calculá entrada, salida y volumen final.

Ejercicio 2: consumo variable

Una batería almacena 50 Wh y alimenta un dispositivo con potencia p(t)=4+t W durante 4 horas, sin recarga. ¿Cuánta energía queda según el modelo?

Ejercicio 3: misma variación, distinta actividad

Compará dos sistemas durante una hora: A recibe 9 y entrega 4 unidades/h; B recibe 105 y entrega 100 unidades/h.

Ejercicio 4: localizar un máximo

La entrada es e(t)=10 y la salida s(t)=2t para 0≤t≤8. ¿Cuándo alcanza un máximo el contenido?

Ejercicio 5: residuo

Un depósito comienza con 200 L. Los medidores registran 70 L de entrada y 45 L de salida, pero el volumen final medido es 222 L. Calculá e interpretá el residuo.

const inicial = 200;
const entrada = 70;
const salida = 45;
const medido = 222;
const reconstruido = inicial + entrada - salida;

console.log("Reconstruido:", reconstruido, "L");
console.log("Residuo:", medido - reconstruido, "L");

16 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema estudiaremos el valor medio de una función: la tasa constante que produciría exactamente la misma acumulación total.